相关试卷

1、设 $∠ B A C = α (0 ° < α < 90 °)$ ，现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB、AC上，从点 $A_{1}$ 开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中 $A_{1} A_{2}$ 为第一根小棒，且 $A_{1} A_{2} = A A_{1}$ ，若 $∠ B A C = 30 °$ ，则这样的小棒最多摆放根；若最多能摆放5根小棒，则 $α$ 的取值范围是．

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2、如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成，在 $R t △ A B C$ 中，已知直角边 $B C = 5$ ， $A C = 7$ ，则 $C D =$ ．

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3、某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端

A, B

的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案：

甲方案	乙方案

如图1，先在平地取一个可直接到达 $A, B$ 的点 $C$ ，再连接 $A C, B C$ ，并分别延长 $A C$ 至 $D, B C$ 至 $E$ ，使 $D C = A C, B C = E C$ ，最后测出 $D E$ 的长即为 $A, B$ 的距离．	如图2，过点 $B$ 作 $B D ⊥ A B$ ，再由点 $D$ 观测，在 $A B$ 的延长线上取一点 $C$ ，使 $∠ B D C = ∠ B D A$ ，这时只要测出 $B C$ 的长即为 $A, B$ 的距离．

下列说法正确的是（　　）

A、甲的方案可行，乙的方案不可行 B、甲的方案不可行，乙的方案可行 C、甲、乙的方案均可行 D、甲、乙的方案均不可行

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4、在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $O$ 为坐标原点，已知点 $A (2, 3)$ ，在坐标轴上找一点 $P$ ，使得 $△ A O P$ 是等腰三角形，则这样的点 $P$ 共有（）个

A、2 B、4 C、6 D、8

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5、图 $1$ 是高铁站入口的智能闸机及其示意图，如图 $2$ ，当双翼展开时，双侧挡板边缘的端点 $A$ 与 $B$ 之间的距离为 $10 c m$ ，双翼的边缘 $A C = B D = 54 c m$ ，且与闸机侧立面夹角 $∠ P C A = ∠ B D Q = 3 0^{°}$ ，可以通过闸机的物体的最大宽度为（）

A、 $27 c m$ B、 $54 c m$ C、 $64 c m$ D、 $70 c m$

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6、如图，经过直线AB外一点C作这条直线的垂线，作法如下：

(1)、任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁．（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．（3）分别以点D和点E为圆心，大于 $\frac{1}{2} D E$ 的长为半径作弧，两弧相交于点F．（4）作直线CF．
则直线CF就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为（）

A、△CDF B、△CDK C、△CDE D、△DEF

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7、如图， $A A^{'}$ ， $B B^{'}$ 表示两根长度相同的木条， $A A^{'} = B B^{'} = 12 c m$ ，若 $O$ 是 $A A^{'}$ ， $B B^{'}$ 的中点，经测量 $A B = 8 c m$ ，则容器的内径 $A^{'} B^{'}$ 为（）

A、 $6 c m$ B、 $8 c m$ C、 $12 c m$ D、 $14 c m$

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8、绝缘梯是电力工程的专用登高工具，如图，绝缘梯模型中 $O A ， O B$ 的长度都为 $2 m$ ，则A ， B两点之间的距离可能是（）

A、 $3 m$ B、 $4 m$ C、 $4.5 m$ D、 $5 m$

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9、阅读与思考

下面是小文撰写的数学小论文，请仔细阅读并完成相应任务．

形如 $a x^{2} + b x + c (a, b, c$ 是常数， $a \neq 0)$ 的多项式叫做关于x的二次三项式．我们已经学习了利用因式分解求解一些一元二次方程．反过来，是否可以利用求一元二次方程的根的方法，把一些二次三项式分解因式呢？根据下面的代数推理，可以得出结果：

设一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两个实数根为 $x_{1} = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ ， $x_{2} = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ ，计算： $a (x - x_{1}) (x - x_{2}) .$

解： $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$

$= a (x - \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}) (x - \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}) = a (x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a})$

$= a x^{2} + b x + c .$

即 $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) .$

这就是说，在因式分解二次三项式 $a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 时，可先求一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两个实数根，然后写成 $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ 的形式，即通过解一元二次方程可以将一些二次三项式分解因式．

任务：

(1)、已知p，q是两个常数，一元二次方程

x^{2} + p x + q = 0

的两个实数根为

x_{1} = - 7

，

x_{2} = 3

，则二次三项式

x^{2} + p x + q

分解因式的结果是______；

(2)、已知

x - 5

是多项式

x^{2} - (a + 1) x - a

的一个因式，则

a =

______；

(3)、请用阅读内容中的方法，在实数范围内分解因式：

3 x^{2} + 9 x - 1 . (

注：实数范围内分解因式是指因式中的系数和常数项是实数

)

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10、如图，在 $△ A B C$ 中， $D E ∥ B C$ ， $E F ∥ A B$ ， $B E$ 平分 $∠ A B C .$

(1)、求证：四边形 $D B F E$ 是菱形；

(2)、若 $A B = 10$ ， $B C = 8$ ，求DE的值．

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11、如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = 4.$

(1)、在 $A C$ 上求作一点D，连接 $B D$ ，使得 $△ A B D ∽ △ A C B$ ； $($ 要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹 $)$

(2)、若 $A B = 3$ ，求 $C D$ 的值．

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12、一个农业合作社以 $64000$ 元的成本收获了某种农产品 $80 t$ ，目前可以以 $1200 元 / t$ 的价格售出．如果储藏起来，每星期会损失 $2 t$ ，且每星期需支付各种费用 $1600$ 元，但同时每星期每吨的价格会上涨 $200$ 元．

(1)、设储藏了 $x$ 个星期，请用含 $x$ 的代数式表示每吨农产品的价格为______元，此时农产品有______吨；

(2)、若出售这批农产品可获利 $122000$ 元，问这批农产品储藏了多少个星期？

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13、解方程：

(1)、 $3 x^{2} - 4 x - 2 = 0$ ；

(2)、 $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ ；

(3)、 $(x + 2) (x + 4) = 15$ $.$

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14、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 6$ ， $B C = 3$ ，点E在边AB上， $A E = 2$ ，连接 $C E$ ，且 $∠ D C E = ∠ B C E .$ 点F在 $B C$ 的延长线上，连接 $D F .$ 若 $D F = D C$ ，则线段 $C F$ 的长为．

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15、已知 $3 x = 2 y$ ，则 $\frac{x - y}{x}$ 的值等于．

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16、如图，在△ABC中，点D在AC上，点F是BD的中点，连接AF并延长交BC点E，BE：BC＝2：7，则AD：CD＝（　　）

A、2：3 B、2：5 C、3：5 D、3：7

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17、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A C = B D$ ．再添加一个条件，仍不能判定四边形 $A B C D$ 是正方形的是（　　）

A、 $A B = B C$ B、 $∠ A B C = 90 °$ C、 $A C ⊥ B D$ D、 $∠ A B D = ∠ C B D$

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18、一元二次方程 ${(x + 1)}^{2} = 2 (x + 1)$ 的解为（）

A、 $x = 2$ B、 $x = - 1$ C、 $x = 2$ 或 $x = - 1$ D、 $x = 1$ 或 $x = - 1$

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19、综合实践
【问题情景】某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动．他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒．
【操作探究】

(1)、若准备制作一个无盖的正方体纸盒，如图1的四个图形中哪个图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒？

(2)、如图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“保”字相对的字是．
环
保
小
卫

士
图2

(3)、如图3，有一张边长为 $20cm$ 的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒．
①请你在如图3中画出示意图，用实线表示剪切纸，虚线表示折痕．
②若四角各剪去了一个边长为 $x cm$ 的小正方形，用含x的代数式表示这个纸盒的高为______ $cm$ ．
③当四角剪去的小正方形的边长为 $4cm$ 时，请直接写出纸盒的容积．

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20、李明同学学习了图形的展开与折叠后，帮助爸爸设计了一个正方体包装盒，如图所示，由于粗心少设计了其中一个面，请你把它补上，使其折叠后成为一个封闭的正方体包装盒．

(1)、共有种弥补方法；

(2)、任意画出一种成功的设计图（在图中补充）；

(3)、在（2）画出的设计图中，把5、6、7、10、11、12这些数分别填入六个小正方形中，使得折成的正方体包装盒对面上的两个数相加得17．（直接在图中填上数字，一种情况即可）

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环	保	小	卫
			士