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1、如图，直线 $A B ∥ C D$ ，点E，F分别在直线 $A B, C D$ 上，射线 $E G 从 E B$ 出发绕点E以每秒 $20 °$ 的速度逆时针旋转，射线 $F H 从 F C$ 出发绕点F以每秒 $40 °$ 的速度顺时针旋转，射线 $E G$ 先旋转6秒后射线 $F H$ 才开始旋转，在旋转过程中射线 $E G$ 与射线 $F H$ 不在同一条直线上，且射线 $F H$ 旋转的度数为 $180 °$ 时，两条射线的旋转运动同时停止，设射线 $F H$ 的旋转时间为t秒．

(1)、填空：射线 $F H$ 旋转的度数为度，射线 $E G$ 旋转的度数为度；（用含t的代数式表示）；

(2)、若 $E G ∥ F H$ ，求此时t的值．

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2、【概念学习】
现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2^③ ，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）^④ ，读作“（﹣3）的圈4次方”，一般地，把 $\frac{a \div a \div a \dots \div a}{n 个 a}$ （a≠0）写作a^ⓝ ，读作“a的圈n次方”．

(1)、【初步探究】
直接写出计算结果：2^③＝，（﹣ $\frac{1}{2}$ ）^④＝；

(2)、下列关于除方说法中，错误的是：．
A：任何非零数的圈2次方都等于1
B：对于任何正整数n，1^ⓝ＝1
C：3^④＝4^③
D：负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数

(3)、【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：（﹣3）^⑤＝，（ $\frac{1}{5}$ ）^⑥＝．

(4)、想一想：请把有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式为a^ⓝ＝．

(5)、算一算： $12^{2} \div {(- \frac{1}{3})}^{④} \times {(- 2)}^{⑥} - {(- \frac{1}{3})}^{⑥} \div 3^{3}$ ＝．

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3、如图1是一个消防云梯，其示意图如图2所示，此消防云梯由救援台 $A B$ ，延展臂 $B C$ （B在C的左侧），伸展主臂 $C D$ ，支撑臂 $E F$ 构成．在操作过程中，救援台 $A B$ ，车身 $G H$ 及地面 $M N$ 三者始终保持平行，
⑴当 $∠ E F H = 60 ° ， B C ∥ E F$ 时， $∠ A B C =$ 度；
⑵如图3为了参与另一项高空救援工作，需要进行调整，使得延展臂 $B C$ 与支撑臂 $E F$ 所在直线互相垂直，且 $∠ E F H = 70 °$ ，此时 $∠ A B C =$ 度．

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4、如图， $A B / / C D ， ∠ B E D = 110 ° ， B F$ 平分 $∠ A B E ， D F$ 平分 $∠ C D E$ ，则 $∠ B F D =$ （　　）

A、 $110 °$ B、 $115 °$ C、 $125 °$ D、 $130 °$

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5、如图，直线AB和CD相交于O点，OE⊥CD，OC平分∠AOF，∠EOF＝56°，
⑴∠BOD=度；
⑵写出图中所有与∠BOE互余的角，它们分别是．

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6、如图两平行线 $a 、 b$ 被直线 $c$ 所截，且 $∠ 1 = 4 0^{\circ}$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（　　）

A、 $3 0^{\circ}$ B、 $4 0^{\circ}$ C、 $5 0^{\circ}$ D、 $6 0^{\circ}$

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7、如图，直线 $A B$ 与x轴交于点A，与y轴交于点 $B (0, - 6 \sqrt{3})$ ，已知 $\frac{O A}{A B} = \frac{1}{2}$ ．

(1)、求点A的坐标；

(2)、已知点 $C (0, 8)$ ，在y轴上是否存在点P，使得 $△ A C P$ 是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、在x轴上有一动点M，连接 $B M$ ，将线段 $B M$ 绕点B顺时针旋转 $45 °$ 得到线段 $B N$ ，连接 $O N$ ，求 $O N + B N$ 的最小值的平方．

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8、阅读：
材料一：含 $30 °$ 角的直角三角形， $30 °$ 角所对的直角边等于斜边的一半；
材料二：连接三角形两条边的中点，形成的线段是三角形的中位线，三角形的中位线具有以下性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
完成以下问题：在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 120 °$ ，点 $D$ 是边 $B C$ 上的一点．

(1)、已知 $A B = A C$ ．
①如图1，将线段 $A D$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $120 °$ 得到线段 $A E$ ，连接 $C E 、 D E$ ．若 $∠ D E C = 90 °$ ，求 $\frac{B D}{C D}$ 的值；
②如图2，以 $A D$ 为边在其右侧作 $∠ D A F = 60 °$ ，交边 $B C$ 于点 $F$ ，若 $C F = 4$ ， $B C = 10$ ，求 $D F$ 之长；

(2)、如图3，点 $D$ 是边 $B C$ 的中点，将线段 $A D$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $120 °$ 得到线段 $A E$ ，连接 $C E$ ，点 $M$ 是边 $A B$ 上一点，连接 $C M$ ，满足 $∠ A C E = ∠ A M C$ ，已知 $C E = 6$ ， $A M = 4$ ，求 $B M$ 之长．

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9、已知 $a = \frac{2}{3 - \sqrt{7}}$ ， $b = \frac{2}{3 + \sqrt{7}}$ ．

(1)、求 $a^{2} - a b + b^{2}$ 的值；

(2)、求 $- a^{2} + 6 a + 2025$ 的值．

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10、如图，每个单位正方形的顶点称为格点，以其中任意3个格点为顶点，构成等腰直角三角形的个数为．

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11、在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C = 4$ ，点M是边 $B C$ 上的动点，连接 $A M$ ，以 $A M$ 为边在其右侧作正 $△ A M N$ ，连接 $C N$ ．则 $C N$ 的最小值为，此时 $△ C M N$ 的面积为．

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12、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，矩形 $A B C O$ 的顶点坐标分别是 $O (0, 0)$ 、 $A (- 10, 0)$ 、 $B (- 10, - 5)$ 、 $C (0, - 5)$ ，将 $△ A B C$ 沿对角线 $C A$ 翻折得到 $△ A D C$ ，边 $D C$ 交x轴于点E．则点E的坐标是，点D的坐标是．

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13、若 ${(3 - \sqrt{5})}^{2} = a + b \sqrt{5}$ ，其中a、b均为有理数，则 $a + b =$ ．

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14、已知等边三角形 $A B C$ ，点 $F$ 在直线 $A C$ 上，连接 $B F$ ，点 $D$ 在射线 $B C$ 上，连接 $F D$ ，且 $B F = F D$ ，

(1)、如图1，当点 $F$ 在边 $A C$ 上时，过点 $F$ 作 $F E ∥ A B$ 交 $A B$ 于点 $E$ ，求证： $△ B E F ≌ △ F C D$ ；若 $\frac{F A}{F C} = \frac{1}{3}$ ， $B F = 13$ ，求 $A C$ 的长；

(2)、如图2，点 $F$ 在 $C A$ 的延长线上，将 $△ A F B$ 以直线 $C F$ 为对称轴折叠得到 $△ A F E$ ，连接 $E D$ ， $F A = k A C$ （k为常数），求 $\frac{E D}{B D}$ 的值（用含k式子表示）．

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15、第12届世界运动会于2025年8月7日至8月17日在四川成都举行，健身运动的热潮也席卷全市，更多的人开始运动健身．为了方便人们运动，现在对市郊区绿道进行修整．绿道分布具体如下：已知 $A B = 16 k m$ ， $A C = 20 k m$ ， $B D = 13 k m$ ，点B在点C的正西方向，点D在点C的正北方 $5 k m$ 处．

(1)、试判断 $A B$ 与 $B C$ 的位置关系，并说明理由；

(2)、修整好后，居委会派出无人机进行环境检测，无人机从A飞到D，求线段 $A D$ 的长度．

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16、已知四边形 $A B C D$ 四个顶点的坐标分别是 $A (2, - 2)$ ， $B (4, 2)$ ， $C (- 3, 4)$ ， $D (- 3, - 2)$ ．

(1)、请在下方格点图中依次连接A、B、C、D、A，画出四边形 $A B C D$ ；

(2)、直接写出四边形 $A B C D$ 的面积为；

(3)、在x轴上确定一点P，使得 $P A ⊥ A B$ ，并写出P点坐标．

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17、

(1)、计算： $\sqrt{12} - 5 \sqrt{\frac{3}{4}} + \sqrt{48}$ ；

(2)、 $\sqrt{28} \div \sqrt{7} + (2 - \sqrt{6}) (2 + \sqrt{6})$ ；

(3)、解方程： $9 {(x - 1)}^{2} - 49 = 0$ ．

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18、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 5$ ，尺规作图以C为圆心，以 $B C$ 为半径作弧交 $A B$ 于点D；再分别以B、D为圆心，以大于 $\frac{1}{2} B D$ 长度的线段为半径作弧交于点M；作射线 $C M$ 交 $A D$ 于点E；若 $B E = 2$ ，则 $B C$ 的长是．

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19、已知 ${(a + 4)}^{2} + \sqrt{b - 3} = 0$ ，则 $P (a, b)$ 在第象限．

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20、 $\sqrt{16}$ 的平方根是； $- \frac{27}{125}$ 的立方根是．

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