相关试卷

1、如图， $D$ ， $E$ 分别是等边三角形 $A B C$ 的两边 $A B$ ， $A C$ 上的点，连接 $B E$ ， $C D$ 交于点 $P$ ，且 $A E = B D$ ．

(1)、求证： $C D = B E$ ，

(2)、若 $D$ 点， $E$ 点分别在边 $A B$ ， $A C$ 上改变位置时， $A E = B D$ 保持不变，发现 $∠ B P C$ 为定值，直接写出 $∠ B P C =$ ______．

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2、解下列不等式：

(1)、 $3 x - 2 > - 8$ ；

(2)、 $2 (x - 3) \leq 12 + 5 x$ ；

(3)、解不等式： $\frac{x + 2}{3} - 1 \leq \frac{1 - x}{6}$ ，把它的解集表示在数轴上．

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3、关于 $x$ 的不等式组 $\{\begin{matrix} m - x < 0 \\ 3 x - 2 < 1 + 2 x \end{matrix}$ 有且仅有3个整数解．则 $m$ 的取值范围是．

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4、已知关于 $x$ 的不等式 $3 x \leq 2 a - 1$ 的解集为 $x \leq - 1$ ，则 $a$ 的值为．

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5、一个三角形的三边长分别为 5，12，13，则这个三角形最长边上的高线为．

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6、不等式组 $\{\begin{matrix} \frac{x + 1}{2} \geq 0 \\ \frac{2 x - 1}{3} \leq 1 \end{matrix}$ 的解集，在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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7、如图，直线 $l_{1} : y = \frac{3}{2} x + 6$ 与直线 $l_{2} : y = - \frac{5}{2} x - 2$ 交于点 $P (- 2, 3)$ ，不等式 $\frac{3}{2} x + 6 + \frac{5}{2} x + 2 \geq 0$ 的解集是（）

A、 $x > - 2$ B、 $x \geq - 2$ C、 $x < - 2$ D、 $x \leq - 2$

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8、下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（）

A、 $(x + y) (x + y) = {(x + y)}^{2}$ B、 $x^{2} + 4 x y + 4 y^{2} = {(x + 2 y)}^{2}$ C、 $a x + a y + 1 = a (x + y) + 1$ D、 $x^{2} + x + 1 = {(x + 1)}^{2}$

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9、下列图形既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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10、数学之美源于生活．下列生活中的运动属于旋转的是（）

A、国旗上升的过程 B、输送带运输的行李箱 C、轮船航行时的螺旋桨的转动 D、商场的扶手电梯载着顾客上下楼

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11、下列式子中是一元一次不等式的是（）

A、 $2 x + 2 > 5$ B、 $x^{2} - 1 < 0$ C、 $2 x - y \leq 3$ D、 $\frac{2}{x} + 2 \geq 4$

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12、在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + 2 x + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 1, 0), B (3, 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，作直线 $B C$ ．

(1)、求抛物线的解析式．

(2)、如图，点 $P$ 是线段 $B C$ 上方的抛物线上一动点，过点 $P$ 作 $P Q ∥ A B$ ，交 $B C$ 于 $Q$ ，请问线段 $P Q$ 是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点 $P$ 的坐标；若不存在请说明理由．

(3)、设点 $D (1, n)$ ，点 $E (1, 1 - n)$ ，将线段 $D E$ 绕点 $D$ 顺时针旋转 $90 °$ 后得到线段 $D F$ ，以 $D E$ ， $D F$ 为边构造正方形 $D E G F$ ．
①用含 $n$ 的式子表示点 $G$ 的坐标；
②当正方形 $D E G F$ 的边与二次函数在 $x \leq 3$ 范围上的图象有且仅有一个公共点时，请直接写出 $n$ 的值或取值范围．

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13、如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4 \sqrt{3}, A D = 3$ ，点 $E$ 从点 $A$ 出发，以每秒 $\sqrt{3}$ 个单位长度的速度向终点 $B$ 运动，作 $∠ A E F = 30 °, E F$ 交 $A D$ 边或 $D C$ 边于点 $F$ ，且 $∠ A E F$ 和矩形 $A B C D$ 在直线 $A B$ 同侧，以 $E F$ 为边向右侧作等边 $△ E F G$ ，设点 $E$ 运动的时间为 $x$ 秒，等边 $△ E F G$ 与矩形 $A B C D$ 重叠部分的面积为 $y$ ．

(1)、当点 $F$ 在边 $A D$ 上时，用含 $x$ 的代数式表示 $E F$ 的长；

(2)、当点 $G$ 落在 $D C$ 边上时，求 $x$ 的值；

(3)、求 $y$ 与 $x$ 的函数解析式，并写出 $x$ 的取值范围．

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14、综合与实践：
【实践操作】如图1，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = α$ ．点 $E$ 是 $△ A B C$ 外一点，连接 $B E$ ，将线段 $E B$ 绕点 $E$ 按逆时针方向旋转，旋转角为 $α$ ，得到线段 $E D$ ，连接 $A E$ ， $B D$ ， $C D$ ．
【探究发现】试证明： $△ A B E ∽ △ C B D$ ；
【性质应用】如图2，点 $E$ 为正方形 $A B C D$ 内一点，连接 $B E$ ，将线段 $E B$ 绕点 $E$ 逆时针旋转 $90 °$ ，得到线段 $E F$ ，连接 $B F$ ， $A E$ ， $D F$ ，求出 $A E$ 与 $D F$ 之间的数量关系；
【拓展延伸】如图3，当 $α = 120 °$ 时，点 $E$ 在 $C A$ 的延长线上，连接 $B E$ ，将线段 $E B$ 绕点 $E$ 按逆时针向旋转 $120 °$ ，得到线段 $E D$ ，连接 $D B$ ， $D C$ ．求 $\tan ∠ E C D$ 的值．

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15、2025年，国务院印发《国务院关于深入实施“人工智能＋”行动的意见》，为人工智能的发展描绘了未来10年的战略蓝图．为了更好地拥抱人工智能，某校八年级信息技术社团在第一次能力测试之后，将人工智能技术应用于社团教学中，两个月后进行了第二次能力测试．从两次能力测试中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，绘制成如图统计图．
根据以上信息，整理、分析数据，得到下表：

平均成绩/分
中位数/分
众数/分
第一次测试
$7.2$
$7.5$
$b$
第二次测试
$8$
$a$
$8$

(1)、 $a =$ ________， $b =$ ________；

(2)、若规定 $9$ 分及 $9$ 分以上为优秀，该社团共 $200$ 名学生参加了第二次测试，估计在第二次测试中成绩优秀的学生人数；

(3)、结合两次测试成绩，通过分析统计量，你能得到什么结论？写出一条即可．

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16、2026年总台春晚分会场花落合肥，央视春晚的聚光灯将照亮江淮大地．合肥骆岗公园是由323公顷废弃机场蜕变而来的城市绿肺，首个以城市更新为核心，全园免费开放的大型公园，从硬地到生态奇迹．下图是骆岗公园的标志性建筑——全向信标台．小明利用周末时间，前往骆岗公园，借助三角函数知识，对全向信标台的高度进行测量，得到以下数据：如图，在 $A$ 点用垂直于地面放置的测角仪 $A E$ 测得顶端 $D$ 的仰角为 $53 °$ ，在 $B$ 处测得 $D$ 的仰角为 $45 °, A B$ 两点水平距离为 $14.6 m$ ，测角仪 $A E$ 高为 $1.6 m$ ．求全向信标台的高度（结果精确到 $1 m$ ）．（参考数据： $sin 53 ° \approx 0.80, cos 53 ° \approx 0.60, tan 53 ° \approx \frac{4}{3}$ ）

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17、如图，在矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 的垂直平分线分别交 $A B$ ， $C D$ 于点E，F，连接 $A F$ ， $C E$ ．

(1)、求证：四边形 $A E C F$ 是菱形；

(2)、如果 $∠ B C E = 26 °$ ，求 $∠ C A F$ 的度数．

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18、图①，图②均是 $5 \times 6$ 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点 $A$ ， $B$ ， $E$ ， $O$ 均在格点上．图①中已画出线段 $A B$ ，图②中已画出以 $O E$ 为半径的 $⊙ O$ ，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．

(1)、在图①中，以线段 $A B$ 为边，画一个四边形 $A B C D$ ，使其是中心对称图形但不是轴对称图形；

(2)、在图②中，画出经过点 $E$ 的 $⊙ O$ 的切线 $l$ ．

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19、先化简，再求值： $[(x + y) (x - y) - {(x - 2 y)}^{2} - 3 y^{2}] \div 4 y$ ，其中 $x = - 2$ ， $y = 1$ ．

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20、综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度 $h (cm)$ 是液体的密度 $ρ ({g/cm}^{3})$ 的反比例函数，其图象如图所示 $(ρ > 0)$ ．当溶液密度 $ρ = 2.5 g / c m^{3}$ 时，密度计浸在溶液中的高度h为 $cm$ ．

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	平均成绩/分	中位数/分	众数/分
第一次测试	$7.2$	$7.5$	$b$
第二次测试	$8$	$a$	$8$