相关试卷

1、甲、乙两个批发店销售同一种苹果．在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元 $/ kg$ ，在乙批发店，一次购买数量不超过 $50 kg$ 时，价格为7元 $/ kg$ ；一次购买数量超过 $50 kg$ 时，其中有 $50 kg$ 的价格仍为7元 $/ kg$ ，超出 $50 kg$ 部分的价格为5元 $/ kg$ ．有下列结论：
①若小王在甲、乙两个批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为 $90 kg$ ；
②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为 $120 kg$ ，则他在甲、乙两个批发店中的乙批发店购买花费少；
③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的甲批发店购买数量多．
其中正确的结论是（）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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2、朵朵每天从家去学校上学行走的路程为 $900$ 米，某天她从家去上学时以每分 $30$ 米的速度行走了 $450$ 米，为了不迟到她加快了速度，以每分 $45$ 米的速度行走完剩下的路程，那么朵朵距家的路程 $S$ （米）与她行走的时间 $t$ （分）之间的函数关系用图象表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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3、某数学小组准备小组活动时，如图1，某同学把直尺套装中的两个三角板拼接在一起得到四边形 $A B C D$ ．
【探索发现】
如图2，该同学连接 $D B$ ，他用量角器测的得 $∠ A D B = ∠ C D B = 45 °$ ．
这时，该同学就有了一个想法：在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = B C$ ，若点 $D$ 位置变化，变化过程中始终保持 $∠ A D C = 90 °$ 不变，是否还会有 $∠ A D B = ∠ C D B = 45 °$ ？
于是他猜想：如图3，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A D C = ∠ A B C = 90 °$ ， $A B = B C$ ，则有 $∠ A D B = ∠ C D B = 45 °$ ．
【验证猜想】
（1）该同学为了验证自己的猜想，他过点 $B$ 作 $B E ⊥ B D$ 交 $D C$ 的延长线于点 $E$ ，如图3．
请你帮助该同学完成证明过程；
$∵ ∠ A D C = ∠ A B C = 90 °$ ，
$∴ ∠ B A D + ∠ B C D =$ ________ $°$ ，
$∵ ∠ B C E + ∠ B C D = 180 °$ ，
$∴$ ________，
$∵ B E ⊥ B D$ ，
$∴ ∠ D B E = ∠ A B C = 90 °$ ，（请你帮助该同学完成证明过程）
…
【深入探索】
（2）如图3，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A D C = ∠ A B C = 90 °$ ， $A B = B C$ ，探究线段 $A D$ ， $B D$ ， $C D$ 之间的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图4，在△ $A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 2$ ， $B C = 3$ ，点 $D$ 为边 $A B$ 下方平面内一点，若△ $A B D$ 为等腰直角三角形，直接写出 $C D$ 的平方．

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4、小明在学习一次函数之后，对学习过程进行反思：在学习一个新函数的时候，我们从“数”和“形”两方面研究函数的性质，并积累了一些经验和方法．请根据学习函数的经验，对函数 $y = \sqrt{{(x - 2)}^{2}} + 1$ 的图象与性质进行探究，并解决相关问题．
问题一：认识函数

(1)、函数 $y = \sqrt{{(x - 2)}^{2}} + 1$ 中自变量 $x$ 的取值范围是；
$A$ ． $x \neq 2$ $B$ ．任意实数 $C$ ． $x \geq 2$ $D$ ． $x \geq 0$

(2)、如表是 $y$ 与 $x$ 的几组对应值．
$x$
$\dots$
$- 1$
0
1
2
3
4
5
$\dots$
$y$
$\dots$
4
3
$m$
1
2
3
4
$\dots$
直接写出表格中 $m$ 的值是；

(3)、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，描出以表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象；
问题二：结合函数图象，解决问题：
①方程 $\sqrt{{(x - 2)}^{2}} + 1 = 2$ 有个解；
②当 $1 < x < 4$ 时， $y$ 的取值范围是；
问题三：反思延伸

(4)、若点 $M (x_{1}$ ， $y_{1})$ ， $N (x_{2}$ ， $y_{2})$ 是函数 $y = \sqrt{{(x - t)}^{2}} + 1$ 图象上的任意两点，若对于 $0 < x_{1} < 1$ ， $2 < x_{2} < 3$ ，都有 $y_{1} < y_{2}$ ，则 $t$ 的取值范围是．

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5、根据下列素材，尝试解决问题：

无人机表演中的数学问题
素材1	为庆祝深圳经济特区建立45周年，一场融合科技与艺术的无人机灯光表演2025年8月26日晚8时26分在深圳市民广场与深圳人才公园同步盛大上演．该表演实现全球首次 $1.2$ 万架无人机升空．
素材2	表演期间，甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面12米高的升降平台起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达大赛指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙两架无人机按照大赛要求同时到达距离地面的高度为72米时，进行联合表演．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度 $y$ （米）与飞行的时间 $x$ （秒）之间的函数关系如图所示．
问题解决
问题一	（1）甲无人机的速度是____米/秒，乙无人机的速度是____米/秒；
问题二	（2）求线段 $H Q$ 对应的函数表达式；
问题三	（3）直接写出两架无人机的高度相同的时间．

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6、如图，一个透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）中装有水，点 $A$ 是圆柱下底面外壁的一点，点 $B$ 是上底面外壁与点 $A$ 相对的一点，在点 $B$ 正下方的水面紧贴内壁 $G$ 处有一食物．

(1)、若圆柱高为 $9 cm$ ，底面半径为 $6 cm$ ，将一根木棒放入该容器，使木棒完全在容器中，求该容器内能放入木棒的最大长度．

(2)、若圆柱高为 $9 cm$ ，底面周长为 $24 cm$ ，水深 $2 cm$ ，一只蚂蚁在点 $A$ 处．
①蚂蚁从点 $A$ 处沿圆柱侧面外壁爬行到点 $B$ 处，则爬行的最短路程 $cm$ ．
②蚂蚁从点 $A$ 处出发，则它吃到食物需要爬行的最短路程 $cm$ ．

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7、如图所示，学校计划在教学楼点 $A$ 、图书馆点 $B$ 、实验楼点 $C$ 之间铺设一块三角形草坪△ $A B C$ ，已知实验楼点 $C$ 的坐标为 $(1, 1)$ ．

(1)、为了美观，在关于 $x$ 轴对称的位置铺设另一块三角形草坪△ $A^{'} B^{'} C^{'}$ ，画出三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ ，则 $A^{'}$ 的坐标是_______，点 $B^{'}$ 的坐标是_______，点 $C^{'}$ 的坐标是_______；

(2)、请计算两块草坪的面积一共是多少？

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8、如图，一辆小车从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B，点A表示 $- \sqrt{2}$ ，设点B所表示的数为m

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、求 $|m - 1| + {(m + 6)}^{0}$ 的值．

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9、计算：

(1)、 $\sqrt{27} - \sqrt{12} - \sqrt{\frac{1}{3}}$ ；

(2)、 ${(2 - \sqrt{3})}^{2} - (2 + \sqrt{5}) (2 - \sqrt{5})$ ．

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10、如图，已知正方形 $A B C D$ 中， $B E = 2 C E$ ， $E A = E F$ ， $E A$ 垂直于 $E F$ ，已知 $B F = \sqrt{3}$ ，则 $F C =$ ．

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11、赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理而设计的几何图形．该图由四个全等的直角三角形（直角边分别为a和b，斜边为c）围绕一个正方形拼成一个大正方形（如图）．若图中大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，则以下关于a和b的结论正确的是（）

A、 $a + b = 5$ B、 $a b = 8$ C、 $a^{2} + b^{2} = 12$ D、 $a - b = 2$

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12、下列四种说法正确的个数（）
（1）立方根是它本身的数是1；（2）平方根是它本身的数是0；（3）算术平方根是它本身的数是0；（4）倒数是它本身的数是1和 $- 1$ ．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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13、在实数 $\frac{22}{7}$ ， $- \sqrt{5}$ ， $π$ ， $\sqrt[3]{8}$ ， $3.14$ ， $1.212212221 \dots$ （相邻两个1之间的2的个数逐渐加 $1$ ）中，无理数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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14、众所周知：在数轴上，点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，那么A、B两点间的距离为 $|a - b|$ ．

(1)、当 $a = 3$ ， $b = - 2$ 时，求A、B两点之间的距离；

(2)、已知a与b的和恰好等于A、B两点间的距离，求 $a b$ 的值；

(3)、已知 $a - b = - 2025$ ，设点C在数轴上表示的数为x．
①填空：当 $|x - a| + 2 |x - b| = 2025$ 时，x满足的条件为______，
当 $2 |x - a| + |x - b| = 2025$ 时，x满足的条件为______；
②对于 $p > 0$ ，求 $|x - a| + p |x - b|$ 的最小值及其C点的位置．

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15、生活中，我们比较熟悉的计数方式是“逢十进一”，这就是十进制．而在计算机领域，还有一种“逢八进一”的计数方式，叫做八进制．
八进制与我们熟悉的十进制对应关系如下表：
八进制
0
1
2
3
4
5
6
7
10
11
12
13
…
十进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
…
观察发现：八进制数10表示十进制中的8，即 $1 \times 8^{1} + 0 \times 8^{0}$ ；同理，八进制数23表示十进制中的19，即 $2 \times 8^{1} + 3 \times 8^{0}$ ．
根据以上材料，解答下列问题：

(1)、填空：八进制数35代表十进制中的数是；

(2)、已知一个八进制两位数，各位数字的和为8，若该八进制两位数转换成十进制数后，是一个小于40的偶数，求所有满足条件的八进制数；

(3)、①求八进制数246转换为十进制数后除以7所得的余数；
②对于所有各位数字之和为12的八进制三位数，它们的十进制值除以7所得的余数是否固定不变？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

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16、如图①是某校操场实物图，图②是该校操场示意图，共有六条跑道，每条跑道由两条直跑道和两个半圆形的跑道组成，每两条跑道之间的距离是相等的，第一条跑道长为400米，且两端半圆的半径R为36米（ $π$ 取3）

(1)、求第一条跑道两端半圆形跑道的总长度；

(2)、若每两条跑道之间的距离为a米，第六条跑道周长为b米，试用含a的代数式表示b；

(3)、若每两条跑道之间的距离a为 $1.22$ 米，现学校要进行400米比赛，如果终点相同，则第一条跑道和第五条跑道的起跑线应相差多少米？

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17、如图，大正方形 $A B C D$ 的边长为a，小正方形 $C E F H$ 的边长为b．

(1)、请用字母a、b表示出图中阴影部分的面积；若 $a = 10$ ， $b = 5$ ，阴影部分的面积是多少？

(2)、有同学通过研究发现，图中三角形 $B D F$ 的面积只与a的值有关，而与b的值无关，你认为他的这个发现正确吗？写出你的理由．

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18、已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2．求 $- \frac{a + b}{2025} - c d + m - 3$ 的值．

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19、先化简，再求值： $(2 x^{2} y - 3 x y^{2}) - 3 (x^{2} y - x y^{2})$ ，其中x，y满足 $|x + 2| + {(y - 1)}^{2} = 0$

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20、在数轴上表示下列有理数，并用“ $<$ ”连接下列各数．
$1.5$ ， $- \frac{1}{2}$ ， 0， $- 4$ ， $- (- 3.5)$

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$x$	$\dots$	$- 1$	0	1	2	3	4	5	$\dots$
$y$	$\dots$	4	3	$m$	1	2	3	4	$\dots$

八进制	0	1	2	3	4	5	6	7	10	11	12	13	…
十进制	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	…