相关试卷

1、一个不透明的袋子中装有4个黑球和5个黄球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到黄球的概率是．

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2、一元二次方程 $x^{2} - 5 x - 2 = 0$ 的常数项是．

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3、如图，四边形 $A B C D$ 是正方形， $△ C D E$ 是等边三角形，则 $∠ A E C$ 的度数为（　　）

A、 $75 °$ B、 $60 °$ C、 $45 °$ D、 $30 °$

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4、小明购买了四张背面一样的“二十四节气”主题卡片，分别是“立秋、秋分、寒露、霜降”，把卡片背面朝上洗匀后，从中随机同时抽取两张卡片，恰好抽到“秋分、寒露”这两个节气的概率是（　　）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{6}$

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5、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 5 x + 2 m = 0$ 有一个根为2，则 $m$ 的值为（　　）

A、3 B、 $- 3$ C、7 D、 $- 7$

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6、某商场为吸引顾客，举办“抽盲盒赢优惠券”活动，盲盒中只有“有券”和“无券”两种结果，且每次抽盲盒的结果相互独立．工作人员记录了不同抽盒次数下“抽到有券”的频率，数据如下表：
抽盒总次数
50
100
300
500
1000
抽到有券的次数
12
23
61
98
202
抽到有券的频率
$0.24$
$\begin{array}{l} 0.23 \end{array}$
$0.203$
$0.196$
$0.202$
据此估计，顾客单次抽盲盒“抽到有券”的概率最接近（　　）

A、 $0.1$ B、 $0.2$ C、 $0.3$ D、 $0.4$

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7、如图，矩形 $A B C D ∽$ 矩形 $E F G H$ ，若 $A B = 2 cm$ ， $E F = 3 cm$ ，则矩形 $A B C D$ 与矩形 $E F G H$ 的相似比为（　　）

A、 $2 : 3$ B、 $3 : 2$ C、 $4 : 9$ D、 $9 : 4$

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8、菱形 $A B C D$ 的边 $A B$ 的长度为 $3 cm$ ，则周长为（　　）

A、6cm B、 $9 cm$ C、 $12 cm$ D、 $14 cm$

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9、图1是一种利用了四边形不稳定性设计的千斤顶．如图2所示，该千斤顶的基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变 $∠ A D C$ 的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A，C之间的距离）．已知 $A B = 36 cm$ ．

(1)、当 $∠ A D C = 60 °$ 时，求千斤顶高 $A C$ 的长度；

(2)、当 $∠ A D C$ 从 $60 °$ 变为 $120 °$ 时，千斤顶升高了多少？

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10、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A E ⊥ B C$ 于点 $E$ ，延长 $B C$ 至 $F$ 点，使 $C F = B E$ ，连接 $A F$ ， $D E$ ， $D F$ ．

(1)、求证：四边形 $A E F D$ 是矩形；

(2)、若 $A B = 6$ ， $D E = 8$ ， $B F = 10$ ，求 $A E$ 的长．

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11、【材料】请你先认真阅读材料并解决下面问题．
已知关于 $x$ 、 $y$ 的方程 $(x + y)^{2} - 2 (x + y) - 8 = 0$ ，求 $x + y$ 的值．
解：设 $t = x + y$ ，则方程变形为： $t^{2} - 2 t - 8 = 0$
$∴ (t - 4) (t + 2) = 0$
$∴ t_{1} = 4$ ， $t_{2} = - 2$ ，即 $x + y = 4$ 或 $x + y = - 2$

(1)、【引申】已知 $(m^{2} + n^{2} - 1)^{2} = 1$ ，则 $m^{2} + n^{2} =$ ．

(2)、【拓展】已知 $(x^{2} + x) (x^{2} + x - 1) = 2$ ，求 $x^{2} + x$ 的值．

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12、如图，在正方形ABCD中， $A B = 3$ ，点M在CD的边上，且 $D M = 1$ ， $△ A E M$ 与 $△ A D M$ 关于AM所在的直线对称，将 $△ A D M$ 按顺时针方向绕点A旋转90°得到 $△ A B F$ ，连接EF，则线段EF的长为．

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13、如图，在网格(网格的正方形边长为 $1$ )中，格点四边形 $A B C D$ 是菱形，则此四边形 $A B C D$ 的面积等于．

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14、如图，正方形 $A B C D$ 的对角线相交于点 $O$ ，点 $E$ 在 $A B$ 边上，点 $F$ 在 $O D$ 上，过点 $E$ 作 $E G ⊥ B D$ ，垂足为点 $G$ ，若 $E F ⊥ C F$ ， $O F = 3$ ，则 $B E$ 的长为（）

A、3 B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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15、综合与实践
【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程．
【操作实践】在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 10$ ， $A D = 17$ ，点 $E$ 是线段 $B C$ 上异于点 $B$ 的一个动点，连接 $A E$ ，把 $△ A B E$ 沿直线 $A E$ 折叠，使点 $B$ 落在点 $P$ 处．
【初步感知】（1）如图1，当 $E$ 为 $B C$ 的中点时，延长 $A P$ 交 $C D$ 于点 $F$ ，求证： $F P = F C$ ．
【深入探究】（2）如图2，点 $M$ 在线段 $C D$ 上， $C M = 4$ ．点 $E$ 在移动过程中，求 $P M$ 的最小值．
【拓展运用】（3）如图2，点 $N$ 在线段 $A D$ 上， $A N = 4$ ．点 $E$ 在移动过程中，点 $P$ 在矩形内部，当 $△ P D N$ 为直角三角形时，求 $B E$ 的长．（在备用图中画出简图并直接写出答案）．

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16、如果关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程 $x^{2} + x = 0$ 的两个根是 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = - 1$ ，则方程 $x^{2} + x = 0$ 是“邻根方程”．

(1)、通过计算，判断方程 $x^{2} - x - 6 = 0$ 是否是“邻根方程”；

(2)、已知关于x的方程 $x^{2} - (m - 1) x - m = 0$ （m是常数）是“邻根方程”，求m的值；

(3)、若关于x的方程 $a x^{2} + b x + 1 = 0$ （a、b是常数， $a > 0$ ）是“邻根方程”，令 $t = 8 a - 4 - b^{2}$ ，试求t的最大值．

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17、（1）解方程： $x^{2} = 2 x$ ；
（2）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解： $3 x^{2} + 12 x - 6 = 0$
二次项系数化为1，得 $x^{2} + 4 x - 2 = 0$ …………………………第一步
移项，得 $x^{2} + 4 x = 2$ …………………………第二步
配方，得 $x^{2} + 4 x + 4 = 2 + 4$ ，即 ${(x + 2)}^{2} = 6$ ． …………………………第三步
由此，可得 $x + 2 = \sqrt{6}$ ． …………………………第四步
所以， $x = - 2 + \sqrt{6}$ ． …………………………第五步
填空：
①“第二步”变形的数学依据是_______；（用文字语言填空）
②小明同学这种解一元二次方程的方法叫做配方法，其中第三步配方时用到的数学公式是_______；（用数学符号语言填空）
③小明同学的解题过程中，从第_______步开始出现错误，正确答案应为_______．

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18、如图．在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ，点D，E分别在边AB和BC上，且 $A D = 4$ ， $C E = 3$ ，连接DE，点M，N分别是AC，DE的中点，连接MN，则MN的长为．

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19、如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点 B处反射后，恰好经过木板的边缘点 F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度 $E D = 3.5 m$ ，点F到地面的高度 $F C = 1.5 m$ ，灯泡到木板的水平距离 $A C = 5.4 m$ ，墙到木板的水平距离为 $C D = 4 m$ ．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点 A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度 $G A$ 为．

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20、如图，在 $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C 、 B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E 、 F$ 在 $A C$ 上，且 $A E = C F$ ，添加一个适当的条件，使四边形 $B E D F$ 是菱形，这个条件可以是．（填一个正确条件即可）

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抽盒总次数	50	100	300	500	1000
抽到有券的次数	12	23	61	98	202
抽到有券的频率	$0.24$	$\begin{array}{l} 0.23 \end{array}$	$0.203$	$0.196$	$0.202$