相关试卷

1、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于点D， $D E ⊥ A B$ ，垂足为E，若 $B C = 10, D E = 4$ ，则 $B D$ 的长为．

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2、[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
例如，把二次三项式 $x^{2} - 2 x + 3$ 进行配方．
解： $x^{2} - 2 x + 3 = x^{2} - 2 x + 1 + 2 = (x^{2} - 2 x + 1) + 2 = {(x - 1)}^{2} + 2$ ．
我们定义：一个整数能表示成 $a^{2} + b^{2}$ （ $a$ ， $b$ 是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”．理由：因为 $5 = 2^{2} + 1^{2}$ ．再如， $M = x^{2} + 2 x y + 2 y^{2} = {(x + y)}^{2} + y^{2}$ （ $x$ ， $y$ 是整数），所以 $M$ 也是“雅美数”．

(1)、[问题解决]6，7，8，10四个数中的“雅美数”是．

(2)、若二次三项式 $x^{2} - 6 x + 13$ （ $x$ 是整数）是“雅美数”，可配方成 ${(x - m)}^{2} + n^{2}$ （ $m$ ， $n$ 为常数），则 $m n$ 的值为；

(3)、[问题探究]已知 $S = x^{2} + 4 y^{2} + 8 x - 12 y + k$ （ $x$ ， $y$ 是整数， $k$ 是常数且 $x \neq - 4$ ， $y \neq \frac{3}{2}$ ），要使S为“雅美数”，试求出符合条件的 $k$ 值．

(4)、[问题拓展]已知实数 $M$ ， $N$ 是“雅美数”，求证： $M \cdot N$ 是“雅美数”．

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3、尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题．数学课堂上，黄老师给同学们呈现了这样一个数学问题：如图，在矩形纸片 $A B C D$ 中，点E在 $A D$ 边的中点，将矩形纸片折叠，使点B与点E重合．

(1)、请在图中作出折痕，交 $A B$ 边于点F，交 $C D$ 边于点G，连接 $E F$ ，并在矩形纸片内用尺规作出一点M，使得四边形 $B F E M$ 是菱形，请给出证明；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
作图步骤1（作出折痕）：；
作图步骤2（作出点M）：．
证明：

(2)、在（1）的条件下，若折痕 $F G$ 交 $B E$ 于点H，连接 $A H$ ，若 $A H$ 长为6， $B F$ 为 $2 \sqrt{11}$ ，直接写出 $F M$ 的长．

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4、近年来，雪豹已成为西宁的城市新名片．某文创店内以“雪豹”为主题的文创产品琳琅满目．数学兴趣小组的同学想要调查全校学生对其中四类文创产品的喜爱情况，设计了调查问卷．

调查问卷

年月

在下面四类文创产品中，你最喜爱的是( )(单选)

A．玩偶 B．冰箱贴 C．创意摆件 D．手机挂件

【数据的收集与整理】

数学兴趣小组的同学从收集到的调查问卷中随机抽取了部分问卷进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，请回答下列问题∶

(1)本次抽样调查的样本容量是________；

(2)扇形图中“玩偶”对应扇形的圆心角的度数是________；

【做出合理估计】

(3)若全校共有1800名学生，请你估计全校最喜爱手机挂件的学生人数是多少？

【解决概率问题】

(4)文创店负责人为了宣传以“雪豹”为主题的文创产品，端午节期间设置了抽奖活动∶在一个不透明的盒子中装有四个完全相同的小球，它们分别写有A，B，C，D(A玩偶、B冰箱贴、C创意摆件、D手机挂件)，摸出哪个小球就获得相应的文创产品．甲随机摸出一个小球后，放回并摇匀，乙再随机摸出一个．请用画树状图或列表的方法求出甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的概率．

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5、先化简，再求值： $\frac{a^{2} + 2 a + 1}{a^{2} + a} \div (a - \frac{1}{a})$ ，其中 $a = \sqrt{2} + 1$ ．

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6、解方程：

(1)、 ${(x + 1)}^{2} = 2 (x + 1)$

(2)、 $2 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

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7、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ， $P$ 为 $A B$ 边上（不与 $A$ 、 $B$ 重合）的动点，过点 $P$ 分别作 $P E ⊥ A C$ 于点 $E$ ， $P F ⊥ B C$ 于点 $F$ ，则线段 $E F$ 的最小值是．

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8、用配方法解关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 8 = 0$ ，配方后的方程是（）

A、 ${(x + 2)}^{2} = 8$ B、 ${(x - 2)}^{2} = 8$ C、 ${(x + 2)}^{2} = 12$ D、 ${(x - 2)}^{2} = 12$

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9、下列计算正确的是（）

A、 $a^{3} \div a = a^{2}$ B、 $a^{2} \div a^{3} = a^{6}$ C、 $a^{7} - a^{3} = a^{4}$ D、 ${(a^{4})}^{3} = a^{7}$

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10、下列交通标志中，属于轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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11、通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型理解】
（1）如图①， $△ A B C$ ， $△ A D E$ 共顶点A， $A B = A C$ ， $A D = A E$ ， $∠ B A C = ∠ D A E$ ，连 $B D 、 C E$ ．由 $∠ B A C - ∠ D A C = ∠ D A E - ∠ D A C$ ，得 $∠ B A D = ∠ C A E$ ．又 $A B = A C$ ， $A D = A E$ ，可以推理得到 $△ A B D ≌ △ A C E$ ，进而得到 $B D =$ ______， $∠ A B D =$ ______．
【问题研究】
（2）小明同学在思考完上述问题后，解决了下面的尺规作图问题．
如图②，已知直线a、b及点P，a与b不平行．作等腰直角 $△ P A B$ ，使得点A、B分别在直线a、b上．

小明同学作法简述如下：如图③，过点P作 $P D ⊥ a$ ，垂足为点D，以P为直角顶点作等腰直角三角形 $P D E$ ，过点E作 $E B ⊥ P E$ ，交b于点B，在a上截取 $D A = B E$ ，连 $A B$ ． $△ P A B$ 即为所要求作的等腰直角三角形．
请证明小明的作法是正确的．
【深入研究】
小明同学经过研究发现：在上题条件下，也能作出等边 $△ P A B$ ，使得点A、B分别在直线a、b上．
（3）请你简述作法，并在图④中画出示意图．（不需要尺规作图）

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12、如图，在 $△ A B C$ 中．

(1)、如图1，若 $A C = 6 \sqrt{2}, A B = 2, ∠ A = 45 °$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、如图2， $∠ A = 45 °$ ， $D$ 为 $△ A B C$ 外的一点，连接 $C D, B D$ ，且 $C D = C B, ∠ A B D = ∠ B C D$ ，过点 $C$ 作 $C E ⊥ A C$ 交 $A B$ 的延长线于点 $E$ ，请写出 $B D, A B, A C$ 之间的数量关系，并给出证明；

(3)、如图3， $∠ C A E = 45 °, ∠ C = 90 °$ ，作 $A P$ 平分 $∠ C A E$ 交 $C E$ 于点 $P$ ，过 $E$ 点作 $E M ⊥ A P$ 交 $A P$ 的延长线于点 $M$ ，点 $K$ 为直线 $A C$ 上的一个动点，连接 $M K$ ，过 $M$ 点作 $M N ⊥ M K$ ，且始终满足 $M N = M K$ ，连接 $A N$ ， $A C = 2$ ，请直接写出 ${(A N + M N)}^{2}$ 的最小值．

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13、在等边 $△ A B C$ 外侧作直线 $A P$ ，点 $B$ 关于直线 $A P$ 的对称点为 $D$ ，连接 $B D$ ， $C D$ ，其中 $C D$ 交直线 $A P$ 于点 $E$ ．

(1)、如图1，若 $∠ P A B = 30 °$ ，则 $∠ A C E =$ _________；

(2)、如图2，若 $60 ° < ∠ P A B < 90 °$ ，请补全图形，判断由线段 $A B$ ， $C E$ ， $E D$ 可以构成一个含有多少度角的三角形，并说明理由．

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14、如图， $△ A B C$ 是等腰直角三角形， $∠ C = 90 °$ ， D是 $A B$ 的中点， $D E ⊥ D F$ ，点E，F在 $A C$ ， $B C$ 上．

(1)、求证： $D E = D F$ ．

(2)、连结 $E F$ ，则 $B F 、 A E 、 E F$ 之间有什么数量关系？请说明理由．

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15、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D$ 是斜边AB上的高线，且 $A B = 13 ， B C = 12$ ．求：

(1)、 $A C$ 的长．

(2)、 $C D$ 的长．

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16、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D = C D, ∠ A D C = 90 °, ∠ A B C = 60 °$ ， $B C = 6 \sqrt{3}$ ， $B D = 7 \sqrt{2}$ ，则 $A B$ 的长为．

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17、 $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线， $D F ⊥ A B$ ，垂足为F， $D E = D G$ ， $△ A D G$ 和 $△ A E D$ 的面积分别为60和42，则 $△ D E F$ 的面积为．

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18、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B = 36 °$ ．分别以点A，C为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线 $D E$ 分别交 $A C$ ， $B C$ 于点F，G．以G为圆心， $G C$ 长为半径画弧，交 $B C$ 于点H，连接 $A G$ ， $A H$ ．则 $∠ H A B =$ ．

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19、已知 $a 、 b 、 c$ 为 $△ A B C$ 的三边，且满足 $a^{2} c^{2} - b^{2} c^{2} = a^{4} - b^{4}$ ，则 $△ A B C$ 为三角形．

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20、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A = 70 °$ ， $C D ⊥ A B$ ，垂足为D，E是 $B C$ 的中点，连接 $E D$ ，则 $∠ C E D$ 的度数是（）

A、 $20^{\circ}$ B、 $40^{\circ}$ C、 $55^{\circ}$ D、 $70^{\circ}$

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