相关试卷

1、某班开展“我爱北京”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”（分别记作A，B，C，D）四个研究主题，并采取小组合作的研究方式。同学们在四张完全相同的不透明卡片的正面分别写上这四个研究主题，卡片背面保持完全相同。

(1)、将这四张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“历史”的概率为；

(2)、各小组从这四张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究主题。将这四张卡片背面朝上洗匀后，小明代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果后放回，背面朝上洗匀后，小红代表第二小组从中随机抽取一张。请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究主题不同的概率。

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2、已知在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， $△ A B C$ 的三个顶点A，B，C均在格点(小正方形的顶点)上。

(1)、如图1，以边AC的中点O为旋转中心，将 $△ A B C$ 旋转180°，得到 $△ A$ ₁B₁C₁ ，画出 $△ A$ ₁B₁C₁；

(2)、如图2，在图中找一个格点E，使 $∠ A E C + ∠ A B C = 180$ °。

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3、在二次函数 $y = a x^{2} + b x - 2$ 中， $x$ 与 $y$ 的几组对应值如表所示。
$x$
…
$- 2$
$0$
$1$
…
$y$
…
$- 2$
$- 2$
$1$
…

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象；

(3)、将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后所得图象与直线 $y = 2$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，请直接写出线段 $A B$ 的长。

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4、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 3 m x + 2 m^{2} = 0$ 。

(1)、求证：该方程总有两个实数根；

(2)、若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是此方程的两个实数根，且 $2 x_{1} - x_{2} = 3$ ，求 $m$ 的值。

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5、如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编修的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一。
如图2，是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用 $弧 A C B$ 表示，点 $O$ 是 $弧 A C B$ 所在圆的圆心， $A B$ 是月洞门的横跨， $C D$ 是月洞门的拱高。现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图。
如图3，已知月洞门的横跨为 $A B$ ，拱高为 $a$ 。作法如下：
①作线段 $A B$ 的垂直平分线 $M N$ ，垂足为点 $D$ ；
②在射线 $D M$ 上截取 $D C = a$ ；
③连接 $A C$ ，作线段 $A C$ 的垂直平分线交 $C D$ 于点 $O$ ；
④以点 $O$ 为圆心， $O C$ 的长为半径作 $\overset{⏜}{A C B}$ 。
则 $\overset{⏜}{A C B}$ 就是所要作的圆弧。
解答下列问题：

(1)、请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）；

(2)、若 $A B = 1 m$ ， $C D = 2.5 m$ ，求 $⊙ O$ 的半径长。

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6、某工厂用甲、乙两种原料生产A，B两种产品。每日原料供应量如表一所示，每件产品所需原料及利润如表二所示：
表一
原料
甲
乙
日供应量（kg）
60
80
表二
产品类型
甲原料(kg/件)
乙原料(kg/件)
利润(元/件)
A
2
4
50
B
4
2
60
应市场需求，工厂要求每天生产的B产品数量不少于A产品数量。

(1)、若全部生产B产品，每日最多可生产件；

(2)、工厂每日最大总利润为元。

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7、如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C A = C B$ ，在 $△ C D E$ 中， $∠ D C E = 90 °$ ， $∠ E = 30 °$ ， $A B = C E = 12$ ，点C，B，E在一条直线上。若在图1的基础上，保持 $△ C D E$ 不动，把 $△ A B C$ 绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A落在边DE上(如图2)，则旋转角 $∠ A C D =____°$ 。

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8、如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与直线 $y = m x + n (m \neq 0)$ 相交于点 $P (- 2,3)$ ， $Q (5,7)$ ，则关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + c = m x + n$ 的解是。

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9、我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”。如图是研究“割圆术”的一个图形， $弧 A B$ 所在圆的圆心为点 $O$ ，四边形 $A B C D$ 为矩形，边 $C D$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $E$ ，连接 $B E$ ， $∠ A B E = 15 °$ ，连接 $O E$ 交 $A B$ 于点 $F$ 。若 $A B = 4$ ，则 $\overset{⏜}{A B}$ 的长为（结果保留 $π$ ）。

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10、某林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示：
移植的棵数 $a$
100
300
600
1000
7000
15 000
成活的棵数 $b$
87
279
535
887
6337
13 581
成活的频率 $\frac{b}{a}$ （保留小数点后三位）
0.870
0.930
0.892
0.887
0.905
0.905
根据表中的信息，估计银杏树苗在这个条件下移植成活的概率约为（精确到0.1）。

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11、写出一个二次函数，使其图象满足：①开口向下；②经过点（0，2）。这个二次函数的解析式可以是。

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12、如图，在⊙O中，点C是直径AB上的动点(不与点A，B重合)，分别以AC和BC为直径作半圆，记阴影部分Ⅰ的面积为S₁ ，周长为C₁。过点C作 $C D ⊥ A B$ 交⊙O于点D，以CD为直径作圆，记此圆(阴影部分Ⅱ)的面积为S₂ ，周长为C₂。
给出下面四个结论：
①S₁ = S₂； ②S₁ 与S₂ 之和为定值；
③C₁ 为定值；④C₂ 不超过C₁ 的一半。
上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A、①② B、③④ C、①②③ D、①③④

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13、在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y(厘米/天)和光照强度x(勒克斯)之间存在一定关系。在低光照强度范围( $200 \leq x$ <； 1000)内，y与x近似成一次函数关系；在中高光照强度范围( $x \geq 1000$ )内，y与x近似成二次函数关系。其部分图象如图所示。根据图象，下列结论正确的是（）

A、当 $x \geq 1000$ 时，y随x的增大而减小 B、当x $= 2000$ 时，y有最大值 C、当y $\geq 0$ .6时， $x \geq 3000$ D、当 $y = 0$ .4时， $x = 600$

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14、已知点A( $- 2$ ， y₁)，B(1，y₂)在抛物线 $y = 2 x$ ² $+ 2 x + 1$ 上，则下列判断正确的是（）

A、1 < y₁ $= y$ ₂ B、y₁ $= y$ ₂ < 1 C、y₁ <1 <y₂ D、y₂ <1 <y₁

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15、如图， $△ A B C$ 内接于⊙O， $∠ B A C = 30$ °。分别以点A和点B为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，连接BD并延长交⊙O于点E，连接OA，OE，则 $∠ A O E$ 的度数是（）

A、30° B、50° C、60° D、75°

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16、一元二次方程 $2 x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 的根的情况，下列结论正确的是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、无法判断根的情况

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17、如图，将 $∆ A B C$ 绕点A逆时针旋转 $90 °$ 得到 $∆ A D E$ ，若 $A C = 6$ ，连接CE，则CE的长为（）

A、3 B、6 C、 $6 \sqrt{2}$ D、12

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18、 2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射.下列航天图案是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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19、在下列事件中，不可能事件是（）

A、投掷一枚硬币，正面向上 B、从只有红球的袋子中摸出黄球 C、通常加热到 $100 ° C$ 时，水沸腾 D、射击运动员射击一次，命中靶心

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20、如图，点 $O$ 和点 $O^{'}$ 分别是正方形 $A B C D$ 和正方形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 对角线的交点，边 $A^{'} B^{'} ∥ A B$ 且过点 $O$ ，与边 $B C$ 交于点E， $A^{'} D$ 与边 $D C$ 交于点F，连接 $O O^{'}$ ．已知 $A B = 8$ ， $A^{'} O = E B^{'} = a (a > 0)$ ．

(1)、求证：重叠部分的四边形 $A^{'} F C E$ 是矩形．

(2)、若 $tan ∠ O^{'} O B^{'} = \frac{5}{4}$ ，求a的值．

(3)、若正方形 $A B C D$ 和正方形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 分别绕点O和点 $O^{'}$ 顺时针旋转相同的角度后，重叠部分的四边形恰好为正方形，且 $O O^{'} = \sqrt{13}$ ，求重叠部分正方形边长．

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产品类型	甲原料(kg/件)	乙原料(kg/件)	利润(元/件)
A	2	4	50
B	4	2	60

移植的棵数 $a$	100	300	600	1000	7000	15 000
成活的棵数 $b$	87	279	535	887	6337	13 581
成活的频率 $\frac{b}{a}$ （保留小数点后三位）	0.870	0.930	0.892	0.887	0.905	0.905

$x$	…	$- 2$	$0$	$1$	…
$y$	…	$- 2$	$- 2$	$1$	…

原料	甲	乙
日供应量（kg）	60	80