相关试卷

1、【问题呈现】
如图1，∠MPN的顶点在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠MPN＝90°，将∠MPN绕点P旋转，旋转过程中，∠MPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段DE、DF、AD之间的数量关系．

(1)、【问题初探】
爱动脑筋的艾坤发现，通过证明 ≌ ，可以得到结论．请直接写出线段DE、DF、AD之间的数量关系；

(2)、【问题引申】
如图2，将图1中的正方形ABCD改为∠ADC＝120°的菱形，∠EPF＝60°，其他条件不变，请你写出线段DE、DF、AD之间的数量关系，并说明理由；

(3)、【问题解决】
如图3，在（2）的条件下，∠MPN的两边分别与菱形ABCD的边AD和CD所在直线交于点E、F（点F与点C，D不重合），当菱形的边长为8，点P运动至与A点距离恰好为7的位置，且∠EPF旋转至 $D F = \sqrt{3}$ 时，请直接写出DE的长度．

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2、【问题发现】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法．例如x²+2x﹣35＝0，可变形为x（x+2）＝35．如图1，构造一个长为x+2、宽为x、面积为35的矩形；如图2，将4个矩形构造成一个边长为（x+x+2）的大正方形，中间恰好是一个边长为2的小正方形．大正方形的面积可表示为（x+x+2）² ，也可表示为4×35+2² ，由此可得新方程：（x+x+2）²＝144，易得这个方程的正数解为x＝5．注意：这种构造图形的方法只能求出方程的一个根!

(1)、尝试：小颖根据赵爽的解法解方程2x²+3x﹣2＝0，请将其解答过程补充完整：
第一步：将原方程变为 $x^{2} + \frac{3}{2} x - 1 = 0$ ，即x（）＝1；
第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；（在画图区画出示意图，标明各边长）
第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：；解得原方程的一个根为；

(2)、【思维拓展】参照以上方法求出关于x的一元二次方程x²+bx＝c（b＞0，c＞0）的正数解（用含b，c的代数式表示）．

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3、如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ，过点 $A$ 作 $A E ⊥ B C$ 于点 $E$ ，延长 $B C$ 到点 $F$ ，使 $C F = B E$ ，连接 $D F$ ．

(1)、求证：四边形 $A E F D$ 是矩形；

(2)、若 $A D = 10$ ， $E C = 4$ ，求 $A C$ 和 $E O$ 的长度．

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4、小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件．

(1)、若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？

(2)、为了保证每件T恤衫的利润率不低于40%，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率 $= \frac{利润}{成本} \times$ 100%）

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5、为了贯彻“减负增效”精神，掌握九年级600名学生每天的自主学习情况，某校学生会随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间．根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图（图1，图2），请根据统计图中的信息回答下列问题：

(1)、本次调查的学生人数是  人；

(2)、图2中α是  度，并将图1条形统计图补充完整；

(3)、请估算该校九年级学生自主学习时间不少于1.5小时有  人；

(4)、老师想从学习效果较好的4位同学（分别记为A、B、C、D，其中A为小亮）随机选择两位进行学习经验交流，用列表法或树状图的方法求出选中小亮A的概率．

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6、如图，点A是5×5网格图形中的一个格点，图中每个小正方形的边长均为1，请在网格中按下列要求作图．

(1)、以AB为一边，在图①中画一个格点菱形ABCD；

(2)、以AB为一边，在图②中画一个面积等于6的格点平行四边形ABEF．

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7、解下列方程：

(1)、x（2x+1）＝2x+1；

(2)、4x²﹣3x＝x+1．

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8、如图，菱形ABCD的边长为6，将一个直角的顶点置于菱形ABCD的对称中心O处，此时这个直角的两边分别交边BC，CD于M，N，若ON⊥CD，且ON＝2，则MN的长为．

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9、在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为 $\frac{1}{2} c m / s$ ，点Q的速度为1cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止移动，若使△PBQ的面积为 $\frac{15}{4} c m^{2}$ ，则点P运动的时间是 s．

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10、小乐同学将新华书店的阅读二维码打印在面积为400cm²的正方形纸上，如图所示，为了估计图中黑色部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.4左右，据此可以估计黑色部分的面积约为 cm² ．

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11、如图，E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，顺次连接E，F，G，H，得到四边形EFGH，下列描述错误的是（　　）

A、四边形EFGH一定是平行四边形 B、当∠BAC＝90°时，四边形EFGH为矩形 C、当AC＝BD时，四边形EFGH为菱形 D、当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形

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12、如图，一块长方形绿地的长为 $100 m$ ，宽为 $50 m$ ，在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为 $4704 m^{2}$ ，则根据题意可列出方程（　　）

A、 $5000 - 150 x = 4704$ B、 $5000 - 150 x - x^{2} = 4704$ C、 $5000 - 150 x + \frac{x^{2}}{2} = 4704$ D、 $(100 - x) (50 - x) = 4704$

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13、若 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{1}{3}$ 且b﹣5d+7f≠0，则 $\frac{a - 5 c + 7 e}{b - 5 d + 7 f}$ 的值为（　　）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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14、如图，直线 $a ∥ b ∥ c$ ，直线m，n分别与直线a，b，c相交于点A，B，C和点D，E，F，若 $A B = 4$ ， $A C = 10$ ， $D E = 5$ ，则 $E F =$ （）

A、 $\frac{10}{3}$ B、 $\frac{15}{2}$ C、8 D、 $\frac{25}{2}$

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15、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=4，点M是AB的中点，点D和点 N分别是线段AC和BC上的动点，且AD=aBN.

(1)、当点D和点N分别是AC和BC的中点时，求a的值；

(2)、当 $a = \sqrt{2}$ 时，以点 C，D，N为顶点的三角形与△BMN相似，求BN的值；

(3)、当 $a = \sqrt{2}$ 时，MN+ND的最小值为.

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16、某商场一种商品的进价为每件60元，售价为每件80元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销.

(1)、若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件64.8元，求两次下降的百分率；

(2)、经调查，若该商品每降价2元，每天可多销售8件，那么每天要想获得1020元的利润，每件应降价多少元?

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17、为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要部署，教育部印发了《全国青少年学生读书行动实施方案》，于是某中学开展了以“书香润校园，好书伴成长”为主题的系列读书活动.学校为了解学生周末的阅读情况，采用随机抽样的方式获取了若干名学生的周末阅读时间数据，整理后得到下列不完整的图表：
类别
A 类
B类
C类
D类
阅读时长t(小时)
0≤t<1
1≤t<2
2≤t<3
t≥3
频数
12
m
n
6
请根据图表中提供的信息，解答下面的问题：

(1)、此次调查共抽取了名学生， m= ， n=；

(2)、扇形统计图中，B类所对应的扇形的圆心角是度；

(3)、已知在D类的学生中有4名初三学生，其中两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人参加阅读分享活动，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一名男生和一名女生的概率.

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18、如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = \frac{1}{3} x + 2$ 与y轴交于点A，与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象相交于点B(6，m)，点C在x轴上，且AC⊥BC，AC<BC.

(1)、求m的值及反比例函数的表达式；

(2)、求直线AC的表达式.

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19、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(1，-2)，B(4，-1)，C(3，-3).

(1)、画出将△ABC向上平移3个单位，再向左平移5个单位后的△A₁B₁C₁；

(2)、以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△A₁B₁C₁的一个位似△A₂B₂C₂ ，使它与△A₁B₁C₁的相似比为2：1；

(3)、若△A₁B₁C₁内部任意一点P₁的坐标为(m，n)，直接写出经过(2)的变化后点P₁的对应点P₂的坐标(用含m、n的代数式表示).

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20、如图，在△ABC中， CD是边AB上的高，且 $\frac{A D}{C D} = \frac{C D}{B D} .$

(1)、求∠ACB的大小；

(2)、求证： $B C^{2} = B D \cdot A B$

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类别	A 类	B类	C类	D类
阅读时长t(小时)	0≤t<1	1≤t<2	2≤t<3	t≥3
频数	12	m	n	6