相关试卷

1、如图，点 $O$ 为直线 $A B$ 上一点，点 $D$ 在 $∠ A O C$ 内，点 $E$ 在 $∠ B O C$ 内，且 $O D$ 平分 $∠ A O C$ ．

(1)、请按要求进行作图：在 $∠ B O C$ 内部作射线 $O E$ ；

(2)、小南发现，若 $O E$ 为 $∠ B O C$ 的角平分线，则 $∠ D O E$ 的大小始终为 $90 °$ ．请根据他的思路，补全下列解题过程．
解：∵ $O D$ 平分 $∠ A O C$ ，
∴ $∠ A O D =$           ① $= \frac{1}{2} ∠ A O C$ ，
∵ $O E$ 为 $∠ B O C$ 的角平分线，
∴ $∠ C O E = ∠ B O E =$           ②，
又∵ $∠ A O C + ∠ B O C = 180 °$ ，
∴ $∠ D O E = ∠ C O D +$           ③ $= \frac{1}{2} ∠ A O C + \frac{1}{2} ∠ B O C =$ ④           $°$ ．

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2、为优化厨房电器的空间适配性，某家电品牌在设计新款抽油烟机时，需要精准计算其侧面截面的面积（该截面由长方形烟机主体区域与梯形进风区域组成）．已知设计图纸中，长方形区域的宽为 $a$ ，长为 $b$ ，梯形区域的上底与长方形的宽一致（为 $a$ ），下底为 $2 b$ ，高为4．请根据这些参数完成截面面积的计算，为后续的安装空间预留材料用量估算提供数据支持．

(1)、用含 $a$ ， $b$ 的代数式表示该截面的面积 $S$ ；

(2)、当 $a = 4$ ， $b = 5$ 时，求该截面的面积．

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3、如图，将长方形纸片 $A B C D$ 的一角沿 $A E$ 折叠，使点 $D$ 落在点 $D^{'}$ 处，若 $∠ B A D^{'} = 20 °$ ，则 $∠ E A D$ 的度数为．

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4、如图，小嘉站在 $A$ 点，小淇站在 $B$ 点．小嘉对小淇说：你位于我的北偏东 $67 °$ 方向上，则我位于你的什么方向上（）

A、南偏西 $67 °$ 方向上 B、南偏西 $23 °$ 方向上 C、北偏东 $23 °$ 方向上 D、北偏东 $67 °$ 方向上

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5、下列各图经过折叠后不能围成一个正方体的（）

A、 B、 C、 D、

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6、如图， $D$ 是线段 $A B$ 的中点， $C$ 是线段 $A D$ 的中点，若 $A C = 1.5 cm$ ，则线段 $B C$ 的长度为（）

A、 $6 cm$ B、 $4.5 cm$ C、 $3.5 cm$ D、 $3 cm$

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7、《初一数学项目式学习小组》的小成同学发现了月历中的数学奥秘．规定如下：在某个月的月历中，任意框出3×3的方格即“九宫格”，九宫格中心位置的数，称为“中心数”．完成以下探究任务．
　　
图一图二

(1)、图一是2025年9月的月历，17是九宫格中心数．
①以17为“中心数”的九宫格数字之和为_________；若9月月历某中心数为x，则该“九宫格”（9个数字都在9月）的数字之和为                     ．（用含x的代数式表示）
②如果一个月的天数有31天，称这个月为“大月”；一个月的天数有30天，称这个月为“小月”.9月是“小月”，10月是“大月”，从9月到10月称为“小月跨大月”．若“九宫格”可以跨月，在9月和10月的月历中，九宫格的数字之和是144，直接写出所有可能的中心数                       ．

(2)、在2025年的月历中，我们发现：1月、3月、5月是“大月”，2月28天，4月、6月是“小月”．图二为2025年1月的月历，已知1月3日是星期五，请直接写出2025年6月3日是星期                     ．（填数字）

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8、已知点C为直线 $A B$ 上一点，线段 $A B = 7$ ， M为线段 $A C$ 的中点．

(1)、如图，若点C在线段 $A B$ 上， $B C = 1$ ，求线段 $M C$ 的长．

(2)、若 $B C = n$ ，直接写出线段 $M C$ 的长．（用含n的代数式表示）

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9、如图，已知平面上四个点A、B、C、D请按要求完成下列问题：

(1)、画直线 $A D$ 和直线 $B C$ ，交点为点E；

(2)、连接 $B D$ ，并延长到F，使 $D F = B D$ ；

(3)、在 $∠ A E B$ 内部，画射线 $E M$ ，使 $∠ B E M = ∠ A E M$ ．

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10、如图所示的网格是正方形网格，则 $∠ A O B$ $∠ C O D$ (填“＞”、“=”或“＜”)．

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11、一副三角板按如图方式摆放，若 $∠ α = 25 °$ ，则 $∠ β$ 的度数为．

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12、如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西 $68 °$ 的方向，轮船B在 $O A$ 的反向延长线的方向上，同时轮船 $C$ 在东南方向，则 $∠ B O C$ 的大小为（）

A、 $45 °$ B、 $23 °$ C、 $35 °$ D、 $68 °$

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13、2021年《中共中央国务院关于完整准确全面贯彻新发展理念做好碳达峰碳中和工作的意见》发布，明确了我国实现碳达峰碳中和的时间表、路线图．文件提出到2030年森林蓄积量达到190亿立方米．将19 000 000 000用科学记数法表示应为（）

A、 $19 \times 10^{9}$ B、 $1.9 \times 10^{10}$ C、 $0.19 \times 10^{11}$ D、 $1.9 \times 10^{9}$

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14、如图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体，从正面看到的平面图形是（）

A、 B、 C、 D、

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15、下列几何体的展开图中，能围成圆柱的是（）

A、 B、 C、 D、

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16、综合与实践
【问题情境】
补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题．
例：如图①，在四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ D C$ ， $E$ 是 $A D$ 的中点， $B E$ 平分 $∠ A B C$ ，试判断 $B C$ ， $C D$ ， $A B$ 之间的等量关系．
小颖的方法：如图②，延长 $B E$ ， $C D$ 相交于点 $F$ ，构造 $△ A B E ≌ △ D F E$ 和等腰三角形 $B C F$ 即可判断．
【问题解决】
（1）按照小颖的方法，判断 $B C$ ， $C D$ ， $A B$ 之间的等量关系，并说明理由；
【自主探究】
（2）如图③，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 的中点，点 $E$ 在 $A C$ 上，连接 $B E$ 交 $A D$ 于点 $F$ ， $A E = E F$ ，试说明 $A C = B F$ ．

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17、如图，在等边 $△ A B C$ 中，点 $D$ ， $E$ 分别在边 $B C$ ， $A C$ 上，且 $A E = C D$ ， $B E$ 与 $A D$ 相交于点 $P$ ， $∠ P B Q = 30 °$ ， $B Q ⊥ A D$ 于点 $Q$ ．

(1)、求证： $A D = B E$ ；

(2)、若 $A D = 8$ ， $P E = 2$ ，求 $P Q$ 的长．

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18、图1是一个长为 $2 a$ 、宽为 $2 b$ 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

(1)、观察图2，请你写出下列三个代数式 ${(a + b)}^{2}$ ， ${(a - b)}^{2}$ ， $a b$ 之间的等量关系为______．

(2)、运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且 $m n = - 3$ ， $m - n = 4$ ，试求 $m + n$ 的值．

(3)、如图3，点C是线段 $A B$ 上的一点，以 $A C 、 B C$ 为边向两边作正方形，设 $A B = 8$ ，两正方形的面积和 $S_{1} + S_{2} = 32$ ，求图中阴影部分面积．

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19、如图， $△ A B C ≌ △ A D E$ ，点 $D$ 在线段 $B C$ 上．若 $∠ C A E = 60^{\circ}$ ， $A D = 1$ ，则 $△ A B D$ 的周长为（　　）

A、2 B、3 C、4 D、6

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20、如图，直线 $l_{1}$ 的函数表达式为 $y = - 2 x + 4$ ，且 $l_{1}$ 与x轴交于点D，直线 $l_{2}$ 经过点A，B，直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 交于点C．

(1)、求直线 $l_{2}$ 的函数表达式；

(2)、求 $△ A D C$ 的面积；

(3)、在直线 $l_{2}$ 上是否存在点P，使得 $△ A D P$ 面积是 $△ A D C$ 面积的1.5倍？如果存在，请直接写出P点坐标；如果不存在，请说明理由．

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