相关试卷

1、综合与实践
【问题情境】
补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题．
例：如图①，在四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ D C$ ， $E$ 是 $A D$ 的中点， $B E$ 平分 $∠ A B C$ ，试判断 $B C$ ， $C D$ ， $A B$ 之间的等量关系．
小颖的方法：如图②，延长 $B E$ ， $C D$ 相交于点 $F$ ，构造 $△ A B E ≌ △ D F E$ 和等腰三角形 $B C F$ 即可判断．
【问题解决】
（1）按照小颖的方法，判断 $B C$ ， $C D$ ， $A B$ 之间的等量关系，并说明理由；
【自主探究】
（2）如图③，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 的中点，点 $E$ 在 $A C$ 上，连接 $B E$ 交 $A D$ 于点 $F$ ， $A E = E F$ ，试说明 $A C = B F$ ．

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2、如图，在等边 $△ A B C$ 中，点 $D$ ， $E$ 分别在边 $B C$ ， $A C$ 上，且 $A E = C D$ ， $B E$ 与 $A D$ 相交于点 $P$ ， $∠ P B Q = 30 °$ ， $B Q ⊥ A D$ 于点 $Q$ ．

(1)、求证： $A D = B E$ ；

(2)、若 $A D = 8$ ， $P E = 2$ ，求 $P Q$ 的长．

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3、图1是一个长为 $2 a$ 、宽为 $2 b$ 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

(1)、观察图2，请你写出下列三个代数式 ${(a + b)}^{2}$ ， ${(a - b)}^{2}$ ， $a b$ 之间的等量关系为______．

(2)、运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且 $m n = - 3$ ， $m - n = 4$ ，试求 $m + n$ 的值．

(3)、如图3，点C是线段 $A B$ 上的一点，以 $A C 、 B C$ 为边向两边作正方形，设 $A B = 8$ ，两正方形的面积和 $S_{1} + S_{2} = 32$ ，求图中阴影部分面积．

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4、如图， $△ A B C ≌ △ A D E$ ，点 $D$ 在线段 $B C$ 上．若 $∠ C A E = 60^{\circ}$ ， $A D = 1$ ，则 $△ A B D$ 的周长为（　　）

A、2 B、3 C、4 D、6

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5、如图，直线 $l_{1}$ 的函数表达式为 $y = - 2 x + 4$ ，且 $l_{1}$ 与x轴交于点D，直线 $l_{2}$ 经过点A，B，直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 交于点C．

(1)、求直线 $l_{2}$ 的函数表达式；

(2)、求 $△ A D C$ 的面积；

(3)、在直线 $l_{2}$ 上是否存在点P，使得 $△ A D P$ 面积是 $△ A D C$ 面积的1.5倍？如果存在，请直接写出P点坐标；如果不存在，请说明理由．

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6、如图，已知点B，E，C，F在一条直线上， $A B = D F$ ， $∠ B = ∠ F$ ， $B E = F C$ ．

(1)、求证： $△ A B C ≌ △ D F E$ ；

(2)、若 $B F = 13, E C = 5$ ，求 $B C$ 的长．

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7、若点 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ 在一次函数 $y = x + a$ （a为常数）的图象上，且 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $y_{1}$ $y_{2}$ （填“ $>$ ”“ $<$ ”或“ $=$ ”）

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8、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 70 °$ ，则 $∠ 1 + ∠ 2 =$ （）

A、 $140 °$ B、 $180 °$ C、 $250 °$ D、 $360 °$

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9、直线 $y = k x + b$ 与 $y = x + 1$ 的图象交于点 $P (1, 2)$ ，则关于x，y的二元一次方程组 $\{\begin{array}{l} y = k x + b \\ y = x + 1 \end{array}$ 的解是（）

A、 $\{\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = 4 \end{array}$ B、 $\{\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 2 \end{array}$ C、 $\{\begin{array}{l} x = 2 \\ y = - 1 \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} x = 3 \\ y = 0 \end{array}$

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10、在 $△ A B C$ 中，作BC边上的高（图中虚线），下列作法正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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11、下列图形中，不是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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12、已知：如图1，线段a，b（ $a > b$ ）．
（1）求作：等腰 $△$ ABC，使得它的底边长为b，底边上的高的长为a．
作法：①作线段 $A B = b$ ．
②作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D．
③在MN上取一点C，使 $D C = a$ ．
④连接AC，BC，则 $△$ ABC就是所求作的等腰三角形．
用直尺和圆规在图2中补全图形（要求：保留作图痕迹）；
（2）求作：等腰 $△$ PEF，使得它的腰长为线段a，b中一条线段的长，底边上的高的长为线段a，b中另一条线段的长．
作法：①作直线l，在直线l上取一点G．
②过点G作直线l的垂线GH．
③在GH上取一点P，使PG＝．
④以P为圆心，以的长为半径画弧，与直线l分别相交于点E，F．
⑤连接PE，PF，则 $△$ PEF就是所求作的等腰三角形．
请补全作法，并用直尺和圆规在图3中补全图形（要求：保留作图痕迹）．

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13、如图，南北向 $M N$ 为我国的领海线，即 $M N$ 以西为我国领海，以东为公海 $.$ 上午 $9$ 时 $50$ 分，我国反走私艇 $A$ 发现正东方有一走私艇 $C$ 以每小时 $13$ 海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇 $B$ 密切注意 $.$ 反走私艇 $A$ 通知反走私艇 $B$ ： $A$ 和 $C$ 两艇的距离是 $13$ 海里， $A . B$ 两艇的距离是 $5$ 海里 $.$ 反走私艇 $B$ 测得距离 $C$ 艇是 $12$ 海里，若走私艇 $C$ 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？

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14、请选择一个图形来证明勾股定理．（可以自己选用其他图形进行证明）

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15、如图，一直角三角形三边长分别为6，8，10，且是三个圆的直径，求阴影部分面积（π取3.14）

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16、已知：如图，等边 $△ A B C$ 的边长是 $6 cm$ ．

(1)、求等边 $△ A B C$ 的高．

(2)、求 $△ A B C$ 的面积．

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17、在数轴上画出表示 $\sqrt{10}$ 的点．（要画出作图痕迹）

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18、如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，则4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积，即+= ，化简得： $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ．

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19、五根小木棒，其长度分别为 $7, 15, 20, 24, 25$ ，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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20、如图1，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (0, 1)$ ， $B (- 2, 0)$ ， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ．

(1)、求点 $C$ 的坐标；

(2)、如图2，记 $A C$ 交 $x$ 轴于点 $D$ ， $B C$ 交 $y$ 轴于点 $E$ ，连接 $D E$ ．
①求证： $A D = C D$ ；
②求证： $∠ C D E = ∠ A D B$ ．

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