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1、如图1，正方形 $A B C D$ 的边长为 $4 \sqrt{2}$ ，在 $△ E C F$ 中， $E C = C F, E C ⊥ C F$ ，连接 $B E$ ，且 $B E ⊥ E C$ ．

(1)、若 $B E = 2$ ，求 $E F$ 的长；

(2)、如图2，连接 $B F$ 交 $C E$ 于点O，若O是 $C E$ 的中点，求证： $B C = E F$ ；

(3)、在（2）问的条件下，连接 $D E$ ，求 $D E$ 的长．

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2、定义：如图1，点 $M, N$ 把线段 $A B$ 分割成 $A M, M N$ 和 $B N$ ，若以 $A M, M N, B N$ 为边的三角形是一个直角三角形，则称点 $M, N$ 是线段 $A B$ 的勾股分割点．

(1)、如图1，已知点 $M, N$ 是线段 $A B$ 的勾股分割点，且线段 $B N$ 是线段 $A M, M N$ 和 $N B$ 中最长的，若 $A M = 3 cm, M N = 5 cm$ ，则线段 $B N$ 的长为 $cm$ ；

(2)、如图2，已知点 $M$ 在线段 $A B$ 上，且 $A M = 4 cm, B M = 8 cm$ ，点 $N$ 在 $B M$ 上，且 $M$ ， $N$ 是线段 $A B$ 的勾股分割点，求线段 $B N$ 的长；

(3)、如图3，在 $△ A B C$ 中， $∠ B C A = 90 °, A C = B C$ ，点 $M, N$ 在斜边 $A B$ 上，且 $∠ M C N = 45 °$ ，求证：点 $M, N$ 是线段 $A B$ 的勾股分割点．

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3、已知 $m = \frac{1}{\sqrt{5} - 2}$ ，求 $3 m^{2} - 12 m + 2$ 的值．小华是这样分析与解答的：
$∵ m = \frac{1}{\sqrt{5} - 2} = \frac{\sqrt{5} + 2}{(\sqrt{5} - 2) (\sqrt{5} + 2)} = \sqrt{5} + 2$ ，
$∴ m - 2 = \sqrt{5}$ ，
$∴ {(m - 2)}^{2} = 5$ ，即 $m^{2} - 4 m + 4 = 5$ ，
$∴ m^{2} - 4 m = 1$ ，
$∴ 3 m^{2} - 12 m + 2 = 3 (m^{2} - 4 m) + 2 = 3 \times 1 + 2 = 5$ ．
请你根据小华的分析过程，解决如下问题：

(1)、若 $m = \frac{1}{\sqrt{5} + 2}$ ，求 $2 m^{2} + 8 m + 1$ 的值；

(2)、求 $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{200} + \sqrt{199}}$ 的值；

(3)、比较 $\sqrt{2026} - \sqrt{2025}$ 与 $\sqrt{2025} - \sqrt{2024}$ 的大小，并说明理由．

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4、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点E，F分别在 $B C ， A D$ 上，且 $B E = E C = D F$ ， $A C ⊥ A B$ ．

(1)、证明：四边形 $A E C F$ 为菱形；

(2)、在（1）的条件下，若 $∠ D = 60 °$ ， $F D = 2$ ，求菱形 $A E C F$ 的面积．

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5、已知边长分别为 $(\sqrt{5} + \sqrt{3}) m, (\sqrt{5} - \sqrt{3}) m$ 的两个正方形的面积分别为 $S_{1}, S_{2}$ ．

(1)、求 $S_{1} + S_{2}$ 的值；

(2)、用一根长为 $16 m$ 的铁丝，能否围成这两个正方形？

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6、如图是 $4 \times 4$ 的方格，每个小正方形的边长为1个单位长度．

(1)、请在方格中作一个格点正方形（顶点在格点上） $C D E F$ ，使得正方形的面积为8个平方单位；

(2)、请在图上建立合适的平面直角坐标系，并写出点F的坐标．

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7、计算： $\sqrt{48} \div \sqrt{3} - 2 \sqrt{\frac{1}{5}} \times \sqrt{10} + \sqrt{32}$ ．

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8、如图是由6个棱长为 $1 cm$ 的小正方体所搭建的几何体，一只电子蚂蚁从点A出发，沿几何体的表面爬到点B，最短的距离为．

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9、小玲的爸爸在制作平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条法：如图所示，将两根木条 $A C$ ， $B D$ 的中点重叠并用钉子固定，则四边形 $A B C D$ 就是平行四边形．这种方法的依据是．

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10、已知一个三角形的三边长分别为 $\sqrt{17}$ ， $2 \sqrt{2}$ ， 3，则其最短边上中线的长为．

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11、若 $\sqrt{6 - 2 x}$ 在实数范围内有意义，那么x的取值范围是．

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12、如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 8$ ， $B C = 6$ ，点D，E分别为 $B C ， A C$ 的中点， $B F$ 平分 $∠ A B C$ 交 $D E$ 于点F，则 $E F$ 的长为（）

A、1 B、1.5 C、2 D、1.8

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13、镜，古称“鉴”，下图是六边形镜及其抽象出的正六边形 $A B C D E F$ ，连接 $B F$ ，则 $∠ A B F$ 的度数为（）

A、 $32.5 °$ B、 $30 °$ C、 $27.5 °$ D、 $25 °$

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14、如图，在平面直角坐标系中， $A (- 4, 0)$ ， $C (1, 0)$ ，以点A为圆心， $A C$ 长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（）

A、 $(0, 3)$ B、 $(3, 0)$ C、 $(2, 0)$ D、 $(0, 2)$

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15、由线段 $a ， b ， c$ 组成的三角形不是直角三角形的是（）

A、 $a^{2} - b^{2} = c^{2}$ B、 $a = \frac{5}{4}$ ， $b = 1$ ， $c = \frac{3}{4}$ C、 $a = 2$ ， $b = \sqrt{3}$ ， $c = \sqrt{7}$ D、 $a : b : c = 1 : 4 : 5$

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16、下列四个命题中，假命题是（）

A、顺次连接四边形各边中点得到的四边形是平行四边形 B、对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 C、对角线互相平分且垂直的四边形是矩形 D、一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形

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17、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有一台风中心沿东西方向 $A B$ 由点 $A$ 向点 $B$ 移动，已知点 $C$ 为一海港，且点 $C$ 与 $A$ ， $B$ 两点之间的距离 $C A$ ， $C B$ 分别为 $300 k m$ ， $400 km$ ， $A B = 500 k m$ ，以台风中心为圆心周围 $250 k m$ 以内（包括 $250 k m$ ）为受影响区域．

(1)、海港 $C$ 受台风影响吗？为什么？

(2)、若海港 $C$ 受台风影响，且台风影响海港 $C$ 持续的时间为 $5$ 小时，台风中心移动的速度多少千米 $/$ 小时？（若海港 $C$ 不受台风影响，则忽略此问）

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18、一块木板如图所示，已知 $A B = 15$ ， $B C = 20$ ， $D C = 60$ ， $A D = 65$ ， $∠ B = 90 °$ ，木板的面积是多少？

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19、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 12$ ， $∠ D = 60 °$ ．点 $P$ 为边 $C D$ 上一点，且不与点 $C$ ， $D$ 重合，连接 $B P$ ，过点 $A$ 作 $E F ∥ B P$ ，且 $E F = B P$ ，连接 $B E$ ， $P F$ ，则四边形 $B E F P$ 的面积为．

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20、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ， $D$ 是 $A B$ 的中点，点 $E$ 、 $F$ 分别在 $A C$ 、 $B C$ 上，且 $A E = C F$ ， $A C = 6$ ，则四边形 $C E D F$ 的面积为．

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