相关试卷

1、 $△ A B C$ 中， $∠ C = 70 °$ ，点D，E分别是 $△ A B C$ 边 $A C ， B C$ 上的点，点P是一动点，令 $∠ P D A = ∠ 1$ ， $∠ P E B = ∠ 2 ， ∠ D P E = ∠ α$ ．
初探：
（1）如图1，若点P在线段 $A B$ 上，且 $∠ α = 60 °$ ，则 $∠ 1 + ∠ 2 =$ ________ $°$ ；
（2）如图2，若点P在线段 $A B$ 上运动，则 $∠ 1 ， ∠ 2 ， ∠ α$ 之间的关系为__________；
（3）如图3，若点P在线段 $A B$ 的延长线上运动，则 $∠ 1 ， ∠ 2 ， ∠ α$ 之间的关系为__________．
再探：
（4）如图4，若点P运动到 $△ A B C$ 的内部，写出此时 $∠ 1 ， ∠ 2 ， ∠ α$ 之间的关系，并说明理由．
（5）若点P运动到 $△ A B C$ 的外部，请在图5中画出一种情形，写出此时 $∠ 1 ， ∠ 2 ， ∠ α$ 之间的关系，并说明理由．

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2、如图，在平面直角坐标系中，直线 $l_{1}$ ： $y = x + 4$ 与直线 $l_{2}$ ： $y = k x + b$ 相交于点 $A (- 1, 3)$ ，则关于x的方程 $x + 4 = k x + b$ 的解为．

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3、综合与实践
【项目主题】从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”．
【项目内容】数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，建立数学模型，并进一步应用．
【实验过程】如图，一个静止的小球从斜坡顶端滚下后，在水平木板上做直线运动，当小球运动到点A处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录小球在木板上的运动时间t（单位：s）、运动速度v（单位： $cm / s$ ）、滑行距离y（单位： $cm$ ）的数据．记录的数据如下：
运动时间 $t / s$
0
2
4
6
8
10
…
运动速度v/（ $cm / s$ ）
10
9
8
7
6
5
…
滑行距离 $y / cm$
0
19
36
51
64
75
…
【观察分析】数学兴趣小组通过作出v与t的函数图象、y与t的函数图象，并结合已学习过的函数知识，发现v与t的函数关系为一次函数关系，y与t的函数关系为二次函数关系．
【问题解决】
任务一：（1）请你结合表格数据，分别求出v与t的函数关系式和y与t的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围）
任务二：
（2）当小球在水平木板停下来时，求此时小球的滑行距离．
（3）若小球到达木板点A处的同时，在点A的右方 $n cm$ 处有一辆电动小车，以 $5 cm / s$ 的速度匀速向右直线运动，若小球不能撞上小车，求n的取值范围．

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4、（1）解方程： $x^{2} - 6 x - 1 = 0$ ．
（2）计算： $| - 3 | - 2 \tan 45 ° + {(- 1)}^{2002} - {(\sqrt{3} - π)}^{0}$

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5、在矩形 $A B C D$ 的 $C D$ 边上取一点E，将 $△ B C E$ 沿 $B E$ 翻折，使点C恰好落在 $A D$ 边上点F处．

(1)、如图1，若 $B C = 2 B A$ ，求 $∠ C B E$ 的度数；

(2)、如图2，当 $A B = 5$ ，且 $A F \cdot F D = 10$ 时，求 $B C$ 的长；

(3)、如图3，延长 $E F$ ，与 $∠ A B F$ 的角平分线交于点M， $B M$ 交 $A D$ 于点N，当 $N F = A N + F D$ 时．
①求证： $\frac{A N}{A B} = \frac{N F}{B F}$ ；
②直接写出 $\frac{A B}{B C}$ 的值．

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6、我们定义：如果一个矩形的周长值和面积值相等，称这个矩形为“完美矩形”，进而，若矩形B的周长和面积分别都是矩形A的周长和面积的 $n (n > 0)$ 倍，则称矩形B是矩形A的“n倍契合矩形”．
【概念辨析】
（1）①边长为4的正方形______（填“是”或“不是”）“完美矩形”；
②矩形A的周长是12，面积是8，它的“2倍契合矩形”的周长是______，面积是______；
【深入探究】
（2）问题：长为3，宽为2的矩形是否存在“2倍契合矩形”？我们可以从函数的观点来研究：假设存在这样的“2倍契合矩形”，设其长和宽分别为x、y（ $x > 0$ ， $y > 0$ ），根据“2倍契合矩形”的定义，它的周长和面积分别应是原矩形周长和面积的2倍，即 $2 (x + y) = 20$ ， $x y = 12$ ，则 $y = - x + 10$ ， $y = \frac{12}{x}$ ．于是，判断矩形是否存在就转化为判断 $2 (x + y) = 20$ 与 $x y = 12$ 联立的方程组是否有正数解．我们可以通过研究其分别对应的一次函数 $l_{1} : y = - x + 10$ 和反比例函数 $l_{2} : y = \frac{12}{x}$ 的图象在第一象限内是否有交点来判断．
请根据以上思路解答：长为3，宽为2的矩形是否存在“2倍契合矩形”？若存在，请求出该矩形的长，若不存在，请说明理由；
（3）①如果长为x，宽为y（ $x > 0$ ， $y > 0$ ）的矩形是一个“完美矩形”，求y与x的函数关系式，并在图2的平面直角坐标系中直接画出函数图象的示意图；
②周长为20的“完美矩形”的长为______．

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7、根据以下素材，探索完成任务．

素材1	深圳某新能源汽车零部件企业借助智能制造技术，对某款电动汽车的电池管理系统零部件进行一体化加工，生产效率显著提升．该零部件8月份生产100个，10月份生产144个．
素材2	该企业生产的零部件成本为30元/个．销售一段时间后发现，当零部件售价为40元/个时，月销售量为600个．若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个．
问题解决
任务1	该企业8月份到10月份生产数量的平均月增长率是多少？
任务2	为使月销售利润达到10000元，并且尽可能让新能源汽车企业得到实惠，该零部件的实际售价应定为多少元？

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8、淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度．

(1)、如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点C处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端E，已知淇淇眼睛A到地面的距离 $A B = 1.5 m$ ，且 $A B ⊥ B C$ ，旗杆 $E D ⊥ B C$ ． $B C = 0. 5m$ ， $C D = 4 m$ ，求旗杆 $E D$ 的高度：

(2)、如图②所示，嘉嘉采用影长法测量旗杆高度．同一时刻，他测得1米长竹竿竖直放置时影长为2米；测量旗杆 $A B$ 时，其影子一部分落在地面 $B C$ 上（ $B C = 1 0m$ ），另一部分落在斜坡C上（ $C D = 2 \sqrt{2} m$ ）， $C D$ 与地面成 $45 °$ 角，求旗杆 $A B$ 的高度．

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9、（1）计算： $\sqrt{12} \times \tan 60 ° + 2 \cos 30 ° + {(\frac{1}{2})}^{- 1}$ ；
（2）解方程： $2 x (x - 1) - 3 (x - 1) = 0$ ．

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10、在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图 $M N$ 为一凸透镜，F是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛 $A B$ ，透过透镜后成的像为 $C D$ ．光路图如图所示：经过焦点的光线 $A E$ ，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线 $A O$ 汇聚于C点．若焦距 $O F = 4$ ，物距 $O B = 6$ ，小蜡烛的高度 $A B = 1$ ，则小蜡烛的像 $C D$ 的长是．

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11、鹦鹉螺是一类古老的软体动物．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是 $A B$ 的黄金分割点 $(A P > B P)$ ，若线段 $A P$ 的长为 $6cm$ ，则 $B P$ 的长为 $cm$ ．（结果保留根号）

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12、在某一时刻，测得一根高为 $1.8 m$ 的竹竿的影长为 $3 m$ ，同时测得一根旗杆的影长为 $15 m$ ，那么这根旗杆的高度为m．

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13、若 $△ A B C ∽ △ D E F$ ，相似比为3：2，则对应周长的比值是．

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14、如图，深圳地铁某站自动扶梯的截面可抽象为 $Rt △ A B C$ ，其中扶梯长度 $A B = 13$ 米，垂直高度 $B C = 5$ 米，则 $A B$ 与水平面 $A C$ 的夹角 $α$ 的正弦值是（）

A、 $\frac{12}{13}$ B、 $\frac{5}{13}$ C、 $\frac{5}{12}$ D、 $\frac{13}{5}$

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15、某电子器件厂生产一种电脑显卡，2023年该类电脑显卡的出厂价是200元/个，2024年，2025年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2025年该电脑显卡的出厂价调整为162元/个．

(1)、这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率；

(2)、2025年赛格电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡，以200元/个销售时，平均每天可销售20个，为了减少库存，该电脑城决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果想要获得最大盈利，每个售价应为多少元？

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16、（1）计算： ${(- 2026)}^{0} - | 1 - \sqrt{2} | + 2 \cos 45 °$ ；
（2）解方程： $x^{2} + 4 x + 2 = 0$

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17、如图，将反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （k＞0）的图象向左平移2个单位长度后记为图象c，c与y轴相交于点A，点P为x轴上一点，点A关于点P的对称点B在图象c上，以线段AB为边作等边△ABC，顶点C恰好在反比例函数y＝﹣ $\frac{k}{x}$ （x＞0）的图象上，则k＝．

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18、在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（2，1），C（﹣1，2），以原点O为位似中心，位似比为2，把四边形OABC放大，则点C对应点C'的坐标为．

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19、二次函数 $y ＝ a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，对称轴为 $x = - 1$ ，则下列结论：① $a b c > 0$ ， ② $a + b < - c$ ， ③ $4 a - 2 b + c > 0$ ， ④ $3 b + 2 c < 0$ ， ⑤ $a - b > m (a m + b)$ （其中m为任意实数）．中正确的个数是（　　）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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20、如图为固定电线杆 $A C$ ，在离地面高度为7米的A处引拉线 $A B$ ，使拉线 $A B$ 与地面 $B C$ 的夹角为 $α$ ，则拉线 $A B$ 的长为（）

A、 $7 \sin α$ 米 B、 $\frac{7}{\sin α}$ 米 C、 $7 \tan α$ 米 D、 $7 \cos α$ 米

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运动时间 $t / s$	0	2	4	6	8	10	…
运动速度v/（ $cm / s$ ）	10	9	8	7	6	5	…
滑行距离 $y / cm$	0	19	36	51	64	75	…