相关试卷

1、数学活动课上，李志刚老师给出如下问题：
【问题提出】如图1，在正方形 $A B C D$ 中，E，F分别是边 $B C$ ， $A B$ 上的点． $F G ⊥ A E$ 交 $C D$ 于点G，求证： $A E = F G$ ；
【思路分析】小勤同学的解题思路：平移线段 $F G$ ，使点F与点B重合，构造全等三角形．
（1）请根据小勤同学的思路或你自己探究的思路，写出证明过程；
【类比探究】为了进一步让学生体会平移在几何证明或计算中的运用，李老师又提出下列问题：
（2）如图2，在菱形 $A B C D$ 中，O为对角线 $A C$ 上一点，且 $O A = 2 O C$ ， E，F分别是 $B C$ ， $A B$ 边上的动点，连接 $O F$ 交 $A E$ 于点H，若 $∠ A H F = ∠ B$ ，求 $\frac{O F}{A E}$ 的值；
【学以致用】
（3）如图3，在矩形 $A B C D$ 中， $\frac{A B}{B C} = \frac{2}{3}$ ， M是 $C D$ 边上一点，P是 $A D$ 边上一点， $P E ⊥ B M$ 交 $B C$ 于点E，连接 $P B$ ， $M E$ ，若 $B M = 6$ ，请直接写出 $P B + M E$ 的最小值．

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2、直线 $y = x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 交于点 $A$ 和点 $D (- 1, - 5)$ ，并与 $x$ 轴交于点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求直线与反比例函数的表达式；

(2)、连接 $O A$ 、 $O D$ ，求 $△ O A D$ 的面积；

(3)、若 $M$ 为反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 在第一象限图象上一点，且 $△ O A M$ 的面积为12，若点 $M$ 在点 $A$ 的左侧，求点 $M$ 的坐标．

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3、已知： $△ A B C$ 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为 $A (0, 3)$ 、 $B (3, 4)$ 、 $C (2, 2)$ （网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．

(1)、将 $△ A B C$ 向下平移3个单位长度得 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，则点 $C_{1}$ 的坐标是______；

(2)、作图：以点B为位似中心，在网格内画出 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，使 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 与 $△ A B C$ 位似，且相似比为 $2 : 1$ ；

(3)、点 $C_{2}$ 的坐标是______， $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 的面积是______平方单位．

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4、如图，在平面直角坐标系中，矩形 $O A B C$ 的顶点 $B$ 坐标是 $(- 1, 2)$ ，则 $A C$ 的长为．

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5、某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，设每个支干长出的小分支数目为x ，根据题意，可列方程为（）

A、 $1 + x + x^{2} = 43$ B、 $x + x^{2} = 43$ C、 ${(1 + x)}^{2} = 43$ D、 $1 + {(1 + x)}^{2} = 43$

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6、如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 上一点，且 $∠ B A D = ∠ C, B D = 4, B C = 9$ ，则 $A B =$ （）

A、6 B、5 C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $3 \sqrt{5}$

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7、如图，在平面直角坐标系中，点 $A$ 是反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 图象上的一点，过点 $A$ 作 $A B ⊥ y$ 轴于点 $B$ ．若 $△ O A B$ 的面积为 $2$ ，则 $k$ 的值为（）

A、 $- 4$ B、 $4$ C、 $- 2$ D、 $2$

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8、如图，一件商代原始瓷尊，光亮晶莹，细腻坚硬，不仅掀开了3600多年前商王朝的神秘面纱，也以清脆的金石之声，拉开了我国瓷器发展的序幕，具有极高的历史价值、文化价值．关于原始瓷尊的三视图，下列说法正确的是（）

A、主视图与左视图的图形相同 B、主视图与俯视图的图形相同 C、左视图与俯视图的图形相同 D、主视图、左视图、俯视图的图形都相同

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9、如图，以 $Rt △ A B C$ 的三边为边向外作正方形，其面积分别为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ ，且 $S_{2} = 16$ ， $S_{3} = 9$ ，则 $A B$ 的长为

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10、下列各组数中，能构成直角三角形的是（）

A、4，5，6 B、6，8，10 C、2，3，4 D、5，12，10

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11、下列数中是无理数的是（）

A、 $- 1.5$ B、0 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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12、如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的图象经过两点 $A (- 1, 0), B (0, 2)$ ，点C在x轴正半轴上，且 $O C = 5 O A$ ．

(1)、求直线 $A B$ 的函数表达式；

(2)、连接 $B C$ ，在直线 $A B$ 上取一点D，且点D在x轴上方，连接 $C D$ ，若以A，C，D为顶点的三角形的面积是 $△ A B C$ 面积的2倍，求出D点的坐标；

(3)、在（2）的条件下，在线段 $A D$ ， $C D$ 上分别取M，N，且使得线段 $M N ∥ x$ 轴，在x轴上取一点P，连接 $P M$ ， $P N$ ，存在点M，使得 $△ M N P$ 为等腰直角三角形，请直接写出M点的坐标．

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13、为丰富同学们的课外生活，周末期间，两位老师计划带领若干学生去大鹏所城参加社会实践，他们联系了报价均为200元/人的两家旅行社．经协商，春晖旅行社的优惠条件是：两位老师全额收费，学生按六折收费；凯丰旅行社的优惠条件是：老师、学生都按照七折收费．

(1)、设学生有x人，选择春晖旅行社时所需费用为 $y_{1}$ 元，选择凯丰旅行社时，所需费用为 $y_{2}$ 元，请分别写出 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 与x之间的关系式．

(2)、若本次参加活动的学生人数超过10人，为减少费用，他们应该如何去选择旅行社？

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14、如图所示，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $△ A B C$ 的三个顶点坐标分别为 $A (1, 1)$ ， $B (4, 2)$ ， $C (2, 3)$ ．

(1)、在图中画出 $△ A B C$ 关于 $x$ 轴对称的图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、在图中，若 $B_{2} (- 4, 2)$ 与点 $B$ 关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是______，此时 $C$ 点关于这条直线的对称点 $C_{2}$ 的坐标为______；

(3)、在 $y$ 轴上确定一点 $P$ ，使 $△ A P B$ 的周长最小．（注：不写作法，不求坐标，只保留作图痕迹）

(4)、在y轴上一点M的坐标为 $(0, - 5)$ ，在x轴上有一动点Q满足 $|Q M - Q B|$ 最大，此时Q点的坐标为______，最大值为______．

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15、化简： $\sqrt[3]{27} + | 2 - \sqrt{3} | - {(2 - \sqrt{3})}^{0} + {(- \frac{1}{2})}^{- 2}$ ．

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16、计算：

(1)、( $\sqrt{12}$ － $\sqrt{\frac{4}{3}}$ )× $\sqrt{3}$ ；

(2)、2 $\sqrt{12}$ －6 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ ＋ $\sqrt{48}$ ；

(3)、 $\frac{\sqrt{15} ＋ \sqrt{27}}{\sqrt{3}}$ － $\sqrt{{(- 3)}^{2}}$ ；

(4)、( $\sqrt{2}$ －1)²－(1－ $\sqrt{2}$ )(1＋ $\sqrt{2}$ )．

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17、如图，直线 $y = 2 x + 2$ 与x轴、y轴分别交于A、B两点，另一条经过B点的直线 $B C$ 交x轴于点C且与直线 $A B$ 构成的夹角 $∠ C B A = 45 °$ ，则直线 $B C$ 的解析式为．

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18、若 $y = (a + 1) x^{a^{2}} + (b - 2)$ 是正比例函数，则 ${(a - b)}^{2025}$ 的值是．

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19、下列等式正确的是（）

A、 $\sqrt{\frac{9}{16}} = \pm \frac{3}{4}$ B、 ${(- \sqrt{5})}^{0} = 0$ C、 $\sqrt{- 9} = - 3$ D、 ${(\sqrt{5})}^{2} = 5$

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20、已知抛物线 $y = a x^{2} + 6 x (a \neq 0)$ 的顶点纵坐标比拋物线 $y = x^{2} - 2 x$ 的顶点纵坐标小8．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、点 $M (m, n)$ 在抛物线 $y = x^{2} - 2 x$ 上，点 $N (m + t, n + h)$ 在抛物线 $y = a x^{2} + 6 x$ 上．
（i）若 $m = t + 1$ ，求 $h$ 的最小值；
（ii）若 $h - 2 t = 0$ ，且 $m \leq 0$ ， $t < 0$ ，求 $h$ 的值．

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