相关试卷

1、先阅读材料，再解答下列问题、由 $(\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{3}) = {(\sqrt{5})}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2} = 2$ 可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：
$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ，请完成下列问题：

(1)、 $\sqrt{2} + 1$ 的有理化因式是__________；化简 $\frac{3}{3 + \sqrt{6}} =$ __________；

(2)、计算： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2025} + \sqrt{2024}}$ ．

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2、如图，O是菱形 $A B C D$ 对角线 $A C$ 与 $B D$ 的交点；过点C作 $C E ∥ D B$ ，过点B作 $B E ∥ A C$ ， $C E$ 与 $B E$ 相交于点E．求证：四边形 $O B E C$ 为矩形；

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3、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ B A D$ 的平分线 $A E$ 交 $C D$ 于E，若 $B C = 6$ ， $∠ B = 100 °$ ．求 $D E$ 的长和 $∠ A E D$ 的度数．

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4、如图，在四边形 $A B C D$ 中，连接 $B D$ ， $∠ A = ∠ C$ ， $∠ 1 = ∠ 2$ ．求证：四边形 $A B C D$ 是平行四边形．

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5、如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面 $3m$ 处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部 $4m$ 处，旗杆折断之前高度是多少？

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6、计算：

(1)、 $\sqrt{18} \div \sqrt{2} - \sqrt{2} \times \sqrt{8}$ ．

(2)、 $(\sqrt{2} - \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{2} + \sqrt{3}) + {(\sqrt{2} - 1)}^{2}$ ．

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7、如图，菱形 $A B C D$ 中， $A C = 8, B D = 6, D H ⊥ A B$ 于点H，且 $D H$ 与 $A C$ 交于G，则 $D H =$ ．

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8、如图，平地上 $A$ 、 $B$ 两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点 $C$ ，并分别找到 $A C$ 和 $B C$ 的中点 $D$ 、 $E$ ，测量得 $D E = 8$ 米，则 $A$ 、 $B$ 两点间的距离为米．

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9、 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，点D为 $A B$ 的中点，若 $A B = 10$ ，则 $C D =$ ．

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10、如下图，菱形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $∠ D A B = 60 °$ ，则 $D B$ 的长为（）

A、2 B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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11、下列运算正确的是（）

A、 $a^{3} \cdot a^{5} = a^{15}$ B、 ${(2 \sqrt{5})}^{2} = 10$ C、 $\sqrt{a} - \sqrt{b} = \sqrt{a - b} (a \geq b \geq 0)$ D、 $2 \sqrt{a} + 5 \sqrt{a} = 7 \sqrt{a} (a \geq 0)$

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12、如图所示，在数轴上点A表示的实数是（）

A、2 B、 $\sqrt{5} - 1$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $- \sqrt{5}$

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13、下列说法中，不正确的是（）

A、菱形的对角线互相垂直 B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C、平行四边形的对角相等 D、对角线相等的四边形是矩形

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14、 $△ A B C$ 在网格中的位置如图所示，若每个小方格的边长均为 $1cm$ ，则 $A B$ 的长为（）

A、 $\sqrt{13} cm$ B、 $\sqrt{5} cm$ C、 $4cm$ D、 $4 .2cm$

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15、以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）

A、2，5，6 B、1，2， $\sqrt{7}$ C、1， $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ D、4，5，6

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16、已知， $A E ∥ B D$ ， $∠ A = ∠ D$ ．

(1)、如图1，判断 $A B$ 与 $C D$ 的位置关系，并说明理由；

(2)、作 $∠ B A E$ 的平分线交 $C D$ 于点 $F$ ，点 $G$ 为线段 $A B$ 上一点，连接 $F G$ ， $∠ C F G$ 的平分线 $F M$ 交线段 $A G$ 于点 $H$ ．如图2，若 $∠ E C F = 120 °$ ， $∠ A F H = 20 °$ ， $∠ C F G = 112 °$ ，求 $∠ E$ 的度数；

(3)、如图3，连接 $A C$ ，在（2）的条件下，将射线 $F G$ 绕点 $F$ 以 $6 °$ 每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为 $t$ 秒（ $0 < t < 25$ ），已知 $∠ C A B = 65 °$ ，请直接写出 $∠ C F G$ 的平分线 $F M$ 与三角形 $A C E$ 的边平行时 $t$ 的值．

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17、某班有部分同学准备统一购买新的足球和跳绳，经班长统计，需要购买足球的有12名同学，需要购买跳绳的有10名同学．
打折前一次性购物总金额
优惠措施
不超过800元
不优惠
超过800元，但不超过1200元
按总售价打九折
超过1200元
其中1200元部分打九折，超过1200元部分打八折

(1)、请根据班长和售货员阿姨的对话信息，分别求出足球和跳绳的单价．

(2)、若班长到商店后发现该商店正在进行打折活动，请你根据如表的优惠方式，计算优惠后实际只需支付多少元？

(3)、按照上题的优惠办法，班长用1400元钱全部购买跳绳和足球，恰好用完．其中足球不少于12个，跳绳不少于10条，请你设计出所有的购买方案．

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18、在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，三角形 $A B C$ 的顶点均在格点上，按下列要求画图：

(1)、过点 $C$ 作 $C M ∥ A B$ ，使点 $M$ 也在格点上，且 $C M = A B$ ；

(2)、在给定的方格纸中，平移三角形 $A B C$ ，使点 $A$ 落在点 $D$ 处，请画出平移后的三角形 $D E F$ ，使 $B, C$ 的对应点分别为 $E, F$ ．

(3)、请求出三角形 $B D E$ 的面积．

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19、计算：

(1)、先化简，再求值 ${(2 a + b)}^{2} - (a + 2 b) (a - 2 b) - 5 b^{2}$ ，其中 $a = \frac{1}{2}, b = - 1$ ．

(2)、已知 $a + b = 5, a b = - 2$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ ， ${(a - b)}^{2}$ 的值．

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20、解方程组

(1)、 $\{\begin{matrix} x - 4 y = - 12 \\ x + 3 y = 2 \end{matrix}$

(2)、 $\{\begin{matrix} \frac{x}{2} - \frac{y}{3} = 1 \\ - 2 x + 3 y = 1 \end{matrix}$

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打折前一次性购物总金额	优惠措施
不超过800元	不优惠
超过800元，但不超过1200元	按总售价打九折
超过1200元	其中1200元部分打九折，超过1200元部分打八折