相关试卷

1、材料一：如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那我们称这个正整数为和谐数，如 $96 = 25^{2} - 23^{2}$ ，则 $96$ 是和谐数；
材料二：对于一个三位自然数 $M$ ，去掉个位数字后成为一个两位数 $M_{1}$ ，去掉百位数字后成为一个两位数 $M_{2}$ ，若 $F (M) = \frac{M_{1} - M_{2}}{9} (M_{1} > M_{2})$ 为整数，则称 $M$ 是一个关于 $9$ 的对称数 $．$ 如 $F (545) = \frac{54 - 45}{9} = 1$ ，则称 $545$ 是关于 $9$ 的对称数．

(1)、请判断 $56$ 是否是和谐数？如果是，请找出平方差为 $56$ 的连续的两个奇数．

(2)、证明：任何一个和谐数一定是 $8$ 的倍数．

(3)、已知一个三位数既是和谐数，又是关于 $9$ 的对称数，求满足条件的所有三位数．

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2、（1）如图 $①$ ，已知线段 $A B$ ， $C D$ 相交于点O，连接 $A C$ ， $B D$ ，可以得到 $∠ A$ 、 $∠ C 、 ∠ B 、 ∠ D$ 的关系式是．
（2）如图 $②$ ，若 $∠ C A B$ 和 $∠ B D C$ 的平分线 $A P$ 和 $D P$ 相交于点P，与 $C D$ ， $A B$ 分别交于点M，N．猜测 $∠ B ， ∠ C ， ∠ P$ 之间的关系，并证明你的结论．
（3）若 $∠ C A B$ 和 $∠ B D C$ 的三等分线 $A P$ 和 $D P$ 相交于点P，与 $C D$ ， $A B$ 分别交于点M，N，其中 $∠ C A P = 2 ∠ P A O ， ∠ O D P = 2 ∠ P D B$ ，则 $∠ B ， ∠ C ， ∠ P$ 之间又有怎样的数量关系，并说明理由．

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3、如图，在 $△ A B C$ 中，高 $A D$ 、 $B E$ 交于点 $F$ ，且 $D F = C D = 3$ ．

(1)、求 $∠ A B C$ 的度数．

(2)、若 $B D = 4$ ， $A C = 5$ ，则 $B E$ 的长为多少？

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4、如图，等边 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ ，垂足为点 $D$ ．

(1)、尺规作图：在 $A D$ 右侧作 $∠ A D E = ∠ B$ ，且使 $D E = A D$ ．

(2)、连接 $A E$ 、 $C E$ ，试说明 $C E$ 和 $A B$ 的位置关系，并证明．

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5、已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示 $(m$ 为正整数 $)$ ，面积分别为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ ．

(1)、请分别用含 $m$ 的式子表示出 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ ，并判断 $S_{1}$ ______ $S_{2} ($ 填“ $>$ 、 $<$ 、 $=$ ”号 $)$ ．

(2)、当 $m = 2$ 时，求 $S_{1} + S_{2}$ 的值．

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6、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 为 $B C$ 边的中线， $E$ 为 $A D$ 上一点，连接 $B E$ 并延长交 $A C$ 于点 $F$ ，若 $∠ A E F = ∠ F A E$ ， $A C = 6$ ， $C F = 4$ ，则 $B F$ 的长为．

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7、一列整式依次为： $a_{1} = 4 a + 4$ ， $a_{2} = a_{1} + 8$ ， $a_{3} = a_{2} + 8$ ， $a_{4} = a_{3} + 8 \dots$ ，另一列整式依次为： $A_{1} = a^{2}$ ， $A_{2} = A_{1} + a_{1}$ ， $A_{3} = A_{2} + a_{2}$ ， $A_{4} = A_{3} + a_{3}$ ， $\dots$ ，按照上述规律，若 $A_{10} - A_{6} = 272$ ，则 $a$ 的值为．

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8、石墨烯是一种由碳原子构成的单层片状结构的新型纳米材料，其厚度 $0.35$ nm， $1$ nm $= 10^{- 9}$ m $．$ 用科学记数法表示： $0.35$ nm $=$ m $．$

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9、如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在 $A C$ 上，点 $E$ 、 $G$ 在 $B C$ 上，已知 $A D ： D C = 1 : 3$ ， $E G ： G C = 1 ： 2$ ，连接 $A E$ 、 $B D$ 交于点 $F$ ，且 $F$ 为 $A E$ 中点，连接 $D G$ ，若 $S_{△ B E F} + S_{△ C D G} = 12$ ，则 $S_{△ A B C} =$ （）

A、 $24$ B、 $26$ C、 $30$ D、 $36$

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10、设 $a = \frac{1^{2}}{1} + \frac{2^{2}}{3} + \frac{3^{2}}{5} + \dots + \frac{12^{2}}{23}$ ， $b = \frac{1^{2}}{3} + \frac{2^{2}}{5} + \frac{3^{2}}{7} + \dots + \frac{12^{2}}{25}$ ，则选项中最接近 $a - b$ 的整数为（）

A、 $5$ B、 $6$ C、 $7$ D、 $12$

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11、纯电动汽车（ $B E V$ ）续航里程取决于车载动力电池容量的大小．某品牌汽车采用智能快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的 $80 %$ 时，为保护电池，充电速度会明显降低并保持匀速充电模式．如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率 $y$ 随充电时间 $x (min)$ 变化的函数图象，据图下列说法错误的是（）

A、本次充电开始时汽车电池内仅剩 $10 %$ 的电量 B、汽车电池含电率达到 $80 %$ 时充电用时 $40 min$ C、本次充电持续时间是 $120 min$ D、若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电80千瓦时，则本次充电耗电70千瓦时

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12、在学习完三角形三边关系后，小明用三根木棍首尾相连拼三角形 $．$ 有三根长度分别为 $5 cm$ 、 $8 cm$ 、 $9.5 cm$ 的木棍，若想三角形的边长均为整数，则可将 $9.5 cm$ 的木棍进行裁切，这样小明最多可以拼出不同的三角形个数为（）

A、 $8$ B、 $7$ C、 $6$ D、 $5$

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13、如图， $A B ∥ C D ∥ E F ∥ G H$ ， $A E ∥ D G$ ，点 $C$ 在 $A E$ 上，点 $F$ 在 $D G$ 上，设与 $∠ α$ 相等的角的个数为 $m ($ 不包括 $∠ α$ 本身 $)$ ，与 $∠ β$ 互补的角的个数为 $n ．$ 若 $α \neq β$ ，则 $m n$ 的值是（）

A、 $16$ B、 $20$ C、 $25$ D、 $30$

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14、蛇年春节，一款名为深度求索 $(D e e p s e e k)$ 的国产人工智能大模型横空出世，之后各种人工智能大模型走进了人们的生活 $．$ 以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（）

A、 $D e e p S e e k$ B、 $C h a t G P T$ C、纳米 $A I$ D、文心一言

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15、在矩形ABCD中，E是直线BC上一动点，连接AE，将AE绕点A顺时针旋转90°得到AF，连接EF，取EF的中点M，连接DM，AM.
提示：按照设问条件补全图形，并解答.

(1)、问题初探：如图1，当AB=BC时：
①连接DF，求证：DF=BE；
②当点 E在边 BC上运动时（不与点 B，C重合)，∠ADM的大小会改变吗?若会改变，请说明理由；若不改变，请直接写出∠ADM的度数；

(2)、深入探究：当AB≠BC时：
①如图2，若 $\frac{A B}{B C} = \frac{4}{3},$ 当MD⊥AD时，则 $\frac{C E}{B E} =$
②如图3，若BC=2AB，当MD⊥AD时，（2）①中结论还成立吗?若成立，请说明理由；若不成立，请求出 $\frac{C E}{B E}$ 的值；

(3)、拓展探究：如图4，在菱形ABCD中，∠B=120°，E是直线 BC上一动点，连接AE，将AE绕点A顺时针旋转60°得到AF，连接EF，取 EF的中点M，连接DM，AM，当MD⊥AD时，求 $\frac{C E}{B E}$ 的值.

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16、如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 2 (a \neq 0)$ 经过点A（-1，0)，B（4，0)，与y轴交于点 C，P是第四象限抛物线上的一个动点，连接AP交y轴于点D，过点A作直线 $A Q ⟂ A P$ 交抛物线于另一点Q.过点P作平行于x轴的直线交y轴于点 E，过点 Q作平行于y轴的直线交x轴于点 F.

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、求证：PE·AQ=PD·FQ；

(3)、设点 P 的横坐标为m，点 Q 的横坐标为 n.
①当m=2时，求出此时点Q的坐标；
②连接PF，在点 P的运动过程中，△APF的面积S是否存在最大值?若存在，求出S取最大值时m，n的值；若不存在，请说明理由.

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17、电力部门工作人员在某处铺设电力线路过程中，会使用简易绞盘将沉重的混泥土电线杆立起来.作业准备过程中，先将绞盘P固定在地面上，电线杆MN的底端M与三角形土坑ABC的点B重合（连接AC，三角形土坑ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°)，如图1.在立杆作业时，让绞盘转动，这样系在电线杆顶端的钢丝绳 PN 就不断地缠绕在轴上，电线杆被逐渐拉起并最终竖直立好，如图2.已知电线杆MN的长度为12米，绞盘P 与点A 的距离为（ $6 \sqrt{2}$ 米，十坑的深度 $A B = \sqrt{2}$ 米.

(1)、求作业准备过程中电线杆露出地面部分的长度CN及钢丝组的长度PN；

(2)、在电线杆竖直立好后，需用专用钢索QN对电线杆进行固定.为节省开支，工作人员计划重复利用绞盘固定点，即钢索地面固定点Q与点P重合，如图2.若钢索与地面的夹角θ（∠NQA)要满足 $4 5^{\circ}$ <θ<60°，请通过计算判断QN是否满足要求.

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18、如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC，BC，过点C作⊙O的切线l，过点A作l的垂线交l于点 D.

(1)、求证：AC平分∠DAB；

(2)、若AD=3，CD=4，求 BC的长.

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19、某特色民宿计划采购A，B两种规格的织锦用于客房装饰.已知采购2幅A型织锦和3幅B型织锦共需费用3800元，采购3幅A型织锦和2幅B型织锦共需费用3700元.

(1)、求每幅A型，B型织锦的采购单价各是多少元?

(2)、该民宿计划采购A，B两种规格织锦共50幅，且A型织锦的数量不超过B型织锦数量的 $\frac{2}{3},$ 请问怎样采购才能使总费用最低?最低费用为多少元?

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20、某校音乐组在全校范围内随机抽取了部分学生进行了“我最喜欢的音乐类型”问卷调查（每人限选一种)，并对数据进行了整理、描述和分析，部分信息如下：
抽取学生的“我最喜欢的音乐类型”人数统计表
音乐类型
人数/（人)
频率
古典音乐
8
0.1
民族音乐
12
n
流行音乐
32
0.4
摇滚/电子
m
0.25
其他
8
0.1
抽取学生的“我最喜欢的音乐类型”人数条形统计图
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、填空：表中m= ， n=；

(2)、补全条形统计图；

(3)、若该校共有3000名学生，试估计全校喜欢“传统类音乐”（古典音乐和民族音乐)的学生总人数；

(4)、根据调查结果，请为学校开展音乐文化活动提出一条合理化建议，并说明理由.

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音乐类型	人数/（人)	频率
古典音乐	8	0.1
民族音乐	12	n
流行音乐	32	0.4
摇滚/电子	m	0.25
其他	8	0.1