相关试卷

1、
【学科融合】物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线 $O N$ 叫作法线，入射光线与法线的夹角i叫作入射角，反射光线与法线的夹角r叫作反射角（如图①）由此可以归纳出如下的规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角，这就是光的反射定律．
【问题解决】
（i）如图②，有两块平面镜 $O M, O N$ ，且 $O M ⊥ O N$ ，入射光线 $A B$ 经过两次反射，得到反射光线 $C D$ ．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得它们的余角也相等，即 $∠ 1 = ∠ 2$ ， $∠ 3= ∠ 4$ ；
（ii）如图③，图④，两块平面镜 $O M, O N$ ，且 $∠ M O N = α$ ，入射光线 $A B$ 经过两次反射，得到反射光线 $C D$ ．
【数学推理】
（1）如图②，在（i）的条件下，证明： $A B ∥ C D$ ．
【尝试探究】
（2）（多选题）下列关系式正确的是（）
A．在图②中， $∠ 1 + ∠ 4 = 90 °$
B．在图②中， $∠ D C B = 90 °$
C．在图③中， $∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3 = ∠ 4$
D．在图④中， $∠ B E D = 2 ∠ M O N$
E．在图④中， $∠ E B C = 2 ∠ 1$
（3）如图③，光线 $A B$ 与 $C D$ 相交于点E，则 $∠ B E C =$ ______（用含 $α$ 的式子表示）．

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2、某校组织消防演练，李老师通过测试推测紧急情况下师生是否能安全撤离教学楼．请根据下表信息，完成下列问题．

课题	测试紧急情况下师生是否能安全撤离教学楼
方式	模拟教学楼发生火灾的场景，进行应急疏散演习，师生按照预定路线迅速、有序地撤离到安全地带．
地点		共有5道门作为安全出口，有大小相同的三道正门，大小相同的两道侧门．
数据收集	①通过预演，李老师得到如下数据：正常情况下开启一道正门和一道侧门，每分钟可以通过200人；开启一道正门和两道侧门，每分钟可以通过280人． ②紧急情况导致局部人口密度过高，通过正门、侧门的效率均降低为原来的 $80 %$ ．
相关情况	教学楼内有教师122名；共有35间教室，每间教室平均有50名学生．
安全要求	紧急情况下，教学楼内所有人员应在5分钟内通过5个门安全撤离．

(1)、求正常情况下每个侧门和正门每分钟通过的人员数量；

(2)、教学楼内全体师生在紧急情况下撤离教学楼至少需要多少分钟，是否能安全撤离？

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3、如图， $∠ A O B$ 内有一点P．

(1)、作图：
①过点P作 $P D ∥ O A$ 交 $O B$ 于点D；
②过点O作 $O C ⊥ O B$ 交 $P D$ 于点C；

(2)、在（1）的条件下，连接 $O P$ ，若 $O P$ 平分 $∠ A O B$ ， $∠ A O P = 30 °$ ，求 $∠ P C O$ 的度数．

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4、某运输公司有大小两种型号的货车，2辆大货车与3辆小货车一次运货17吨，1辆大货车与2辆小货车一次可以运货10吨；3辆大货车与5辆小货车一次可以运货多少吨？

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5、已知 $2 x - 1$ 的算术平方根是3， $x + y - 1$ 的立方根是2．

(1)、求x，y的值；

(2)、求 $x + y$ 的平方根．

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6、如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，三角形 $A B C$ 的顶点都在正方形网格的格点上，将三角形 $A B C$ 向上平移5个单位长度，再向右平移3个单位长度，平移后得到三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ ，其中直线l上的点 $A^{'}$ 是点A的对应点．

(1)、画出平移后得到的三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ ；

(2)、三角形 $A B C$ 的面积为______．

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7、按要求解题：

(1)、求式中x的值： $x^{2} = 4$ ；

(2)、解方程组： $\{\begin{array}{l} 2 x + y = 7 \\ 2 x - 3 y = 3 \end{array}$

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8、一个正方体的体积是8，则这个正方体的边长是．

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9、比较大小（填“＞”“＜”或“＝”）： $\sqrt{11}$ 4．

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10、利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下：
…
$\sqrt{0.0625}$
$\sqrt{0.625}$
$\sqrt{6.25}$
$\sqrt{62.5}$
$\sqrt{625}$
$\sqrt{6250}$
$\sqrt{62500}$
…
…
0.25
0.7906
2.5
7.906
25
79.06
250
…
根据以上规律，若 $\sqrt{1.69} = 1.30$ ， $\sqrt{16.9} \approx 4.11$ ， $\sqrt{169} = 13.0$ ，则 $\sqrt{1690} \approx$ （）

A、130 B、1300 C、41.1 D、411

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11、将对边平行的纸条如图折叠，若 $∠ 1 = 50 °$ ， $∠ 2$ 的度数是（）

A、 $50 °$ B、 $60 °$ C、 $65 °$ D、 $70 °$

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12、若 $\{\begin{array}{l} x = 3 \\ y = 2 \end{array}$ 是关于x，y的二元一次方程 $x - m y = 13$ 的一个解，则m的值是（）

A、8 B、5 C、 $- 5$ D、 $- 8$

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13、下列各式计算正确的是（）

A、 $\sqrt{16} = \pm 4$ B、 $\sqrt[3]{8} = 2$ C、 $\sqrt{{(- 2)}^{2}} = - 2$ D、 $- \sqrt{0.1} = - 0.1$

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14、如图，下列条件中能判断 $A B ∥ C D$ 的是（）

A、 $∠ 1 = ∠ 2$ B、 $∠ 3= ∠ 4$ C、 $∠ D + ∠ A C D = 180 °$ D、 $∠ D = ∠ D C E$

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15、如图，某村庄旁有一条铁路，现要建一火车站．为了使居民乘车最方便，火车站应建在（）

A、点A处 B、点B处 C、点C处 D、点D处

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16、下列选项中的图形可以由图平移得到的是（）

A、 B、 C、 D、

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17、已知：在△ABC中，∠ $A C B = 9 0^{\circ}, A C = B C = 3$ ， D 为直线BC上一点，连接AD。

(1)、如图1，若点D在线段BC上，过点B作BE⊥AD交AD延长线于点E，连接CE，过点C作CF⊥CE交AD 于点 F，求证：AF=BE；

(2)、如图2，若点D在线段CB上，延长AD 至点G，使得BC=CG，取AG中点M，连接CM并延长交GB 延长线于点 H，连接AH，求证： $B H + G H = \sqrt{2} C H;$

(3)、若 $C D = \sqrt{3},$ ，延长AD至点G，使得BC=CG，取AG中点M，连接CM 并延长交GB 延长线于点H，连接AH，求线段CH的长。

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18、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线 $l_{1} : y_{1} = \frac{4}{3} x + 4$ 与x轴、y轴分别交于A，B两点，若将直线l₁向右平移AB个单位长度得到直线l，直线l与x轴交于点 C，与y轴交于点D，连接BC。

(1)、求直线l的解析式；

(2)、若点 P 为直线l上一点，且射线 BP、射线BA、射线 BC中某一条射线是另外两条射线所形成的角的平分线，求点 P 的坐标；

(3)、已知直线 $l_{2} : y_{2} = k x - 1,$ 当x≤3时，对x的每一个值都有 $y_{2} < y_{1},$ ，请直接写出k的取值范围。

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19、在2025年3月14日下午，某校初中部举办了第二届数学“π”节活动——七年级“智慧数学，欢乐游园”游园会。筹备组教师从淘宝网购进魔方和踩雷对战棋共25个活动道具，其中魔方单价12元，踩雷对战棋单价15元。

(1)、若合计采购费用为330元，求购买的魔方和踩雷对战棋各有多少个；

(2)、若筹备组在购买魔方时遇到淘宝平台开展限时优惠活动：一次性购买魔方超过8个，超过部分可享受8折优惠。若筹备组希望保持总数量25个不变，总费用不超过330元，且魔方数量不超过踩雷对战棋数量的1.5倍，则共有几种购买方案?请列举所有可能的方案。

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20、如图，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，将△ABC沿射线BC方向平移至△A'B'C'，将点B绕点A 逆时针旋转90°得到点 D，连接DA'，DC'，在平移过程中，|A'D-C'D|的最大值为。

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…	0.25	0.7906	2.5	7.906	25	79.06	250	…