相关试卷

1、【阅读理解问题】观察：利用平方差公式进行计算： $(2 - 1) (2 + 1) (2^{2} + 1) (2^{4} + 1)$
解：原式 $= (2^{2} - 1) (2^{2} + 1) (2^{4} + 1)$
$= (2^{4} - 1) (2^{4} + 1)$
$= 2^{8} - 1$ ．

(1)、基础运用计算： $(1 + 2) (1 + 2^{2}) (1 + 2^{4}) (1 + 2^{8}) (1 + 2^{16}) + 1 =$ _________；

(2)、拓展运用计算：
① $(1 + \frac{1}{2}) (1 + \frac{1}{2^{2}}) (1 + \frac{1}{2^{4}}) (1 + \frac{1}{2^{8}}) + \frac{1}{2^{15}}$ ；
② $3 \times (2^{2} + 1) (2^{4} + 1) (2^{8} + 1) (2^{16} + 1) (2^{32} + 1) (2^{64} + 1)$ ．

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2、交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式 $v = 16 \sqrt{d f}$ ，其中 $v$ 表示车速（单位： $km/h$ ）， $d$ 表示刹车后车轮滑过的距离（单位： $m$ ）， $f$ 表示摩擦因数．在一次交通事故中，测得 $d = 36 m$ ， $f = 0.81$ ，而发生交通事故的路段限速为 $80 km/h$ ，肇事汽车是否违规超速行驶？并说明理由．

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3、已知 $2 x + y + 7$ 的立方根是3，16的算术平方根是 $2 x - y$ ， $z$ 是 $\sqrt{43}$ 的整数部分．

(1)、求 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 的值．

(2)、求 $x + 2 y + 7 z$ 的平方根．

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4、根据已知，求值

(1)、已知 $2 x + 5 y - 3 = 0$ ，求 $4^{x} \cdot 32^{y}$ 的值．

(2)、若 ${(a^{n} \cdot b^{m} \cdot b)}^{3} = a^{15} b^{9}$ ，求 $m \cdot n$ 的值．

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5、已知 $(x - 1) (x + 1) = x^{2} - 1$ ， $(x - 1) (x^{2} + x + 1) = x^{3} - 1$ ， $(x - 1) (x^{3} + x^{2} + x + 1) = x^{4} - 1$ ，根据前面各式的规律，可得： $2^{2025} + 2^{2024} + 2^{2023} + 2^{2022} + \dots + 2^{2} + 2 + 1$ 的值的个位数字是．

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6、如图是一个“数值转换机”的示意图，若输入的x的值为﹣2，输出的值为﹣ $\frac{23}{2}$ ，则输入的y值为．

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7、已知 $|x - 2| + \sqrt{y - 8} = 0$ ，则 $\sqrt{x y}$ 的平方根是．

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8、已知 $a - \frac{1}{a} = - 2$ ，则 $a^{4} + \frac{1}{a^{4}} =$ ．

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9、 $2 + \sqrt{3}$ 的整数部分是．

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10、如图1所示，有两张完全相同的大正方形纸片 $A$ 、 $B$ ，从纸片 $A$ 的四个角裁剪四个完全相同的小正方形，并将四个小正方形纸片拼放在纸片 $B$ 的四个顶点处．图2中已标出裁剪后 $A$ 、 $B$ 纸片尺寸，并且记裁剪后的面积分别为 $S_{A}$ 、 $S_{B}$ （图2中阴影部分）．
小海认为： $S_{B} + S_{A} = \frac{1}{2} {(b + a)}^{2}$ ；乐乐认为： $S_{B} - S_{A} = \frac{1}{2} {(b - a)}^{2}$ ．
关于小海和乐乐观点，下列说法正确的是（）

A、小海正确、乐乐正确； B、小海错误、乐乐正确； C、小海正确、乐乐错误； D、小海错误、乐乐错误．

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11、若 $a + b = 6$ ， $a b = 4$ ，则 $a^{2} + 4 a b + b^{2}$ 的值为（　　）

A、44 B、46 C、48 D、52

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12、下列说法正确的是（）

A、 $- 64$ 的立方根是4 B、 $\sqrt{9}$ 的平方根是 $\pm 3$ C、4的算术平方根是16 D、0.001的立方根是0.1

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13、下列计算正确的是（）

A、 $2 x^{2} \cdot 3 x^{3} = 6 x^{5}$ B、 ${(3 x^{2})}^{3} = 9 x^{6}$ C、 $x (x + 1) = x^{2} + 1$ D、 ${(2 a - 1)}^{2} = 4 a^{2} - 1$

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14、如图， $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是等腰三角形， $A B = A C, A D = A E$ ，且 $∠ B A C = ∠ D A E$ ，连接 $B D$ 、 $C E$ ．

(1)、如图1，当点 $D$ 在 $△ A B C$ 的内部时，求证： $B D = C E$ ；

(2)、如图2， $∠ B A C = ∠ D A E = 126 °, B C = 12$ ，且点 $E$ 落在 $B C$ 边上．若 $M$ 为 $B C$ 上的一点，且 $∠ B A M + ∠ C A E = 63 °$ ，求 $△ B D M$ 的周长；

(3)、如图3，在 $△ A B C$ 中， $A B = 5, B C = 8$ ， $∠ A B C$ 是一个变化的角，以 $A C$ 为边作等边 $△ A C E$ ，连接 $B E$ ，试探究，随着 $∠ A B C$ 的变化， $B E$ 的长度的取值范围？

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15、
我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式 $a x + y - 3 x + 5$ 的值与 $x$ 的取值无关，求 $a$ 的值．通常的解题思路是把 $x$ 看作字母， $a$ 看作系数，合并同类项．因为代数式的值与 $x$ 的取值无关，所以含 $x$ 的项的系数为0．
具体解题过程：原式 $= (a - 3) x + y + 5$
因为代数式的值与 $x$ 的取值无关．
所以 $a - 3 = 0$ ，解得 $a = 3$ ．
【理解应用】
（1）若关于 $x$ 的代数式 $m x - 2 x - 1$ 的值与 $x$ 的取值无关，则 $m$ 的值为___________．
（2）已知 $A = (n x + 1) (x - 2), B = x (m - x)$ ，且 $A + 3 B$ 的值与 $x$ 的取值无关，求 $n + 3 m$ 的值．
【能力提升】
（3）7张如图1的小长方形，长为 $a$ ，宽为 $b$ ，按照图2方式不重叠地放在大长方形 $A B C D$ 内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为 $S_{1}$ ，左下角的面积为 $S_{2}$ ，当 $A B$ 的长度变化时， $S_{1} - S_{2}$ 的值始终保持不变，求 $a$ 与 $b$ 的等量关系．

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16、数学活动课上，刘老师准备了若干个如图1的三种纸片， $A$ 种纸片是边长为 $a$ 的正方形， $B$ 种纸片是边长为 $b$ 的正方形， $C$ 种纸片长为 $a$ 、宽为 $b$ 的长方形．并用 $A$ 种纸片一张， $B$ 种纸片一张， $C$ 种纸片两张拼成如图2的大正方形．
由图2，可得出三个代数式： ${(a + b)}^{2}, a^{2} + b^{2}, a b$ 之间的等量关系 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 a b$ ；

(1)、根据上述方法，若要拼出一个面积为 $(2 a + b) (a + 2 b)$ 的长方形，则需要 $A$ 种纸片2张， $B$ 种纸片2张， $C$ 种纸片___________张．

(2)、根据图（2）得出的等量关系，解决如下问题：
①已知： $a + b = 7, a^{2} + b^{2} = 37$ ，求 $a b$ 的值；
②已知： $x + \frac{1}{x} = 3$ ，求 $x^{4} + \frac{1}{x^{4}}$ 的值．

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17、如图， $C$ 为直线 $A B$ 外一动点， $A B = 5$ ，连接 $C A, C B$ ，点 $D$ 、 $E$ 分别是 $A B$ 、 $B C$ 的中点，连接 $A E, C D$ 交于点 $F$ ， $S_{△ A D F}$ $S_{△ C E F}$ （填“ $<$ ”或“ $>$ ”或“ $=$ ”）；则当四边形 $B E F D$ 的面积为10时，线段 $A C$ 的长度的最小值为．

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18、已知 $a, b, c$ 为 $△ A B C$ 的三条边，若 $△ A B C$ 为等腰三角形，且 $a, b$ 满足 $a^{2} + b^{2} - 4 a - 10 b + 29 = 0$ ，则 $△ A B C$ 的周长为．

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19、有理数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 在数轴上的位置如图，则 $|a - b| - |b - c| + |c + a|$ 的化简结果为．

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20、已知 $x^{2} + x = 3$ ，则 $(x - 2) (2 x + 6)$ 的值是．

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