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1、如图1，已知 $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B = A C$ ，延长 $A O$ 交 $B C$ 于 $E$ 点，交 $⊙ O$ 于点 $F$ ， $D$ 是劣弧 $\overset{⏜}{A C}$ 上一点，连接 $A D$ 并延长交 $B C$ 的延长线于点 $M$ ，连接 $C D$ ．

(1)、求证： $∠ A C B = ∠ C D M$ ；

(2)、若 $B M = 5$ ， $A E = C M = 3$ ，求 $C D$ 的长；

(3)、如图2，连接 $B D$ 分别交 $A F$ 和 $A C$ 于点 $G$ 和点 $H$ ，若 $∠ D A G = ∠ D G A$ ，且 $G H = n$ ，请用含 $n$ 的值表示 $\frac{1}{B G} + \frac{1}{D G}$ 的值（不需要写出过程）．

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2、等腰直角三角形对称、美丽，若抛物线与 $x$ 轴有两个交点，且该抛物线的顶点与这两个交点构成的三角形是等腰直角三角形，则称这种抛物线为“美丽抛物线”．

(1)、已知一条抛物线是“美丽抛物线”，且与 $x$ 轴的两个交点坐标为 $(- 3, 0)$ ， $(1, 0)$ ，则此抛物线的顶点是_____；

(2)、如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 是“美丽抛物线”，顶点 $M (1, 2)$ ，与 $x$ 轴交于 $A, B$ 两点，在 $x$ 轴上方的抛物线上找一点 $P$ ，且 $tan ∠ P B A = \frac{3}{2}$ ，请求出点 $P$ 的坐标；

(3)、在（2）的条件下，点 $Q$ 是平面内一点，是否存在点 $Q$ ，使得以 $A$ ， $B$ ， $M$ ， $Q$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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3、如图是一个广场的改造平面示意图，已知斜坡 $A B$ 长 $60 \sqrt{2} m$ ，坡角 $∠ B A C$ 为 $45 °$ ， $B C ⊥ A C$ ，现计划在斜坡中点 $D$ 处挖去部分，修建一个平行于水平地面 $C A$ 的平台 $D E$ 和一条新的斜坡 $B E$ ．（ $\sqrt{3} \approx 1.73$ ，结果精确到 $0.1$ ）

(1)、若改造后的新的斜坡 $B E$ 的坡比为 $\sqrt{3} : 1$ ，求平台 $D E$ 的长是多少米？

(2)、一幢建筑物 $G H$ 距离 $A$ 点 $30 m$ 远（即 $A G = 30 m$ ），小亮在 $D$ 点测得建筑物顶部 $H$ 的仰角 $∠ H D M$ 为 $30 °$ ．点 $B$ ， $C$ ， $A$ ， $G$ ， $H$ ， $D$ ， $E$ 在同一个平面内，点 $C$ ， $A$ ， $G$ 在同一条直线上，且 $H G ⊥ C G$ ，问建筑物 $G H$ 高为多少米？

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4、某电商计划售卖一批笔记本电脑，每台售价为5000元，每月可售出100台．为了促进销售，决定将笔记本电脑降价销售，但不能亏本，且降价需大于0元．经调查发现：每台降价100元，每月可多售出10台．已知笔记本电脑的成本为每台3800元．

(1)、当每月获利72000元时，求此时每台笔记本电脑的售价；

(2)、当每台笔记本电脑售价多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？

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5、为推进扎实开展学校科学教育，光明学校组织学生开展了“科技创新月”活动，其中，计划进行以下四项活动实验：A．马德堡半球；B．塑料袋火箭；C．色彩爆炸；D．火山爆发．活动小组对该校部分学生进行随机问卷，调查“最期待的实验”，得到下列不完整的统计图．
请结合统计图，回答下列问题：

(1)、此次调查的学生人数；

(2)、请补全条形统计图；

(3)、已知“最期待的实验”中A项的4名学生中801班有1名，802班有1名，803班有2名，现从中抽取2名学生进行演示，请用列表或画树状图的方法，求从中抽到2名学生来自不同班级的概率．

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6、若函数 $y = (m - 1) x^{m^{2} + m} - 3 x + 5$ 是二次函数．

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、当 $x = 1$ 时，求 $y$ 的值．

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7、已知抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + 4$ （ $b$ 为常数），直线 $L : y = b + 4$ ，当 $x \leq \frac{1}{2} b$ 时，抛物线的最高点到直线 $L$ 的距离为2，则 $b$ 的值是

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8、如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 都在格点处， $A B$ 与 $C D$ 相交于点 $P$ ，则 $sin ∠ A P C$ 的值为．

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9、我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方， $⊙ O$ 的半径长为5米， $⊙ O$ 被水面截得的弦 $A B$ 长为8米，点C是运行轨道的最低点，则点C到弦 $A B$ 的距离为．

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10、如果一条抛物线经过平移后能与抛物线 $y = - \frac{1}{5} x^{2} + 3$ 重合，且顶点坐标为 $(3, - 2)$ ，则它的解析式为．

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11、若 $n$ 边形的每一个外角都是 $60 °$ ，则 $n =$ ．

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12、已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的顶点在第一象限，且过点 $(0, 1)$ 和 $(- 1, 0)$ ，则 $P = a + b + c$ 的值的范围是（）

A、 $- 1 < P < 0$ B、 $- 1 < P < 1$ C、 $1 < P < 2$ D、 $0 < P < 2$

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13、已知 $⊙ O$ 的半径是 $5$ ，直线 $l$ 与 $⊙ O$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $C$ ， $D$ 分别在直线 $l$ 的异侧，且是 $⊙ O$ 上的两个动点，且 $∠ A C B = 135 °$ ，则四边形 $A C B D$ 面积的最大值是（）

A、25 B、 $\frac{25}{2}$ C、 $\frac{25 \sqrt{2}}{2}$ D、 $25 \sqrt{2}$

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14、某小组在“中国扇中的数学美”的项目化实践中发现，某折扇（如图）张开的角度为 $120^{\circ}$ 时，扇面面积为 $S$ ；该折扇张开的角度为 $n^{\circ}$ 时，扇面面积为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} = m S$ ，则 $m$ 与 $n$ 关系的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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15、如图是某旅游景点的两个入口 $(A, B)$ 和三个出口 $(C, D, E)$ ，小华随机选一个入口进景区，游玩后任选一个出口离开，则他选择从 $B$ 口进入，从 $E$ 口离开的概率是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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16、如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $∠ B C D = 120 °$ ，则 $∠ B O D$ 的度数是（）

A、 $80 °$ B、 $120 °$ C、 $140 °$ D、 $160 °$

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17、黄金分割是大自然的基本规律，比如植物叶片按照黄金分割的规律进行排列．如图，点 $B$ 为 $A C$ 的黄金分割点 $(A B > B C)$ ，若 $A C$ 的长度为 $8 cm$ ，那么 $B C$ 的长度是（） $cm$

A、 $4 \sqrt{5} - 8$ B、 $4 \sqrt{5} - 4$ C、 $4 \sqrt{5} + 4$ D、 $12 - 4 \sqrt{5}$

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18、下面关于抛物线 $y = {(x + 1)}^{2} - 2$ 的结论正确的是（）

A、开口向上，顶点坐标为 $(1, - 2)$ B、开口向下，顶点坐标为 $(1, - 2)$ C、开口向上，顶点坐标为 $(- 1, - 2)$ ） D、开口向下，顶点坐标为 $(- 1, - 2)$

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19、已知 $\frac{x}{3} = \frac{y}{2}$ ，那么下列式子中一定成立的是（）

A、 $3 x = 2 y$ B、 $2 x = 3 y$ C、 $x y = 6$ D、 $x + y = 5$

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20、已知⊙O的半径为3，点M到圆心O的距离为1.5，则点M在（）

A、圆外 B、圆上 C、圆内 D、不能确定

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