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1、如图，已知在 $△ A B C$ 中， $A B$ 边的垂直平分线 $l_{1}$ 交 $B C$ 于点 $D$ ， $A C$ 边的垂直平分线 $l_{2}$ 交 $B C$ 于点 $E$ ， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 相交于点 $O$ ，连接 $O B$ ， $O C$ ，若 $△ A D E$ 的周长为 $8 c m$ ， $△ O B C$ 的周长为 $18 c m$ ．

(1)、求线段 $B C$ 的长；

(2)、连接 $O A$ ，求证： $O B = O C$

(3)、求线段 $O A$ 的长；

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2、如图， $A D ∥ B C$ ， $∠ D = 90 °$ ， $∠ C P B = 30 °$ ， ∠DAB的角平分线与∠CBA的角平分线相交于点P ，且 $D$ ， $P$ ， $C$ ，在同一条直线上．

(1)、求∠PAD的度数；

(2)、求证：P是线段CD的中点．

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3、如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．

(1)、在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB^'C^'；

(2)、线段CC^'被直线l；

(3)、在直线l上找一点P ，使PB+PC的长最短，并算出这个最短长度．

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4、如图，A、D、E三点在同一条直线上，且 $△ A B D ≌ △ C A E$ ．

(1)、若 $D B = 6$ ， $C E = 4$ ，求 $D E$ ；

(2)、若 $B D ∥ C E$ ，求 $∠ B A C$ ．

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5、先化简，再求值： $\frac{x - 1}{x} \div (x - \frac{1}{x})$ ，若 $|a^{2} - 1| + {(b - 2)}^{2} = 0$ ，从 $a, b$ 中选择一个合适的数代入 $x$ 求出代数式的值．

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6、如图， $P$ 是正 $△ A B C$ 内一点， $P A = 3, P B = 4, P C = 5$ ，将线段 $P A$ 以点 $A$ 为旋转中心逆时针旋转 $60 °$ 得到线段 $A P_{1}$ ，连结 $P_{1} C$ ．

(1)、 $∠ A P B$ 的度数为；

(2)、 $△ B P C$ 的面积．

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7、如图， $△ A B C$ 的三边分别为 $A C = 8, B C = 15, A B = 17$ ，将 $△ A B C$ 沿 $A D$ 折叠，使 $A C$ 落在 $A B$ 上，折痕 $A D$ 的长为．

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8、如图， $D$ ， $E$ 分别是 $△ A B C$ 边 $A B$ ， $B C$ 上的点， $A D = 2 B D$ ， $B E = C E$ ，设 $△ A D C$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ A C E$ 的面积为 $S_{2}$ ，若 $S_{△ A B C} = 18$ ，则 $S_{1} - S_{2}$ 的值为．

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9、直角三角形两直角边长分别为 $5 cm$ 和 $12 cm$ ，则斜边上的中线长为 $cm$ ．

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10、如图， $Δ A B C$ 中， $B C$ 的垂直平分线与 $∠ B A C$ 的外角平分线相交于点 $D$ ， $D E ⊥ A C$ 于 $E$ ， $D F ⊥ A B$ 交 $B A$ 的延长线于 $F$ ，则下列结论：① $Δ C D E ≅ Δ B D F$ ；② $C E = A B + A E$ ；③ $∠ B D C = ∠ B A C$ ；④ $∠ D A F + ∠ E D C - ∠ A D B = 90 °$ ；其中正确的是( )

A、①②③ B、①②④ C、②③④ D、①②③④

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11、如图， $△ A B C$ 中， $B D$ 、 $C D$ 平分 $∠ A B C$ 、 $∠ A C B$ 且相交于点D ，过D作直线平行于 $B C$ ，交 $A B$ 、 $A C$ 于E、F ，当 $∠ A$ 的位置及大小变化时，线段 $E F$ 和 $B E + C F$ 的大小关系（）

A、 $E F > B E + C F$ B、 $E F = B E + C F$ C、 $E F < B E + C F$ D、不能确定

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12、到三角形三个顶点的距离相等的点是这个三角形的（）

A、三条高的交点 B、三条角平分线的交点 C、三条中线的交点 D、三边垂直平分线的交点

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13、在线段、角、等腰三角形、长方形、圆五个图形中，是轴对称图形的有（）

A、5个 B、4个 C、3个 D、2个

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14、下列各组长度的线段能构成三角形的是（）

A、1cm，2cm，3cm B、4.5cm，8.1cm，4.6cm C、8cm，4cm，4cm D、5cm，12cm，6cm

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15、某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售．当每千克售价为5元时，每天售出大米 $950 kg$ ；当每千克售价为6元时，每天售出大米 $900 kg$ ，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量 $y (kg)$ 与每千克售价 $x$ （元）满足一次函数关系．

(1)、请求出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

(2)、当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？

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16、石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为 $\overset{⌢}{A B}$ ．桥的跨度（弧所对的弦长） $A B = 26 m$ ，设 $\overset{⌢}{A B}$ 所在圆的圆心为O，半径 $O C ⊥ A B$ ，垂足为D，拱高（弧的中点到弦的距离） $C D = 5 m$ ，连接 $O B$ ．

(1)、直接判断 $A D$ 与 $B D$ 的数量关系；

(2)、求这座石拱桥主桥拱的半径．

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17、淮畔青春，“足”够精彩.10月18日，2025年淮南市高校足球联赛在市奥体广场中心开幕，已知在小组赛阶段，所有队伍采用单循环赛制（每两队之间比赛一次），本次联赛计划安排55场比赛，请问共有多少支球队参加了2025年淮南市高校足球联赛？

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18、如图，在矩形 $A B C D$ 中，已知 $A B = 5$ ， $B C = 12$ ， $P$ 是 $B C$ 边上一动点（点 $P$ 不与点 $B$ ， $C$ 重合），连接 $A P$ ，作点 $B$ 关于直线 $A P$ 的对称点 $M$ ，则线段 $M C$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{26}$ B、 $\frac{13}{2}$ C、7 D、8

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19、一件原价为100元的衣服经过两次降价后的价格为81元，若设每次降价的百分率都是x，则可列方程为．

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20、先化简，再求值： $(x + 2) (x - 3) - x (x - 3)$ ，其中 $x = 2$ ．

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