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1、如图，点 $O$ 为矩形 $A B C D$ 的对称中心， $A B = 4$ ， $A D = 8$ ，点 $E$ 为 $A D$ 边上一点 $(0 < A E < 3)$ ，连结 $E O$ 并延长，交 $B C$ 于点 $F$ ．四边形 $A B F E$ 与 $A^{'} B^{'} F E$ 关于 $E F$ 所在直线成轴对称，线段 $B^{'} F$ 交 $A D$ 边于点 $G$ ．

(1)、求证： $G E = G F$ ；

(2)、当 $A E = 2 D G$ 时，求 $A E$ 的长；

(3)、令 $A E = a ， D G = b$ ．求证： $(4 - a) (4 - b) = 4$ ．

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2、解分式方程： $\frac{x}{x - 2} + \frac{4}{2 - x} = 3$ ．

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3、计算： $\sqrt{16} + {(π - 3.14)}^{0} - {(\frac{1}{2})}^{- 1}$ ．

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4、已知 $x$ ， $y$ 满足方程组 $\{\begin{array}{l} 3 x + 4 y = 3 \\ x + 2 y = 1 \end{array}$ ，则 $x + y =$ ．

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5、扇形OAB中，OA＝OB＝2，∠AOB＝60°，点C在弧AB上，CD⊥AO，垂足为点D，则△OCD面积的最大值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{3}$

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6、如图，矩形 $A B C D$ 的周长为16，在它的每条边上各画一个以该边为边的正方形．若四个正方形的面积和是 ${68m}^{2}$ ，则矩形 $A B C D$ 的面积是（）

A、13 B、15 C、26 D、30

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7、下列计算正确的是（）

A、 $a + a = a^{2}$ B、 $2 (a + 3) = 2 a + 3$ C、 ${(a + 3)}^{2} = a^{2} + 9$ D、 $(a + 3) (a - 3) = a^{2} - 9$

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8、榫卯强调隐形连接，被誉为“中华民族千年非遗瑰宝”．鲁班锁就是起源于我国古建筑中的榫卯结构．图2是六根鲁班锁（图1）中的一个构件，其左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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9、在数轴上有四个点分别表示实数 $- 3$ ， $\sqrt{5}$ ， $- 1$ ， 0，其中离原点距离最远的点所表示的数是（）

A、 $- 3$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $- 1$ D、0

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10、如图，已知 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ，点D为直线 $B C$ 上的一动点（点D不与点B、C重合），以 $A D$ 为边作 $△ A D E$ ，使 $∠ D A E =90 °$ ， $A D = A E$ ，连接 $C E$ ．
发现问题：如图1，当点D在边 $B C$ 上时，

(1)、请写出 $B D$ 和 $C E$ 之间的位置关系为，并猜想 $B D$ 和 $C D$ 、 $D E$ 之间的数量关系：；

(2)、如图2，当点D在边 $B C$ 的延长线上且其他条件不变时，（1）中 $B D$ 和 $C E$ 之间的位置关系， $B D$ 和 $C D$ 、 $D E$ 之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由；

(3)、当点D在射线 $C B$ 上且其他条件不变时，若 $A B = 8$ ， $C E = 2 \sqrt{2}$ ，求出线段 $D E$ 的长．

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11、阅读材料，完成任务：我们知道 $(\sqrt{13} + 3) (\sqrt{13} - 3) = 4$ ，因此将 $\frac{1}{\sqrt{13} - 3}$ 分子、分母同时乘“ $\sqrt{13} + 3$ ”，分母就变成了4，例如：
$\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{(\sqrt{3} - \sqrt{2}) (\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \sqrt{3} + \sqrt{2} ，$

(1)、模仿材料中的计算方法，化简 $\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{6}} =$ ___________； $\frac{1}{\sqrt{5} - 2} =$ ___________．

(2)、计算： $(\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2025} + \sqrt{2024}}) \cdot (\sqrt{2025} + 1)$ ；

(3)、已知 $a = \frac{2}{\sqrt{3} + 1}, b = \frac{2}{\sqrt{3} - 1}$ ，求 $a^{2} + a b + b^{2}$ 的值．

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12、风筝，自春秋时期起源，至今已承载两千多年的智慧．为探索其蕴含的数学原理，某综合实践小组以“测量风筝离地面的垂直高度”为主题展开实践活动，探索过程如下：
【抽象模型】该小组基于风筝放飞的实际情况，画出了如图1所示的示意图，其中点A为风筝所在的位置， $B C$ 为牵线放风筝的手到风筝的水平距离， $A B$ 为风筝线的长度， $A D$ 为风筝到地面的垂直距离．
【测量数据】小组成员测量了图1相关数据，测得 $B C$ 长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线 $A B$ 的长为25米，牵线放风筝的手到地面的距离（即 $C D$ 的长）为 $1.8$ 米．
【问题解决】根据以上信息，解决下列问题：

(1)、请根据图1中测得的数据，计算此时风筝离地面的垂直高度 $A D$ ；

(2)、如图2，若风筝沿 $D A$ 方向再上升8米到达点E，且风筝线的长度不变，放风筝的同学沿射线 $B C$ 方向前进，放风筝的手水平移至点F处，则 $B F$ 的长度是多少米？

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13、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = 20, B C = 15, C D = 7, A D = 24, ∠ B = 90 °$ ．

(1)、求证： $C D ⊥ A D$ ；

(2)、求四边形 $A B C D$ 的面积．

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14、甲同学用如图①方法作出点 $C$ ，在 $△ O A B$ 中， $∠ O A B = 90 °$ ， $O A = 2$ ， $A B = 3$ ，且点 $O$ ， $A$ ， $C$ 在同一数轴上， $O B = O C$ ．

(1)、甲同学所做的点 $C$ 表示的数是_______；

(2)、仿照甲同学的做法，请你在如图②所示的数轴上作出表示 $- \sqrt{10}$ 的点 $D$ ．

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15、计算

(1)、 $(2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{2}) (2 \sqrt{3} - 3 \sqrt{2})$ ；

(2)、 ${(\sqrt{3} + \sqrt{6})}^{2}$ ．

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16、计算：

(1)、 $\sqrt{{(- 3)}^{2}} - {(\sqrt{2} + 1)}^{0} + {(- \sqrt{3})}^{2}$ ；

(2)、 $|\sqrt{2} - \sqrt{3}| + \sqrt{4} - \sqrt{3}$ ．

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17、如图，四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = 60 °$ ， $∠ A B D + ∠ C D B = 180 °$ ， $A D = B C$ ， $B D = 7$ ， $△ A B D$ 的面积是 $△ B C D$ 的面积的两倍、则 $A D$ 的长为．

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18、已知 $a + b = 5$ ， $a b = 3$ ，则 $\sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{b}{a}}$ 的值为．

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19、如图，分别以 $Rt △ A B C$ 的三边为边向外作正方形，其面积分别为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ ，若 $S_{1} = 6$ ， $S_{2} = 9$ ，则 $S_{3} =$ ．

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20、化简： $\sqrt{{(- 6)}^{2}} =$ ．

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