相关试卷

1、比较 $x^{2} + y^{2}$ 与2xy的大小。
【尝试】（填“>”“<”或“=”)
当x=2，y=2时，. $x^{2} + y^{2}$     ▲        2xy
当x=1，y=3时， $x^{2} + y^{2}$     ▲        2xy
当x=-1，y=-4时， $x^{2} + y^{2}$     ▲        2xy
【验证】若x，y可以取任意实数，则. $x^{2} + y^{2}$ 与2xy有怎样的大小关系?试说明理由。
【应用】当xy=1时，请直接写出： $x^{2} + 4 y^{2}$ 的最小值。

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2、阅读下列材料：如果 ${(x + 1)}^{2} - 9 = 0,$ 那么 ${(x + 1)}^{2} - 3^{2} = (x + 1 + 3) (x + 1 - 3) = （ x +$ 4)（x-2)，则（x+4)（x-2)=0，由此可知： $x_{1} = - 4, x_{2} = 2 。$ 根据以上材料计算. $x^{2} - 6 x -$ 16=0的根为（ )。

A、 $x_{1} = - 2, x_{2} = 8$ B、 $x_{1} = 2, x_{2} = 8$ C、 $x_{1} = - 2, x_{2} = - 8$ D、 $x_{1} = 2, x_{2} = - 8$

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3、由多项式乘法可知 $(x + a) (x + b) = x^{2} + (a + b) x + a b,$ 将该式从右到左运用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x²+（a+b)x+ ab=（x+a)（x+b)。
示例：分解因式： $x^{2} + 5 x + 6 = x^{2} + (2 + 3) x + 2 \times 3 = (x + 2) (x + 3) 。$

(1)、尝试：分解因式：.x²+6x+8=（x+)（x+)。

(2)、应用：请用上述方法解方程： $x^{2} - 3 x - 4 = 0 。$

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4、若一个三角形的三边长分别为a，b，c，设 $p = \frac{1}{2} (a + b + c) 。$
记： $Q = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$

(1)、当a=4，b=5，c=6时，求Q的值。

(2)、当a=b时，设三角形面积为S，求证：S=Q。

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5、如图，大长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（ )。

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、6

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6、请阅读以下材料，并完成相应的任务。
斐波那契是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列)。后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如一般的梅花、飞燕草、万寿菊等)的花瓣数恰是斐波那契数列中的数。斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用。
斐波那契数列中的第n个数可以用 $\frac{1}{\sqrt{5}} [{(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{n} - {(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{n}] (n \geq 1)$ 表示。这是用无理数表示有理数的一个范例。
任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数。

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7、如图，在四边形ABCD中，∠ $∠ A = ∠ B C D = 9 0^{\circ}, ∠ B = 4 5^{\circ}, A B = 2 \sqrt{6}, C D = \sqrt{3}$ 。求四边形ABCD的面积。

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8、我们规定运算符号⊗的意义如下：当a>b时，a⊗b=a+b；当a≤b时，a⊗b=a-b，其他运算符号意义不变。按上述规定，计算 $(\sqrt{3} \otimes \frac{3}{2}) - [(1 - \sqrt{3}) \otimes (- \frac{1}{2})]$ 的结果为。

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9、在直角三角形中，自锐角顶点所引的两条中线的长分别为 $\sqrt{10}$ 和 $\sqrt{35},$ ，那么这个直角三角形的斜边长为（ )。

A、6 B、7 C、 $2 \sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{7}$

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10、已知 $m = \sqrt{2} + 1, n = \sqrt{2} - 1,$ 则 $\sqrt{m^{2} + n^{2} - 3 m n}$ 的值为（ )。

A、9 B、 $\sqrt{3}$ C、3 D、5

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11、已知 $x = \frac{1}{2} (\sqrt{7} + \sqrt{5}), y = \frac{1}{2} (\sqrt{7} - \sqrt{5}),$ 求下列各式的值。

(1)、 $x^{2} - x y + y^{2} 。$

(2)、 $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} 。$

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12、计算：

(1)、 $(\sqrt{24} - \sqrt{\frac{1}{2}}) - (\sqrt{\frac{1}{8}} + \sqrt{6}) 。$

(2)、 $(2 \sqrt{3} + \sqrt{6}) (2 \sqrt{3} - \sqrt{6}) \div \sqrt{3} 。$

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13、已知. $x = \sqrt{6} + \sqrt{2},$ 则 $x^{2} - 2 \sqrt{2} x$ 的值是。

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14、计算： $\sqrt{2} (\sqrt{18} - \frac{1}{2} \sqrt{8}) =$ 。

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15、当 $x = \sqrt{3} + 1$ 时，式子. $x^{2} - 2 x + 2$ 的值为（ )。

A、 $\sqrt{3} + 2$ B、5 C、4 D、3

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16、要焊接一个如图所示的钢架，需要的钢材长度是（ )。

A、 $(3 \sqrt{5} + 7) m$ B、 $(5 \sqrt{3} + 7) m$ C、 $(7 \sqrt{5} + 3) m$ D、 $(3 \sqrt{7} + 5) m$

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17、如图，已知阴影部分是一个正方形，AB═4，∠B═45°，则此正方形的面积是（ )。

A、16 B、8 C、4 D、2

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18、已知一长方形相邻两边的长分别为 $\sqrt{2}, \sqrt{8},$ ，则它的周长和面积分别是（ )。

A、 $\sqrt{10}$ ， 4 B、 $2 \sqrt{10}$ ， 4 C、4， $3 \sqrt{2}$ D、 $6 \sqrt{2}$ ， 4

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19、小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： $3 + 2 \sqrt{2} =$ ${(1 + \sqrt{2})}^{2} 。$ 善于思考的小明进行了以下探索：
设 $a + b \sqrt{2} = {(m + n \sqrt{2})}^{2} （$ 其中a，b，m，n均为整数)，则有 $a + b \sqrt{2} = m^{2} + 2 n^{2} + 2 m n \sqrt{2} 。$
$∴ a = m^{2} + 2 n^{2}, b = 2 m n 。$
这样小明就找到了一种把 $a + b \sqrt{2} （$ a，b为整数)这类式子化为平方式的方法。
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

(1)、当a，b，m，n均为正整数时，若 $a + b \sqrt{3} = {(m + n \sqrt{3})}^{2},$ 用含m，n的代数式分别表示a，b，则a= ， b=。

(2)、利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空：
+ $\sqrt{3}$ =（+ $\sqrt{3}$ ）²

(3)、若 $a + 4 \sqrt{3} = {(m + n \sqrt{3})}^{2},$ 且a，m，n均为正整数，求a的值。

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20、在解决问题“已知 $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}},$ 求 $2 a^{2} - 8 a + 1$ 的值”时，小明是这样分析与解答的：
$∵ a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}, ∴ a - 2 = - \sqrt{3} 。$
$∴ {(a - 2)}^{2} = 3, a^{2} - 4 a + 4 = 3 。 ∴ a^{2} - 4 a = - 1 。$
∴ $2 a^{2} - 8 a + 1 = 2 (a^{2} - 4 a) + 1 = 2 \times (- 1) + 1 = - 1$
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：

(1)、化简： $\frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} 。$

(2)、若 $a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1},$ 求 $3 a^{2} - 6 a - 1$ 的值。

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