相关试卷

1、已知 $m = \sqrt{2} + 1, n = \sqrt{2} - 1,$ 则 $\sqrt{m^{2} + n^{2} - 3 m n}$ 的值为（ )。

A、9 B、 $\sqrt{3}$ C、3 D、5

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2、已知 $x = \frac{1}{2} (\sqrt{7} + \sqrt{5}), y = \frac{1}{2} (\sqrt{7} - \sqrt{5}),$ 求下列各式的值。

(1)、 $x^{2} - x y + y^{2} 。$

(2)、 $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} 。$

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3、计算：

(1)、 $(\sqrt{24} - \sqrt{\frac{1}{2}}) - (\sqrt{\frac{1}{8}} + \sqrt{6}) 。$

(2)、 $(2 \sqrt{3} + \sqrt{6}) (2 \sqrt{3} - \sqrt{6}) \div \sqrt{3} 。$

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4、已知. $x = \sqrt{6} + \sqrt{2},$ 则 $x^{2} - 2 \sqrt{2} x$ 的值是。

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5、计算： $\sqrt{2} (\sqrt{18} - \frac{1}{2} \sqrt{8}) =$ 。

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6、当 $x = \sqrt{3} + 1$ 时，式子. $x^{2} - 2 x + 2$ 的值为（ )。

A、 $\sqrt{3} + 2$ B、5 C、4 D、3

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7、要焊接一个如图所示的钢架，需要的钢材长度是（ )。

A、 $(3 \sqrt{5} + 7) m$ B、 $(5 \sqrt{3} + 7) m$ C、 $(7 \sqrt{5} + 3) m$ D、 $(3 \sqrt{7} + 5) m$

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8、如图，已知阴影部分是一个正方形，AB═4，∠B═45°，则此正方形的面积是（ )。

A、16 B、8 C、4 D、2

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9、已知一长方形相邻两边的长分别为 $\sqrt{2}, \sqrt{8},$ ，则它的周长和面积分别是（ )。

A、 $\sqrt{10}$ ， 4 B、 $2 \sqrt{10}$ ， 4 C、4， $3 \sqrt{2}$ D、 $6 \sqrt{2}$ ， 4

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10、小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如： $3 + 2 \sqrt{2} =$ ${(1 + \sqrt{2})}^{2} 。$ 善于思考的小明进行了以下探索：
设 $a + b \sqrt{2} = {(m + n \sqrt{2})}^{2} （$ 其中a，b，m，n均为整数)，则有 $a + b \sqrt{2} = m^{2} + 2 n^{2} + 2 m n \sqrt{2} 。$
$∴ a = m^{2} + 2 n^{2}, b = 2 m n 。$
这样小明就找到了一种把 $a + b \sqrt{2} （$ a，b为整数)这类式子化为平方式的方法。
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

(1)、当a，b，m，n均为正整数时，若 $a + b \sqrt{3} = {(m + n \sqrt{3})}^{2},$ 用含m，n的代数式分别表示a，b，则a= ， b=。

(2)、利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空：
+ $\sqrt{3}$ =（+ $\sqrt{3}$ ）²

(3)、若 $a + 4 \sqrt{3} = {(m + n \sqrt{3})}^{2},$ 且a，m，n均为正整数，求a的值。

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11、在解决问题“已知 $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}},$ 求 $2 a^{2} - 8 a + 1$ 的值”时，小明是这样分析与解答的：
$∵ a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}, ∴ a - 2 = - \sqrt{3} 。$
$∴ {(a - 2)}^{2} = 3, a^{2} - 4 a + 4 = 3 。 ∴ a^{2} - 4 a = - 1 。$
∴ $2 a^{2} - 8 a + 1 = 2 (a^{2} - 4 a) + 1 = 2 \times (- 1) + 1 = - 1$
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：

(1)、化简： $\frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} 。$

(2)、若 $a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1},$ 求 $3 a^{2} - 6 a - 1$ 的值。

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12、如果 ${(2 + \sqrt{2})}^{2} = a + b \sqrt{2}$ （a，b为有理数)，那么a+b等于。

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13、计算 $(\frac{\sqrt{5} + 1}{2} - 1) \cdot \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ 的结果是（ )。

A、0 B、1 C、2 D、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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14、计算：

(1)、 $\sqrt{8} + | \sqrt{2} - 1 | 。$

(2)、 $2 \sqrt{12} - \sqrt{\frac{1}{27}} + \sqrt{48} 。$

(3)、 $\frac{\sqrt{27} + \sqrt{3}}{\sqrt{3}} - 2 。$

(4)、 $\sqrt{\frac{4}{9}} + \sqrt{\frac{1}{9}} - \sqrt[3]{- \frac{8}{27}} + {(\sqrt{3} - 1)}^{0} 。$

(5)、 $\sqrt{3} (\sqrt{6} - 2 \sqrt{15}) - \frac{6}{\sqrt{2}} 。$

(6)、 $(7 \sqrt{54} - 3 \sqrt{21} + 4 \sqrt{15}) \times \sqrt{3} 。$

(7)、 $(\sqrt{18} + 4 \sqrt{\frac{1}{2}} + \frac{6}{\sqrt{3}}) \div \frac{1}{\sqrt{3}} 。$

(8)、 $(2 + \sqrt{5}) (\sqrt{5} - 3) 。$

(9)、 ${(3 - 2 \sqrt{2})}^{2} \times {(3 + 2 \sqrt{2})}^{2} 。$

(10)、 $(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{6}) \times (\sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{6}) 。$

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15、计算： $\sqrt{24} - 18 \sqrt{\frac{1}{6}} =$ 。

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16、计算 $\sqrt{48} + 2 \sqrt{3} - \sqrt{75},$ 正确的结果是（ )。

A、 $\sqrt{3}$ B、1 C、 $5 \sqrt{3}$ D、 $6 \sqrt{3} - \sqrt{75}$

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17、下列各式中，与 $2 - \sqrt{3}$ 的积为有理数的是（ )。

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $2 - \sqrt{3}$ C、 $- 2 + \sqrt{3}$ D、 $2 + \sqrt{3}$

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18、下列式子中，运算正确的是（ )。

A、 $\sqrt{3} - 2 \sqrt{3} = - 1$ B、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ C、 $\frac{1}{2 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 ${(3 - \sqrt{10})}^{2} = 19 - 6 \sqrt{10}$

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19、阅读材料，解答问题。
进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 $\frac{3}{\sqrt{5}}, \sqrt{\frac{2}{3}}, \frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 这样的式子，我们可以将其进一步化简：
$\frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3 \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{3 \sqrt{5}}{5};$
$\sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{2 \times 3}{3 \times 3}} = \frac{\sqrt{6}}{3};$
$\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2 \times (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{{(\sqrt{3})}^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3} - 1 。$
以上这种化简的步骤叫作分母有理化。
$\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 还可以用以下方法化简：
$\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{3 - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3})^{2} - 1^{2}}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{3} + 1} = \sqrt{3} - 1$

(1)、请用不同的方法化简 $\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} 。$

(2)、化简： $\frac{1}{\sqrt{3} + 1} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2 n + 1} + \sqrt{2 n - 1}} 。$

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20、已知 $a = {(\frac{1}{2})}^{- 1} + {(- \sqrt{3})}^{0}, b = (\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2}),$ 则 $\sqrt{a + b} =$ 。

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