相关试卷

1、小明同学用配方法推导一元二次方程（ $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的求根公式时，对于 $b^{2} - 4 a c > 0$ 的情况，他是这样做的：
由于a≠0，方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 变形为 $x^{2} + \frac{b}{a} x = - \frac{c}{a}$ ……第一步
$x^{2} + \frac{b}{a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} = - \frac{c}{a} + {(\frac{b}{2 a})}^{2}$ ……第二步
${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}$ ……第三步
$x + \frac{b}{2 a} = \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} (b^{2} - 4 a c⟩ 0)$ ……第四步
$x = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ ……第五步

(1)、小明的解法从第步开始出现错误。

(2)、当 $b^{2} - 4 a c > 0$ 时，方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的求根公式为。

(3)、用配方法解方程： $2 x^{2} - 6 x + 4 = 0 。$

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2、如图，依靠一面长18m的墙，用34m长的篱笆围成一个长方形花圃ABCD，AB边上留有一扇2m宽的小门EF（用其他材料做，不用篱笆围)。

(1)、设花圃的一边AD的长为x（m)，用含x的代数式表示另一边CD的长为m。

(2)、当花圃的面积为160m²时，求AD的长。

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3、如果关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”。下列关于“倍根方程”的说法：①方程、 $x^{2} - x - 2 = 0$ 是“倍根方程”；②若（x-2)（mx+n)=0是“倍根方程”，则 $4 m^{2} + 5 m n + n^{2} = 0;$ ③)若p，q满足pq=2，则关于x的方程 $p x^{2} + 3 x + q = 0$ 是“倍根方程”；④若方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 是“倍根方程”，则必有 $2 b^{2} = 9 a c 。$ 。其中正确的有（填序号)。

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4、若关于x的一元二次方程（ $(a + 1) x^{2} + 4 x + a^{2} - 1 = 0$ 的一个根是0，则a=。

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5、已知关于x的一元二次方程； $m x^{2} - 2 (m + 2) x + m = （$ 有两个不相等的实数根x₁ ， x₂ ，若x₁+) $x_{2} = 2 m,$ ，则m的值是。

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6、已知m是关于x的方程. $x^{2} - 2 x - 7 = 0$ 的一个根，则 $2 (m^{2} - 2 m) =$ 。

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7、方程x（2x-1)=2x-1的根为。

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8、将关于x的一元二次方程. $x^{2} - p x + q = 0$ 变形为 $x^{2} = p x - q,$ 就可以将x²表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如. $x^{3} = x \cdot x^{2} = x (p x - q) = \dots,$ 我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式。根据“降次法”，已知 $x^{2} - x - 1 = 0,$ 且x>0，则. $x^{4} - 2 x^{3} + 3 x$ 的值为（）。

A、 $1 - \sqrt{5}$ B、 $3 - \sqrt{5}$ C、 $1 + \sqrt{5}$ D、 $3 + \sqrt{5}$

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9、为了提高社区居民对“垃圾分类”的知晓率，某街道工作人员用了两个月的时间在该社区加强了宣传，若社区的知晓人数的平均月增长率为m%，两个月前社区对“垃圾分类”的知晓人数为a万人，现在的知晓人数为b万人，则（）。

A、b=（1+m%×2)a B、b=（1+m%)²a C、b=（1+m%)2a D、b=m%×2a

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10、用配方法解一元二次方程. $x^{2} + 3 = 4 x,$ 下列配方正确的是（）。

A、 ${(x + 2)}^{2} = 2$ B、 ${(x - 2)}^{2} = 7$ C、 ${(x + 2)}^{2} = 1$ D、 ${(x - 2)}^{2} = 1$

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11、如图，将一块长为40cm、宽为30cm的长方形硬纸板的四个角各剪去一个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒。若该无盖纸盒的底面积为600cm² ，设剪去小正方形的边长为x（cm)，则可列方程为（）。

A、（30-2x)（40-x)=600 B、（30-x)（40-x)=600 C、（30-x)（40-2x)=600 D、（30-2x)（40-2x)=600

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12、关于x的方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有下列说法：①若a≠0，则方程必定是一元二次方程；②若a=0，则方程必定是一元一次方程，那么上述说法中（）。

A、①②均正确 B、①②均错误 C、①正确，②错误 D、①错误，②正确

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13、下列关于一元二次方程的根的说法，正确的是（）。

A、方程. $x^{2} + x - 2 = 0$ 有一个根为-1 B、方程. $x^{2} + x = 0$ 有一个根为1 C、方程. $x^{2} + 3 x - 4 = 0$ 有两个不相等的实数根 D、方程. $x^{2} + 4 = 0$ 有两个实数根，并且这两个根互为相反数

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14、利用求根公式求 $5 x^{2} + \frac{1}{2} = 6 x$ 的根时，其中a=5，则b，c的值分别是（ )。

A、 $\frac{1}{2}$ ， 6 B、6， $\frac{1}{2}$ C、-6， $\frac{1}{2}$ D、-6， $\frac{1}{2}$

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15、方程 ${(x - 2)}^{2} = 3 (x - 2)$ 的解是（）。

A、x=5 B、x=2 C、x=5或x=2 D、x=1或x=2

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16、下列方程中，属于一元二次方程的是（）。

A、 $x^{2} + 3 x - y = 2$ B、 $x^{2} + \frac{2}{x} = 1$ C、 $\sqrt{x^{2} + 1} = 3 x$ D、 $\frac{x^{2} + 2}{3} = \frac{x}{2}$

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17、我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积。
用式子表示即 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} b^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}]}$ （其中a，b，c为三角形的三边长，S为面积)。①
而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：
$S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)} （$ 其中 $p = \frac{a + b + c}{2}) 。 ②$

(1)、若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积S。

(2)、你能否由公式①推导出公式②?请试试。

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18、计算：

(1)、已知a，b满足（ ${(a + 3 b + 1)}^{2} + \sqrt{b - 2} = 0,$ 且 $\sqrt[3]{c} = 5,$ 求 $3 a^{2} + 7 b - c$ 的平方根。

(2)、已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图，化简： $\sqrt{a^{2}} + ∣ c - a ∣ + \sqrt{{(b - c)}^{2}} 。$

(3)、已知x，y满足 $y = \frac{\sqrt{x^{2} - 9} + \sqrt{9 - x^{2}} + 1}{x - 3},$ 求5x+6y的值。

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19、解决问题“已知 $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}},$ 求 $2 a^{2} - 8 a + 1$ 的值”时，小明是这样分析与解答的： $∵ a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$ ，
$∴ a - 2 = - \sqrt{3}$ 。
$∴ (a - 2)^{2} = 3$ 即 $a^{2} -$ 4a $+ 4 = 3 。 ∴ a^{2} - 4 a = - 1 。 ∴ 2 a^{2} - 8 a + 1 = 2 (a^{2} - 4 a) + 1 = 2 \times (- 1) + 1 = - 1$ l。
请你根据小明的分析过程，解决下列问题：

(1)、化简： ${\frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}}^{\circ}$

(2)、若 $a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1},$ 求 $3 a^{2} - 6 a - 1$ 的值。

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20、规定新运算符号“☆”： a☆ $b = a b + \frac{3}{b} - \sqrt{3} 。$ 如：（-2)☆ $1 = (- 2) \times 1 + \frac{3}{1} - \sqrt{3} 。$

(1)、求 $(\sqrt{12} + \sqrt{3})$ ☆ $\sqrt{12}$ 的值。

(2)、若 $(- \sqrt{2 x - 1}) ☆ (- \frac{1}{3}) = - \sqrt{3},$ 求x的值。

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