相关试卷

1、我们把两组邻边分别相等的四边形称为“筝形” $.$ 为了解这种四边形的特征，李老师和同学们在数学实践课上以筝形为背景进行如下研究．

(1)、【概念理解】
如图 $1$ ，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A D ⊥ D C$ ，证明 $△ A B C$ ≌ $△ A D C$ ，并判断四边形 $A B C D$ 是否为筝形．

(2)、【性质探究】
在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A D ⊥ D C$ ，过点 $B$ 作 $B E ⊥ C D$ ，垂足为 $E$ ，直线 $B E$ 与 $A C$ 交于点 $F$ ，过点 $A$ 作 $A G ⊥ B E$ ，垂足为 $G$ ．
$①$ 如图 $2$ ，若 $A B < B C$ ，证明： $B C = A G + C E$ ．
$②$ 如图 $3$ ，若 $A B > B C$ ，判断 $①$ 中的结论是否仍然成立 $.$ 若成立，请证明；若不成立，请说明理由，并写出正确的结论．

(3)、【拓展应用】
条件同 $(2)$ 且当 $A B \neq B C$ 时，若 $\frac{A F}{C F} = 4$ ，求 $\frac{B C}{A B}$ 的值．

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2、项目式学习
项目主题：无人机喷洒农药研究
项目背景：无人机喷洒农药高效、便捷，同时可以避免作业人员直接与农药接触，有利于增强喷药作业的安全性．
驱动问题：如何使无人机喷洒农药更高效、经济．
建立模型：如图 $1$ 是无人机的示意图，其中点 $O$ 为无人机的摄像头， $A$ ， $B$ 是喷药口， $A$ ， $B$ ， $O$ ，在同一条水平直线上， $A B = 60 c m$ ，如图 $2$ ，以无人机摄像头所在位置 $O$ 为坐标原点，竖直方向为 $y$ 轴，以 $A B$ 所在直线为 $x$ 轴，建立平面直角坐标系 $.$ 喷药口点 $A$ 和点 $B$ 到点 $O$ 的距离相等，每个喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与 $y$ 轴的交点为 $C$ ， $O C = 300 c m$ ．

(1)、依题意，得点 $A$ 的坐标为： ▲ ；求出点 $A$ 所在抛物线的函数表达式．

(2)、问题解决：
启动无人机后，无人机摄像头距地面的初始高度为 $300 c m$ ，为了精准喷药，需要调整无人机的高度到图 $3$ 位置，使相邻田地之间的田埂 $($ 宽度为 $E F$ 的区域，且 $E F = 30 c m$ 时，田埂高度忽略不计 $)$ 恰好不被喷洒农药，求无人机应该下降的高度；

(3)、如图 $4$ ，在直线 $A B$ 上再增加 $2$ 个喷药口 $M$ 和 $N$ ， $M$ 在 $A$ 左侧， $N$ 在 $B$ 右侧， $M A = A B = B N$ ，当无人机上升到距地面的高度为 $480 c m$ 时，请求出此时喷洒农药覆盖区域宽度 $P Q$ 的长．

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3、如图， $A E$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $B$ 在线段 $A E$ 的延长线上，直线 $B D$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $D .$ 连接 $A D$ ．

(1)、尺规作图：过点 $A$ 作 $A C ⊥ B D$ ，交 $B D$ 延长线于点 $C ($ 保留作图痕迹，不写作法 $)$ ；

(2)、①求证： $A D$ 平分 $∠ B A C$ ；
②若 $A E = 2 B E = 4$ ，求 $A D$ 的长．

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4、下面是一道残缺的试题及其部分解析．

排球是 $2026$ 年河南体育中考的一个选考项目 $.$ 某中学为此专门开设了“排球大课间活动”，学校现决定购买 $A$ 种品牌的排球 $25$ 个， $B$ 种品牌的排球 $50$ 个，共花费 $4500$ 元，已知 $A$ 种品牌排球的单价比 $B$ 种品牌排球的单价____？ $30$ 元，求 $A$ 、 $B$ 两种品牌排球的单价．

解：设 $A$ 种品牌排球的单价为 $x$ 元，

则列出一元一次方程： $25 x + 50 (x - 30) = 4500 \dots$

(1)、横线处的内容为；

(

填“高”或“低”

)

(2)、本题也可用二元一次方程组来求解，设

A

，

B

两种品牌排球的单价分别为

m

，

n

元，请你据此列出方程组并求

A

，

B

两种品牌排球的单价；

(3)、根据需要，学校决定再次购进

A

，

B

两种品牌的排球共

50

个，总费用不超过

3250

元，且购买

A

种品牌的排球不少于

23

个，若排球的单价保持不变，学校共有哪几种购买方案？

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5、为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动 $.$ 下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题．
模具设计水平调查报告
【调查主题】
“逐梦科技强国”活动中模具设计水平．
【调查目的】
通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识．
【调查对象】
某校学生模具设计成绩．
【调查方式】
抽样调查．
【数据收集与表示】
随机抽取全校部分学生的模具设计成绩 $($ 成绩为百分制，用 $x$ 表示 $)$ ，并整理，将其分成四组 $(A$ ： $60 \leq x < 70$ ， $B$ ： $70 \leq x < 80$ ， $C$ ： $80 \leq x < 90$ ， $D$ ： $90 \leq x \leq 100)$ ．
下面给出了部分信息：
其中 $C$ 组的成绩为： $80$ ， $81$ ， $82$ ， $82$ ， $83$ ， $84$ ， $84$ ， $84$ ， $85$ ， $85$ ， $86$ ， $86$ ， $86$ ， $87$ ， $87$ ， $88$ ， $88$ ， $89$ ， $89$ ， $89$ ．
【数据分析与应用】
根据以上信息解决下列问题：

(1)、本次共抽取了名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是分，在扇形图中， $C$ 组对应圆心角的度数为．

(2)、请补全频数分布直方图．

(3)、请估计全校 $1200$ 名学生的模具设计成绩不低于 $80$ 分的人数．

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6、计算： $(π - 2026)^{0} - 3 t a n 30 ° + | 1 - \sqrt{3} | + (\frac{1}{2})^{- 2}$ ．

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7、如图， $A B C D$ 是一个平行四边形纸片， $B D$ 是一条对角线， $B D = B C = 5$ ， $C D = 6 .$ 点 $E$ ， $F$ 分别在边 $A B$ ， $A D$ 上，连接 $E F$ ，将平行四边形纸片 $A B C D$ 沿 $E F$ 折叠，点 $A$ 的对应点 $G$ 落在 $C D$ 边上，且 $E F / / B D$ ，则 $D G =$ ．

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8、如图，点 $A$ 在反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 的图象上，点 $B$ 在反比例函数 $y = - \frac{2}{x}$ 的图象上，连接 $O A$ ， $O B$ ， $A B .$ 若 $A O ⊥ B O$ ，则 $t a n ∠ B A O =$ ．

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9、如图，两条直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别经过正六边形 $A B C D E F$ 的顶点 $B$ ， $C$ ，且 $l_{1} / / l_{2} .$ 当 $∠ 1 = 37 °$ 时， $∠ 2 =$ $° .$

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10、在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为 $20 g$ 和 $60 g$ 的物品后，天平倾斜 $($ 如图所示 $) .$ 现从质量为 $10 g$ ， $20 g$ ， $30 g$ 的三件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为．

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11、如图，在 $⊙ O$ 中， $A B = 6 \sqrt{3}, O C ⊥ A B, ∠ D = 30 °$ ，则 $\overset{⏜}{A C}$ 的长为（）

A、 $2 π$ B、 $3 π$ C、 $4 π$ D、 $6 π$

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12、如图，在▱ $A B C D$ 中， $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ， $B D = 2 C D$ ， $F$ 为 $A D$ 的中点， $E$ 为 $O C$ 的中点 $.$ 若 $B C = 18$ ，则 $E F$ 的长为（）

A、 $9$ B、 $9.5$ C、 $10$ D、 $6 \sqrt{2}$

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13、下列命题中正确的命题是（）

A、两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 B、有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 C、垂直于同一条直线的两条直线平行 D、圆中垂直于弦的直径平分弦

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14、如图，已知某山峰的海拔高度为 $m$ 米，一位登山者到达海拔高度为 $n$ 米的点 $A$ 处，测得山峰顶端 $B$ 的仰角为 $α$ ，则 $A$ 、 $B$ 两点之间的距离为（）

A、 $(m - n) s i n α$ 米 B、 $\frac{m - n}{s i n α}$ 米 C、 $(m - n) c o s α$ 米 D、 $\frac{m - n}{c o s α}$ 米

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15、下列运算正确的是（）

A、 $2 a + 3 a = 5 a^{2}$ B、 $(2 a^{2})^{3} = 6 a^{6}$ C、 $a (2 b - 1) = 2 a b - a$ D、 $(2 a - 1)^{2} = 4 a^{2} - 1$

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16、古人云“车马很慢，书信很远”，曾几何时，春运“一票难求”是无数人的共同记忆，而如今，发达的铁路网让“千里归乡一日还”成为现实 $. 2026$ 年春运，铁路客运量约 $540000000$ 人次，数据“ $540000000$ ”用科学记数法表示为（）

A、 $0.54 \times 10^{9}$ B、 $5.4 \times 10^{7}$ C、 $5.4 \times 10^{8}$ D、 $54 \times 10^{7}$

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17、为维护校园安全，学校通常会在校门口安装防冲撞升降柱 $.$ 某款升降柱如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是（）

A、主视图与左视图相同 B、主视图与俯视图相同 C、左视图与俯视图相同 D、三种视图都相同

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18、中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其图案是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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19、如图，直线 $A B ∥ C D$ ，直线 $E F$ 与 $A B$ 、 $C D$ 分别交于点G、 $H$ ， $∠ E H C = α (0 ° < α < 90 °)$ ．小新将一个含 $30 °$ 角的直角三角板 $P M N$ 按如图①放置，使点N、M分别在直线 $A B$ 、 $C D$ 上， $∠ P = 90 °$ ， $∠ P M N = 60 °$ ；

(1)、填空： $∠ P N A + ∠ P M C =$ °；

(2)、若 $P M ∥ E F$ ， $∠ M N G$ 的角平分线 $N O$ 交直线 $C D$ 于点O．
①如图②，当 $N O ∥ E F$ 时，求α的度数；
②小新将三角板 $P M N$ 向右平移，直接写出 $∠ M O N$ 的度数（用含a的式子表示）．

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20、【探究发现】
从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．

(1)、上述操作能验证的等式是（）（填字母序号）

A、 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ B、 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ C、 $a^{2} + a b = a (a + b)$

(2)、【知识迁移】
运用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知 $x^{2} - 4 y^{2} = 12$ ， $x + 2 y = 4$ ，则 $x - 2 y$ 的值为 ▲ ；
②计算： $(1 - \frac{1}{2^{2}}) \times (1 - \frac{1}{3^{2}}) \times (1 - \frac{1}{4^{2}}) \times \dots \times (1 - \frac{1}{1 9^{2}}) \times (1 - \frac{1}{2 0^{2}})$ ．

(3)、【拓展应用】
如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积为．

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