相关试卷

1、数学兴趣小组在数学活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：

(1)、【观察与猜想】
如图1，在正方形 $A B C D$ 中， $E, F$ 分别是 $A B, A D$ 上的两点，连接 $D E, C F$ ，若 $D E ⊥ C F$ ，求证： $△ A D E ≌ △ D C F$ ；

(2)、如图2，在矩形 $A B C D$ 中， $A D = 7$ ， $C D = 4$ ， $E$ 是 $A D$ 上的一点，连接 $C E, B D$ ，若 $C E ⊥ B D$ ，请求出 $\frac{C E}{B D}$ 的值；

(3)、【类比探究】
如图3，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = ∠ B = 90 °$ ， $E$ 为 $A B$ 上一点，连接 $D E$ ，过点 $C$ 作 $C G ⊥ D E$ 交 $E D$ 的延长线于点 $G$ ，交 $A D$ 的延长线于点 $F$ ，求证： $\frac{D E}{C F} = \frac{A D}{A B}$ ；

(4)、【拓展延伸】
如图4，在 $R t △ A B D$ 中， $∠ B A D = 90 °$ ， $A D = 15$ ，将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 翻折， $A$ 落在 $C$ 处，得到 $△ C B D$ ， $F$ 为线段 $A D$ 上一动点，连接 $C F$ ，作 $D E ⊥ C F$ ，交直线 $A B$ 于E ，垂足为 $G$ ，连接 $A G$ ．若 $\frac{D E}{C F} = \frac{5}{4}$ ，直接写出 $A G$ 的最小值．

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2、请根据以下素材，完成探究任务．

汉服承载着华夏民族数千年的礼仪衣冠体系，其“交领右衽”“天人合一”的设计理念，凝结了东方美学的智慧结晶．从盛唐气象到宋明风韵，不同形制的演变映射着时代精神风貌．今有某传统服饰工坊，以匠心复刻唐制齐胸襦裙之飘逸、宋制褙子之雅致、明制袄裙之端庄，邀您共探传统工艺与现代经营的数学奥秘．

制定汉服加工方案

生产背景

背景1

（1）某汉服工坊安排60名工匠承接订单，主打三类经典形制：唐制·齐胸襦裙（象征开放包容的盛世气度）、宋制·褙子套装（体现简约理性的文人审美）、明制·袄裙（彰显严谨庄重的礼制规范）；

（2）根据非遗技艺要求，每位工匠每日仅能专精一种类型：唐制人均日产3套，宋制人均日产2套，明制人均日产1套；

（3）客户合同约定：宋制汉服至少交付15套；明制与唐制产能需严格匹配，按套数 $1 : 1$ 供应高端团购单．

背景2

当前市场行情下各款式获利情况如下：

①唐制布料成本低和走量销售，单套净利润30元；

②明制采用云锦面料和手工镶边，单套净利润90元；

③宋制实行差异化定价：当每日生产15套时，每套获利120元；在此基础上，每多生产1套，平均每套获利减少3元．

信息整理

现规划x名匠人主攻宋制，y名匠人负责唐制，其余匠人负责明制，列表如下：

汉服类型	加工人数	人均日产量/套	单套净利润/元
唐制	y	3	30
宋制	x	2
明制		1	90

探究任务

(1)、任务1：探寻变量关系

根据合同约束，求x ， y之间的数量关系．

(2)、任务2：建立数学模型

设该汉服工坊每日总利润为W元，求W关于x的函数表达式．

(3)、任务3：拟定最优方案

确定使每日总利润最大的分配方案．

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3、如图1，四边形 $A B C D$ 为菱形， $∠ A B C = 60 °$ ， $A (0, a)$ ， $B (b, 0)$ ， $C (c, 0)$ ，且 $| b + c | + \sqrt{a - 2 \sqrt{3}} = 0$ ．

(1)、求 $A B$ 的长；

(2)、点 $M$ 在 $B D$ 上运动， $△ A M N$ 为等边三角形．
①如图2，求证： $N D = M C$ ，并直接写出 $N D$ 的最小值；
②如图3，当点 $N$ 在 $A D$ 的上方时，求点 $N$ 的横坐标．

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4、小舟同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树 $A B$ 的高度，已知大树与地面垂直，他在点 $C$ 处测得大树顶端 $A$ 的仰角为 $45 °$ ，再从 $C$ 点出发沿斜坡走 $\sqrt{10}$ 米到达斜坡上 $D$ 点，在点 $D$ 处测得树顶端 $A$ 的仰角为 $37 °$ ，若斜坡 $C F$ 的坡度 $i$ （即 $t a n ∠ E C F$ ）为 $1 : 3$ （点E ， C ， B在同一水平线上）．

(1)、求小刚同学从点 $C$ 到点 $D$ 的过程中上升的高度；

(2)、求大树 $A B$ 的高度．（参考数据： $s i n 37 ° \approx 0.60$ ， $c o s 37 ° \approx 0.80$ ， $t a n 37 ° \approx 0.75$ ）

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5、设小舟体质健康综合评定成绩为 $x$ 分，满分为100分，规定： $85 \leq x \leq 100$ 为 $A$ 级， $75 \leq x < 85$ 为 $B$ 级， $60 \leq x < 75$ 为 $C$ 级， $x < 60$ 为 $D$ 级.现随机抽取实验中学部分学生的综合评定成绩，请根据图中的信息，解答下列问题：

(1)、在这次调查中，一共抽取了名学生， $a =$ $%$ ；

(2)、补全条形统计图；扇形统计图中 $C$ 级对应的圆心角为 $°$ ；

(3)、若该校共有4000名学生，请你估计该校 $D$ 级学生有多少名？

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6、如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆， $B C$ 是 $⊙ O$ 的直径， $∠ B = ∠ C A D$ ．

(1)、求证： $A D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、连接 $O A$ ，若 $∠ B = 30 °$ ， $A C = 3$ ，求扇形 $O A C$ 的面积．

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7、洪洪在计算 $(- 9 \frac{15}{16}) \times 16$ 的过程中产生了如下两种简便计算思路：
思路一：
解：原式 $= (- 10 +) \times 16$
$\begin{array}{l} = (- 10) \times 16 + \times 16 \\ = \end{array}$
思路二：
解：原式 $= (- 9 ○ \frac{15}{16}) \times 16$
=

(1)、在思路一中的“□”内填上合适的数，并完成计算；

(2)、在思路二中的“○”内填上“ $+$ ”“ $-$ ”、“×”、或“÷”中的一个运算符号，使得运算过程正确．并完成计算．

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8、计算： $| 1 - \sqrt{3} | + {(\frac{1}{3})}^{- 1} + {(2026 + π)}^{0} - t a n 60 °$ ．

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9、如图，正方形 $A B C D$ 的边长为4，点 $E$ 是对角线 $B D$ 上一点，连接 $A E$ ，将线段 $A E$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到 $A F$ ，连接 $E F$ ，点 $M$ 为 $E F$ 中点， $M N ⊥ B D$ ，垂足为 $N$ ，若 $M N = 1$ ，则 $D E =$ ．

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10、已知 $\sqrt{a - 8} + b^{2} - 6 b + 9 = 0$ ，则 $\sqrt{a b}$ 的值为．

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11、如图是扬州市某园林的正八边形窗户示意图，则 $∠ A B C =$ °．

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12、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，分别以 $A C$ 、 $B C$ 为边向外作正方形，面积分别记为 $S_{1} 、 S_{2}$ ，若 $S_{1} = 6$ ， $S_{2} = 3$ ，则 $A B =$ ．

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13、如图，正方形 $A B C D$ 的顶点 $A (0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ， $B (\frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$ ，顶点C ， D位于第一象限，直线 $l : x = t (0 \leq t \leq \sqrt{2})$ 将正方形 $A B C D$ 分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为S ，则S关于t的函数图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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14、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， D为斜边 $A B$ 的中点，动点P从B点出发，沿B $\to$ C $\to$ A运动，如图1所示，设 $S_{△ D P B} = y$ ，点P运动的路程为x ，若y与x之间的函数图象如图2所示，则y的最大值为（）

A、2 B、 $\frac{12}{5}$ C、3 D、4

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15、如图， $P A$ ， $P B$ 分别切 $⊙ O$ 于点A ， B ，若 $∠ P = 60 °$ ， $\overset{⌢}{A B}$ 的长为 $10 π$ ，则 $⊙ O$ 的半径为（）

A、10 B、15 C、20 D、30

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16、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A D = 8$ ，点E为 $A D$ 上一点，连接 $B E$ ， $C E$ ，点M ， N分别是 $B E$ ， $C E$ 的中点，连接 $M N$ ，则 $M N$ 的长为（）

A、4 B、5 C、6 D、不确定

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17、我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三．问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出七钱；会多二钱；每人出六钱，又差三钱，问人数、货物总价各多少？设人数为 $x$ 人，货物总价为 $y$ 钱，可列方程组（）

A、 ${\begin{array}{l} y = 7 x - 2 \\ y = 6 x + 3 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} y = 7 x + 2 \\ y = 6 x - 3 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 7 x = y + 2 \\ y = 6 x - 3 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 7 x = y - 2 \\ y = 6 x + 3 \end{array}$

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18、如图是某地铁站的进站口，共有3个闸机检票通道口，若甲、乙两人各随机选择一个闸机检票口进站，则甲、乙两人从同一个闸机检票通道口进站的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{4}{9}$

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19、下列计算正确的是（）

A、3a³+2a²=5a⁵ B、(m+2n)(m-2n)=m²-2n² C、 ${(m - \frac{1}{2})}^{2} = m^{2} - \frac{1}{4}$ D、 $(8 x^{3} y^{3} - 4 x^{2} y^{2}) \div 2 x y^{2} = 4 x^{2} y - 2 x$

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20、 $C h a t G P T$ 是人工智能研究实验室 $O p e n A I$ 新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（）

A、 $1.75 \times 1 0^{3}$ B、 $1.75 \times 1 0^{12}$ C、 $175 \times 1 0^{8}$ D、 $1.75 \times 1 0^{11}$

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