相关试卷

1、关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 3 x - 5 = 0$ 的两个根是 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} - x_{1} x_{2}$ 的值为．

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2、点 $(3, - 2)$ 关于原点的对称点的坐标为．

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3、已知 $⊙ O$ 的半径为 $6 cm$ ，圆心 $O$ 到直线 $l$ 的距离为 $5 cm$ ，则直线 $l$ 与 $⊙ O$ 的公共点个数为（）

A、2个 B、1个 C、0个 D、无法判断

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4、将抛物线 $y = - 3 x^{2}$ 先向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到的抛物线的函数表达式为（）

A、 $y = - 3 {(x - 2)}^{2} - 4$ B、 $y = - 3 {(x - 2)}^{2} + 4$ C、 $y = - 3 {(x + 2)}^{2} - 4$ D、 $y = 3 {(x + 2)}^{2} + 4$

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5、下列方程是一元二次方程的是（）

A、 $2 x - 1 = 0$ B、 $2 x^{2} - x = 0$ C、 $x^{2} + y = 2$ D、 $\frac{1}{x^{2}} = 2$

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6、习近平总书记指出：“探索浩瀚宇宙，发展航天事业，建设航天强国，是我们不懈追求的航天梦．”党的十八大以来，我国航天事业不断刷新纪录，进入创新发展“快车道”、“祝融”探火、“羲和”逐日、“天和”遨游星辰，重大工程成就举世瞩目，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下列是有关中国航天事业的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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7、【教材呈现】如下是人教版八年级下册数学教材74页的部分内容．

例4 如图21.3-12，在 $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C$ 的垂直平分线与边 $A D$ ， $B C$ 分别相交于点 $E$ ， $F$ ．求证：四边形 $A F C E$ 是菱形．

分析：已知 $A C ⊥ E F$ ，由“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，只需证明四边形 $A F C E$ 是平行四边形．由题意可知 $A O = C O$ ，还需证明 $E O = F O$ ．

(1)、【问题解决】请结合图①写出例4的证明过程；

(2)、【类比探究】在数学活动课上，李老师给出如下问题：

如图②，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6, B C = 8$ ，过对角线 $A C$ 上一点，作 $A C$ 的垂线，交边 $A D 、 B C$ 于点 $E 、 F$ ，求 $E F$ 的长．

小明同学是这样思考的：

点O是AC的中点，过点O作AC的垂线，交AD、BC于点M、N（如图③），就可以证明EF=MN；结合例4积累的经验，就可以求出EF的长．

请结合小明的思路回答下列问题：

①【问题一】结合图③证明： $E F = M N$ ；

②【问题二】 $E F =$ _________；

③【拓展应用】如图④，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6, B C = 8$ ，点 $E 、 F$ 分别是线段 $A D 、 B C$ 上的动点，且 $E F$ 与 $A C$ 互相垂直，则 $A F + F E + C E$ 的最小值为________．

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8、解决问题

(1)、如图①，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 和点 $E$ 分别是 $A B$ 、 $A C$ 的中点．则 $D E$ 与 $B C$ 的关系是_______．

(2)、如图②，已知 $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 分别是四边形 $A B C D$ 各边的中点， $A C$ 与 $B D$ 是四边形 $A B C D$ 的对角线．
①求证：四边形 $E F G H$ 是平行四边形；
②若 $A C ⊥ B D, A C = 6, B D = 8$ ，则 $E G =$ _______；
③直接写出当 $A C$ 与 $B D$ 满足怎样的关系时，四边形 $E F G H$ 是正方形．

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9、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A D ∥ B C$ ， $A D = B C$ ．

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是矩形；

(2)、点E是 $A D$ 上一点，点F是 $B C$ 的中点，连接 $B E$ ， $C E$ ， $E F$ ，若 $B E = 12$ ， $C E = 5$ ， $B C = 13$ ，求 $E F$ 的长．

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10、2026年央视春晚由机器人与武术少年共同呈现的《武 $B O T$ 》节目，是我国科研能力的集中体现．如图，某餐厅的机器人小松和小江从厨房门口出发，准备给相距 $450 cm$ 的客人送餐，小松比小江先出发，且速度保持不变，小江出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小松行走的时间为 $x (s)$ ，小松和小江行走的路程分别为 $y_{1} (cm), y_{2} (cm), y_{1}, y_{2}$ 与 $x$ 之间的函数图象如图所示．根据图象回答下列问题：

(1)、机器人小松比机器人小江先出发________ $s$ ；

(2)、机器人小江提速后的速度为________ $cm / s$ ；

(3)、求 $m, n$ 的值．

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11、像 $(\sqrt{5} + 2) (\sqrt{5} - 2) = 1, \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a (a \geq 0), (\sqrt{b} + 1) (\sqrt{b} - 1) = b - 1 (b \geq 0)$ 等两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如， $\sqrt{5}$ 与 $\sqrt{5}$ ， $\sqrt{2} + 1$ 与 $\sqrt{2} - 1$ ， $2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{5}$ 与 $2 \sqrt{3} - 3 \sqrt{5}$ 等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：

(1)、化简： $\frac{2}{\sqrt{3}} =$ ________；

(2)、计算： $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ；

(3)、已知正整数 $a, b$ 满足 $\frac{a}{\sqrt{2} - 1} - \frac{b}{\sqrt{2}} = 3 - 2 \sqrt{2}$ ，直接写出 $a, b$ 的值．

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12、已知函数 $y = (2 m + 1) x + 1$ ，其中 $x$ 是自变量．

(1)、若此函数的图象平行于直线 $y = 3 x$ ，求 $m$ 的值；

(2)、若此函数 $y$ 值随 $x$ 值的增大而增大，则 $m$ 的取值范围是______；该函数不经过第_______象限．

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13、图①、图②、图③均是 $6 \times 6$ 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．线段 $A B$ 的端点在格点上．要求仅用无刻度的直尺作图，所画图形的顶点都在格点上．

(1)、在图①中以 $A B$ 为边画一个面积为 $9$ 的平行四边形 $A B C D$ ；

(2)、在图②中以 $A B$ 为边画一个正方形 $A B E F$ ；

(3)、在图③中以 $A B$ 为边画一个菱形 $A B G H$ ，且该菱形不是正方形．

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14、如图所示，有经验的渔民叉鱼时，需瞄准看到鱼的下方才能精准叉到鱼．这是因为，水中鱼的实际位置为点O，鱼反射的光 $O A$ 从水中斜射向空气时会发生折射，人眼看到的虚像位置升高到点 $O^{'}$ ，即鱼看起来比实际的浅，这是光的折射现象．已知O， $O^{'}$ ， B三点共线， $A B ⊥ O B$ ， $A B = 18 dm$ ，渔民看到虚像的视线 $O^{'} A = 30 dm$ ，水面 $A B$ 到鱼实际位置的距离 $O B = 26 dm$ ，求鱼的虚像 $O^{'}$ 和实际鱼的位置O之间的距离 $O O^{'}$ 是多少？

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15、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $C D = 6, ∠ A B C = 60^{\circ}$ ．按以下步骤作图：①以点 $B$ 为圆心，适当的长为半径画弧，分别交 $A B 、 B C$ 于点 $M 、 N$ ；②分别以点 $M 、 N$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径画弧，两弧在 $∠ A B C$ 的内部相交于点 $P$ ；③连接 $B P$ 并延长，交 $A D$ 于点 $E$ ．求 $△ A B E$ 的周长．

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16、如图，已知直线 $y = 2 x + 2$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，以点 $A$ 为圆心，以 $A B$ 的长为半径画弧，交 $x$ 轴的正半轴于点 $C$ ，则点 $C$ 的坐标为．

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17、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 90 ° ， A B = 2 ， B C = 4$ ，则正方形 $A D E C$ 的面积是；

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18、如图，“辽契丹文八角铜镜”收藏于吉林省博物院，形状可看作正八边形，它的一个外角 $α$ 的度数是．

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19、将函数 $y = 3 x - 1$ 的图象向上平移4个单位，平移后直线的函数解析式是．

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20、《中小学生午休课桌椅通用技术要求》国家标准于2026年2月1日起正式实施．《要求》中指出：午休时，椅子能展开成躺姿，靠背能放倒到 $135 °$ 以上．如图是一款可以躺睡的椅子及其简化结构示意图， $A 、 B 、 C$ 在同一条直线上，靠背 $B D$ 的长度为 $2 a, ∠ A C D = 90 °$ ．下列选项中正确的是（）

A、当 $∠ A B D = 135 °$ 时， $D C = \frac{1}{2} a$ B、当 $∠ A B D = 135 °$ 时， $D C = a$ C、当 $∠ A B D = 150 °$ 时， $B C = \sqrt{3} a$ D、当 $∠ A B D = 150 °$ 时， $B C = \frac{\sqrt{3}}{2} a$

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