相关试卷

1、如图，若 $△ A B C$ 的三边长 $A B = 3$ ， $B C = 4$ ， $A C = 5$ ，则 $tan C$ 的值为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{3}{4}$

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2、如图，“云形”盖住的点的坐标可能是（）

A、 $(2, 2)$ B、 $(- 2, 2)$ C、 $(- 2, - 2)$ D、 $(2, - 2)$

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3、若长度分别为 $3$ ， $5$ ， $a$ 的三条线段能组成一个三角形，则 $a$ 的值可能是（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $6$ D、 $9$

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4、今年广西三月三期间，南宁车站大约发送旅客 $139.04$ 万人次．数据 $1390400$ 用科学记数法表示为（）

A、 $13.904 \times 10^{5}$ B、 $1.3904 \times 10^{5}$ C、 $1.3904 \times 10^{6}$ D、 $0.13904 \times 10^{7}$

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5、下列立体图形中，主视图，左视图，俯视图都是圆的是（）

A、 B、 C、 D、

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6、下面各数是负数的是（）

A、 $- 2$ B、 $0$ C、 $1$ D、 $\frac{1}{3}$

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7、我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式 $|x - 2|$ 的几何意义是数轴上 $x$ 所对应的点与 $2$ 所对应的点之间的距离．因为 $|x + 1 |=| x - (- 1)|$ ，所以 $|x + 1|$ 的几何意义就是数轴上 $x$ 所对应的点与 $- 1$ 所对应的点之间的距离．
回答下列问题：

(1)、①数轴上表示 $x$ 和 $2$ 的两点 $A$ 和 $B$ 之间的距离是__________
②在①的情况下，如果 $A B = 3$ ，那么 $x$ 为__________；

(2)、探究问题：代数式 $|x + 1 |+| x - 2|$ 的最小值是多少？
如图，点 $A$ 、 $B$ 、 $P$ 分别表示数 $- 1$ 、 $2$ 、 $x$ ， $A B = 3$ ，
∵ $|x + 1 |+| x - 2|$ 的几何意义是线段 $P A$ 与 $P B$ 的长度之和，
∴当点 $P$ 在线段 $A B$ 上时， $P A + P B = 3$ ，当点 $P$ 在点 $A$ 的左侧或点 $B$ 的右侧时， $P A + P B > 3$ ，
∴ $|x + 1 |+| x - 2|$ 的最小值是 $3$ ．
请你根据上述自学材料，探究解决下列问题：
①直接写出式子 $|x| + |x - 1 |+| x - 2|$ 的最小值是______；
②工厂加工车间工作流水线上依次间隔 $2$ 米排着 $5$ 个工作台 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ ，一只配件箱应该放在工作台____处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是_______米．

(3)、若点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 在数轴上分别表示数 $- 1$ 、 $1$ 、 $5$ ，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 同时开始在数轴上运动，若点 $A$ 以每秒 $1$ 个单位长度的速度向左运动，同时，点 $B$ 和点 $C$ 分别以每秒 $1$ 个单位长度和 $3$ 个单位长度的速度向右运动，假设 $t$ 秒钟过后，若点 $B$ 与点 $C$ 之间的距离表示为 $B C$ ，点 $A$ 与点 $B$ 之间的距离表示为 $A B$ ．请问： $B C - A B$ 的值是否随着时间 $t$ 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．

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8、A，B两仓库分别有水泥 $60$ 吨和 $40$ 吨，C，D两工地分别需要水泥 $70$ 吨和 $30$ 吨，已知从A，B仓库运到C，D工地的运价如下表．设从A仓库运到C工地的水泥为x吨．
到C工地
到D工地
A仓库
每吨 $15$ 元
每吨 $12$ 元
B仓库
每吨 $10$ 元
每吨9元

(1)、从A仓库运到D工地的水泥为_________吨，从B仓库将水泥运到D工地的运输费用为_________元；（用含x的代数式表示）

(2)、求把全部水泥从A，B两仓库运到C，D两工地的总运输费；（用含x的代数式表示并化简）

(3)、如果从A仓库运到C工地的水泥为 $10$ 吨，总运输费为多少元？

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9、观察下列两个等式： $1 - \frac{3}{4} = 3 \times 1 \times \frac{3}{4} - 2, 2 - \frac{4}{7} = 3 \times 2 \times \frac{4}{7} - 2$ ，给出定义如下：我们称使等式 $a - b = 3 a b - 2$ 成立的一对有理数 $a, b$ 为“同心有理数对”，记为 $(a, b)$ ，如：数对 $(1, \frac{3}{4}), (2, \frac{4}{7})$ ，都是“同心有理数对”．

(1)、判断数对 $(3, 1)$ ， $(- 1, - \frac{1}{2})$ 是“同心有理数对”吗？如果是，请说明理由；

(2)、若 $(m, n)$ 是“同心有理数对”，
①则 $(- n, - m)$ _________“同心有理数对”（填“是”或“不是”）；
②求 $3 m (n - 1) + [2 m - n + 2 (n - 3)]$ 的值．

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10、先化简，再求值：

(1)、已知 $|m + n - 2 |+| m n - 3| = 0$ ，求 $3 [2 (m + n) - m n] - 2 m n$ 的值．

(2)、已知 $3 (a^{2} - 2 a b) - [3 a^{2} + 2 (a b + b) - 2 b]$ ，其中 $a = - 2$ ， $b = 3$ ．

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11、计算：

(1)、 $- 32 - (+ 69) + 32 - (- 79)$ ；

(2)、 $- 1^{2} - \frac{1}{6} \times |7 - {(- 3)}^{2}|$ ；

(3)、 $(- \frac{2}{9} + \frac{5}{6} - \frac{7}{12}) \times 36$ ；

(4)、 $- 3^{2} + \frac{2}{3} \times [2 + {(- 2)}^{3}] - 3 \div (- \frac{1}{4})$ ．

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12、已知有理数 $a \neq 1$ ，我们把 $\frac{1}{1 - a}$ 称为a的差倒数，如：2的差倒数是 $\frac{1}{1 - 2} = - 1$ ，－2的差倒数是 $\frac{1}{1 - (- 2)} = \frac{1}{3}$ ，如果 $a_{1} = - 1$ ， $a_{2}$ 是 $a_{1}$ 的差倒数， $a_{3}$ 是 $a_{2}$ 的差倒数， $a_{4}$ 是 $a_{3}$ 的差倒数，…以此类推，则 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{2023} =$ ．

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13、国外几个城市与北京的时差如表．（带正号的表示同一时刻比北京时间早的时数，带负号的表示同一时刻比北京时间晚的时数）；如果现在的北京时间是15时，那么此时的巴黎时间是．
城市
纽约
巴黎
东京
时差/时
$- 13$
$- 7$
＋1

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14、下列是正方体展开图的是（）

A、 B、 C、 D、

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15、 $△ A B C$ 中，已知 $∠ A B C = 2 ∠ C$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ．

(1)、如图1，如果 $A D = 4$ ， $D C = 5$ ，求 $B C$ 的长；

(2)、如图2，过点 $A$ 作 $A C$ 的垂线 $A P$ ，与边 $C B$ 的延长线交于点 $P$ ．
①试猜想线段 $P C$ 与边 $A B$ 的数量关系，并证明；
②在线段 $D B$ 上截取 $D Q = D A$ ，连接 $A Q$ ，当 $∠ P A Q = 2 ∠ B A Q$ 时，探究是否存在实数 $k$ ，使得 $A B = k B Q + P B$ 成立？如果存在，请求出 $k$ 的值；如果不存在，请说明理由．

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16、【停车位的数学建模】
某住宅小区为方便业主停车，拟在角落处增设一个矩形停车位 $A B C D$ ，其中 $A D = 500 cm$ ， $A B = 260 cm$ ．车位的三面围墙及墙 $D E$ 高度高于车顶，车库门前有一条平行于 $C D$ 且与 $C D$ 距离为 $270 cm$ 的人行横道线．已知车辆停在该车位，驾驶座车门完全打开时，车门与车身夹角为 $70 °$ ．当驾驶座车门与车身夹角不小于 $25 °$ 时，驾驶员能顺畅从驾驶座下车．
图2是汽车外形的部分数据：①车身长度 $460 cm$ ；②驾驶座车门长度 $100 cm$ ；③车头宽度 $160 cm$ ；④两个车外后视镜完全打开时车身宽度为 $215 cm$ ；⑤车身宽度 $185 cm$ （不含两个后视镜）；⑥车外后视镜纵向长度 $20 cm$ ．
假设：车身始终与墙 $B C$ 保持平行，车外后视镜完全打开时，后视镜与墙之间有 $10 cm$ 的安全距离．
参考数据： $\sin 25 ° \approx 0.42$ ， $\cos 25 ° \approx 0.91$ ， $\tan 25 ° \approx 0.47$ ； $\sin 53 ° \approx 0.80$ ， $\cos 53 ° \approx 0.60$ ， $\tan 53 ° \approx 1.33$ ； $\sin 70 ° \approx 0.94$ ， $\cos 70 ° \approx 0.34$ ， $\tan 70 ° \approx 2.75$ ．

结合上述条件，回答下列问题：

(1)、【实际应用】如图1，当汽车倒入矩形停车位 $A B C D$ 时，驾驶员能否顺畅从驾驶座下车？请说明理由；

(2)、【实践探究】如图3，当汽车车身的一部分停放在直角梯形区域 $C D E G$ 内，驾驶员将驾驶座车门完全打开时，汽车是否占用人行横道？请说明理由．

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17、如图，在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，点 $A$ 在 $x$ 轴的正半轴上， $O A = 2$ ，点 $B$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象上， $△ O B A$ 为等边三角形，延长 $B O$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象在第三象限交于点 $C$ ．连接 $C A$ 并延长与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象在第一象限交于点 $D$ ．

(1)、求反比例函数的表达式；

(2)、求点 $D$ 的坐标及 $△ O A D$ 的面积．

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18、英歌舞是潮汕特色民俗，融武术、舞蹈、戏剧于一体，文化底蕴深厚、艺术魅力独特．当地精选甲、乙、丙三名青年重点培养，助力非遗活态传承．现组织专项测试，综合考评三人理论与实操能力，精准掌握优缺点，为定制培养、推动青年创新传承英歌舞提供依据．
在英歌舞理论知识测试中，甲、乙、丙三名青年的得分（满分为 $100$ 分）分别为 $90$ 分， $93$ 分， $88$ 分．技艺实践能力由 $10$ 位评委根据其表演呈现效果进行评分（每位评委打分 $\leq 10$ 分且为整数），各位评委打分之和作为该培养对象技艺实践能力成绩．甲、乙两人技艺实践能力得分的条形图，丙技艺实践能力得分的扇形图如下：
甲、乙、丙三名青年的技艺实践能力情况统计表
培养对象
评委打分的中位数
评委打分的众数
技艺实践能力成绩
方差
甲
$8$
$8$
$80$
$c$
乙
$8$
$b$
$81$
$1.29$
丙
$a$
$8$
$82$
$1.36$

(1)、填空： $a =$ ， $b =$ ；

(2)、请根据方差数据，分析哪位培养对象的技艺实践能力表现更稳定，评委对其评价的一致性程度更高？并说明理由．

(3)、为全面考量三名培养对象的综合素质，组委会决定按照英歌舞理论知识测试成绩占 $35 %$ ，技艺实践能力成绩占 $65 %$ 的比例计算综合成绩．请分别计算甲、乙、丙三名培养对象的综合成绩，并判断谁的综合成绩最高，以此作为后续重点培养对象？

(4)、如果你是组委会成员，为了使得选拔的英歌舞传承人培养对象的综合素质更全面，请你再增加一个评分维度，并基于这三个评分维度重新分配评分权重．

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19、问题：如何仅用直尺和圆规，过圆上一点作已知圆的切线？
【拓展作法】小明提出一种想法：如图，设点 $P$ 为 $⊙$ 上一点，先作射线 $P O$ 交 $⊙$ 于点 $Q$ ，再以 $⊙$ 上一点 $A$ 为圆心（点 $A$ 不与点 $P$ 、 $Q$ 重合），以 $A P$ 长为半径画圆弧，交射线 $P Q$ 于点 $B$ ，交射线 $B A$ 于点 $C$ ，连接 $P C$ ．

(1)、【推理证明】小明认为此时 $P C$ 是 $⊙$ 的切线．请你帮小明写出证明过程；

(2)、【数值计算】若 $\sin ∠ B C P = \frac{4}{5}$ ， $A P = 12$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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20、近年来，露营成为广受人们欢迎的假日休闲方式，从家边绿地到旷野山林，各具特色的露营地吸引着大家前去体验，各式帐篷已成为户外活动的必要装备，其中抛物线型帐篷支架简单，携带方便，适合休闲旅行使用．如图1，这款帐篷搭建时张开的宽度 $A B = 4 m$ ，顶部高度 $h = 2 m$ ，在图1中以 $A B$ 所在直线为x轴， $A B$ 的中点为原点，建立平面直角坐标系．

(1)、求帐篷支架对应的抛物线的函数表达式；

(2)、每款帐篷张开时的宽度和顶部高度都会影响其容纳椅子的数量，图2为一张椅子摆人这款帐篷后的简易视图，椅子高度 $C E = 0.72 m$ ，宽度 $C D = 0.5 m$ ，若在帐篷内沿 $A B$ 所在的水平方向摆放一排这种椅子（椅子间的间隔忽略不计），求最多可摆放的椅子数量．

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