相关试卷

1、综合与实践
【问题情境】“臻美数学客栈”社团课上，小班以改编教材课后习题的方式提出一个问题：如图1，在正方形 $A B C D$ 中，点E是 $B C$ 边上的任意一点， $A E ⊥ E P$ ， $E P$ 与正方形的外角 $∠ D C G$ 的平分线交于点P，说明 $A E = E P$ ．
【思考尝试】（1）①张金发现：在边 $A B$ 上截取 $A F = E C$ ，连接 $E F$ （如图2）便可以通过证明 $△ A E F ≌ △ E P C$ 解决这个问题．其中，说明 $∠ A F E = ∠ E C P$ 时，需先求得二者度数均为________；
②刘鼎有不一样的思路：延长 $A B$ 至点 $F$ ，使 $B F = B E$ ，连接 $C F$ ， $E F$ （如图3），通过证明四边形 $C F E P$ 是平行四边形后，巧妙地将证明 $A E = E P$ 的问题转化为证明 $A E = C F$ ．请写出刘鼎的证明过程．
【实践探究】（2）课后，张金受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图4，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $B C$ 边上一动点（点 $E$ ， $B$ 不重合）， $△ A E P$ 是等腰直角三角形， $∠ A E P = 90 °$ ，连接 $C P$ ， $∠ D C P$ 的大小是否改变？若不变，其度数为多少？请你思考并写出解答过程．
【拓展迁移】（3）刘鼎深入研究张金提出的这个问题后，在此基础上提出新的探究点：如图4，连接 $D P$ ．当正方形的边长确定时，可以确定 $A P + D P$ 的最小值．若记 $A B = a$ ，请你用含 $a$ 的代数式表示 $A P + D P$ 的最小值（直接写出答案）．

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2、

项目式学习．

项目背景

某校八年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，结合本阶段学习内容，他们对“勾股树”产生了浓厚的兴趣．

素材一

毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，被称为毕达哥拉斯树．

素材二

经过小组讨论，制定了如下规则：①画出不同类型三角形形成的树形图；②所画的基础三角形周长为 $8 cm$ ，其中一条边长固定为 $2 cm$ ，根据规则，三位同学分别画出了不同类型的树形图并进行探究．

【解决问题】

（1）任务一：小明画出了锐角 $△ A B C$ ， $A B = A C$ ， $B C = 2$ ，计算 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值，并写出过程；

（2）任务二：小金画出了直角 $△ D E F$ ， $∠ D F E = 90 °$ ， $E F = 2$ ，计算 $S_{2} + S_{3}$ 的值，并写出过程；

（3）任务三：小山画出了钝角 $△ G H I$ ， $∠ G I H = 120 °$ ， $H I = 2$ ，则 $S_{2} + S_{3} =$ ______．

【项目总结】

（4）综合以上三位同学的图形以及计算结果，小组成员大胆猜想结论：周长一定的情况下，由______（填“锐角”“直角”或“钝角”）三角形形成的 $(S_{1} + S_{2} + S_{3})$ 总面积最大．

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3、综合与实践
【问题情境】在数学课上，黄老师通过分组活动让同学们利用两个全等的含 $30 °$ 角的三角板进行拼图，并探究它们之间的关系．经测量，三角板斜边的长为 $12 cm$ ．
【操作探究】

(1)、如图1，逐梦组将三角板 $A B C$ 的边 $A C$ 与三角板 $D E F$ 的边 $F D$ 重合，得到的四边形 $A B C E$ ．证明四边形 $A B C E$ 是平行四边形．

(2)、如图2，追光组将三角板 $D E F$ 沿三角板 $A B C$ 的边 $C A$ 平移一定距离时，得到四边形 $B F E C$ 是矩形，且点 $D$ 在 $A C$ 上，求三角板 $D E F$ 平移的距离 $A F$ ．

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4、小芳在解决问题：已知 $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ，求 $2 a^{2} - 8 a + 1$ 的值．她是这样分析与解的：
$a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$ ， $∴ a = 2 - \sqrt{3}$ ，
$∴ {(a - 2)}^{2} = 3$ ， $a^{2} - 4 a + 4 = 3$ ， $∴ a^{2} - 4 a = - 1$ ，
$∴ 2 a^{2} - 8 a + 1 = 2 (a^{2} - 4 a) + 1 = 2 \times (- 1) + 1 = - 1$ ．
请你根据小芳的分析过程，解决如下问题：

(1)、计算： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2026} + \sqrt{2025}}$ ．

(2)、若 $a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$ ．
①求 $5 a^{2} - 10 a + 2$ 的值；
②求 $3 a^{3} - 12 a^{2} + 9 a - 10$ 的值．

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5、如图，阴影部分是某学校八（6）班的班级菜园，经测量， $A B = A C = 13 m$ ， $B D = 6 m$ ， $C D = 8 m$ ， $B C = 10 m$ ．

(1)、求证： $△ B C D$ 是直角三角形．

(2)、八（6）班计划将班级菜园全部种植西红柿，已知购买每平方米土地上栽种的西红柿苗需要9元，求购买西红柿苗总共需要的费用．

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6、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A C, B D$ 是对角线，点 $E, F, G, H$ 分别是边 $A B, B C, C D$ ， $D A$ 的中点，依次连接 $E F, F G, G H, H E$ ．求证：四边形 $E F G H$ 是平行四边形．

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7、如图，有一棵大树被大风吹折，折断处 $A$ 与地面的距离 $A C = 3 m$ ，折断处 $A$ 与折断后树的顶端 $B$ 的距离 $A B = 5 m$ ．在大树倒下的方向上的点 $D$ 处停着一辆小轿车， $C D$ 的距离为 $6 m$ ，求 $B D$ 的距离．

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8、计算： $(3 \sqrt{12} + \sqrt{48}) \div 2 \sqrt{3}$

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9、如图，在正方形网格中， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 都是格点，则 $∠ B A C + ∠ C D E =$ ．

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10、如图，ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且 $D E = B F .$ 连接AE、AF、EF、AC，EF交AB于点 $G .$ 则下列结论： $① △ A D E$ ≌ $△ A B F$ ； $② ∠ A E F = 45^{\circ}$ ； $③$ 若 $A B = 3$ ， $D E = \frac{1}{3} D C$ ，则 $S_{△ A E F} = \frac{5}{4}$ ； $④$ 若 $A B = 2$ ， E为DC的中点，则 $\frac{E F}{A C} = \frac{\sqrt{10}}{2} .$ 其中正确结论的个数是 $($ $)$

A、1个 B、2个 C、3 个 D、4 个

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11、下列式子中，属于最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{4}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{1.3}$ D、 $\sqrt{12}$

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12、探究角度与线段比例之间的关系
如图1，在△ABC中， AB=AC=1，点D在BC边上，且CD=2BD，连接AD并延长至点E，使得AE=AB，作CF∥AE交BE延长线于点F，连接AF交BC于点 G．记cos∠ABC=x， $\frac{D G}{C G} = y ．$

(1)、【图形认识】求证： CF=3DE．

(2)、【引元关联】设DE=t，求y关于t的函数表达式．

(3)、【特例计算】如图2，当AF⊥BC时，分别求出y和x的值．

(4)、【规律研究】已知0<x<1，求y的取值范围．

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13、已知抛物线 $y = x^{2} - a x + 3$ (a为常数)经过点A (1， 0)．

(1)、求a的值．

(2)、若抛物线向左平移n(n>0)个单位后仍经过点A，求n的值．

(3)、过点 P (m， 0)作x轴的垂线，交抛物线 $y = x^{2} - a x + 3$ 于点M，交直线y=kx(k>0)于点N．当1<m<3时，MN的长度随AP的长度增大而增大，求k的取值范围．

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14、如图， $△ A B C$ 内接于⊙O， BC为直径， BD与⊙O相切于点B， BD=AC，作DE∥AB交BC于点E．

(1)、求证： $△ A B C ≅ △ B E D ．$

(2)、作OF⊥AC于点F， OG⊥DE于点 G．若 $s i n D = \frac{2}{3},$ 求 $\frac{O G}{O F}$ 的值．

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15、【动手实践】如图1，小明将一张长为12cm，宽为6cm的矩形纸片裁去图中阴影部分．通过平移，将4块空白部分既不重叠、又不留空隙地拼成一个新图形(含拼接线)．

(1)、【观察发现】如图2，拼成的新图形是图(填“甲”或“乙”)．

(2)、【探索应用】若拼成的新图形是一个中心对称图形且面积为27cm² ，求此时DH的长．

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16、小鹿和小橙进行了为期5天的跳绳集训，教练要根据两人的成绩选择一人评定为“跳绳新星”．小鹿和小橙根据自己5天的跳绳成绩绘制如下折线统计图．

(1)、小橙对比两个统计图后说：“我的成绩上升更显著，进步更明显．”小橙的说法合理吗?(填“合理”或“不合理”)

(2)、根据这5次跳绳成绩，将数据整理如下表：
最高成绩(个)
平均成绩(个)
第5日相对于第1日成绩的增长率
小鹿
161
139.6
40%
小橙
A
138.4
b
②求a和b的值．
③教练按以下方式进行评定：最高成绩高者得1分，平均成绩高者得1分，第5日相对于第1日成绩的增长率高者得2分，最终将得分高者评为“跳绳新星”．请你通过计算，说明谁会获得“跳绳新星”．

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17、如图1是一个底面为直角三角形的直三棱柱包装盒，∠BAC=90°，其表面展开图如图2所示．

(1)、根据表面展开图填写实物尺寸：侧棱BE=cm，底面斜边 BC=cm．

(2)、求直三棱柱的全面积．

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18、解方程组： ${\begin{matrix} x - 2 y = 4, \\ 3 x + 4 y = 7 \end{matrix}$

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19、先化简，再求值： (a+2)(a-2)+a(1-a)，其中 $a = \frac{1}{2} ．$

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20、如图，在▱ABCD中， AB=4， BC=8，点E在边BC上，连接AE，以AE为直角边构造等腰Rt△AEF，斜边AF恰好经过BD中点O，若∠BAF=90°，则OF的长为．

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	最高成绩(个)	平均成绩(个)	第5日相对于第1日成绩的增长率
小鹿	161	139.6	40%
小橙	A	138.4	b