相关试卷

1、（1）计算： $\frac{1}{a + 1} + \frac{a}{a + 1}$
（2）因式分解： $x^{3} - x$

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2、若 $x^{2} + k x + 1$ 是完全平方式，则 $k$ 的值为．

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3、 ${(2025 - π)}^{0} =$ ．

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4、我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了 ${(a + b)}^{n} (n = 1, 2, 3, 4, \dots)$ 的展开式的系数规律（按 $a$ 的次数由大到小的顺序）：
$1$       $1$                      ${(a + b)}^{1} = a + b$
$1$       $2$       $1$                   ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$
$1$       $3$       $3$         $1$              ${(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$
$1$       $4$       $6$         $4$         $1$         ${(a + b)}^{4} = a^{4} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + b^{4}$
……                                      ……
请根据上述规律，则 ${(x + 1)}^{2025}$ 展开式中含 $x^{2024}$ 项的系数是（       ）

A、 $2026$ B、 $2025$ C、 $2024$ D、 $2023$

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5、如图，一块含有 $60 °$ 角的直角三角板放置在两条平行线上，若 $∠ α = 22 °$ ，则 $∠ β$ 为（　　）

A、 $108 °$ B、 $98 °$ C、 $102 °$ D、 $82 °$

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6、将分式方程 $\frac{1}{x} = \frac{2}{x - 2}$ 去分母后得到的整式方程，正确的是（）

A、 $x - 2 x = 2 x$ B、 $x - 2 = 2 x$ C、 $x^{2} - 2 x = 2 x$ D、 $x = 2 x - 4$

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7、已知 $△ A B C$ 是等腰三角形，若 $∠ A = 100 °$ ，则 $△ A B C$ 的底角是（）

A、 $40 °$ B、 $80 °$ C、 $100 °$ D、 $100 °$ 或 $40 °$

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8、下列运算正确的是（）

A、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$ B、 $a^{3} \cdot a^{4} = a^{12}$ C、 ${(a^{3})}^{4} = a^{12}$ D、 ${(a b)}^{2} = a b^{2}$

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9、如图所示，在 $△ A B C$ 中， $A C ⊥ B C, A D$ 为 $∠ B A C$ 的平分线， $D E ⊥ A B, C D = 3 cm$ ，则 $D E$ 等于（）

A、 $1cm$ B、 $2cm$ C、 $3cm$ D、 $4cm$

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10、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $P (3, - 4)$ 关于 $y$ 轴的对称点的坐标是（）

A、 $(3, - 4)$ B、 $(- 3, - 4)$ C、 $(- 4, 3)$ D、 $(- 3, 4)$

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11、下列三条线段的长度能组成三角形的是（）

A、3，3，6 B、4，5，8 C、5，6，11 D、6，8，15

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12、若分式 $\frac{x}{x + 2}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x \neq - 2$ B、 $x = 1$ C、 $x \neq 1$ D、 $x = - 2$

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13、下列图形中，是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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14、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A (- a - 3, - 2 + a)$ ， $B (- a, - 2 + a)$ ， $C (- a, - 2)$ ， $D (- a - 3, - 2) (a \neq 0)$ ．
对于点 $P$ 给出如下定义：将点 $P$ 向上（ $a > 0$ ）或向下（ $a < 0$ ）平移 $|a|$ 个单位长度，得到点 $P_{1}$ ，点 $P_{1}$ 关于直线 $l$ （直线 $l$ 上的各点的横坐标都为 $a$ ）的对称点为 $Q$ ，则称点 $Q$ 为点 $P$ 的“平称点”．

(1)、当 $a = 1$ 时，
①点 $B$ 的“平称点”的坐标为________；
②若点 $M (m, n)$ 的“平称点”在线段 $C D$ 上，直接写出 $m$ 的取值范围以及 $n$ 的值；

(2)、点 $E (a - 1, 0)$ ，点 $F (0, a - 1)$ ，若线段 $E F$ 上的所有点的“平称点”组成的图形与长方形 $A B C D$ 有两个交点，直接写出 $a$ 的取值范围．

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15、在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $0 ° < ∠ B A C < 60 °$ ． D是一个动点，且 $A D ⊥ B D$ ，过点A在 $Rt △ A B D$ 的外侧作直线 $A E$ ，使 $∠ D A E = \frac{1}{2} ∠ B A C$ ，点D关于直线 $A E$ 的对称点为F．

(1)、如图1，当点D在 $△ A B C$ 的 $A C$ 边上时，连接 $A F, F C$ ，直接写出 $∠ A F C$ 的度数；

(2)、如图2，当点D在 $△ A B C$ 的外部，且在 $∠ A B C$ 的内部时，连接 $A F, F C$ ，射线 $F D$ 交 $B C$ 于点M．
①依据题意，补全图2；
②用等式表示 $B M$ 与 $B C$ 的数量关系并证明．

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16、下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线 $P Q$ ，使得 $P Q ∥ l$ ．
作法：如图，
①过点P作直线m与直线l交于点A，在l上取一点B，使得点B在点A的右侧；
②以点A为圆心，适当长为半径作弧，交射线 $A P$ 于点C，交射线 $A B$ 于点D，分别以点C，D为圆心，大于 $\frac{1}{2} C D$ 的长为半径作弧，两弧在 $∠ P A B$ 的内部相交于点E，作射线 $A E$ ；
③以点P为圆心， $P A$ 为半径作弧，交射线 $A E$ 于点Q（不与点A重合），作直线 $P Q$ ．所以直线 $P Q$ 就是所求作的直线．
根据小明设计的尺规作图过程，

(1)、使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明．
证明：连接 $C E, D E$ ．
在 $△ C A E$ 和 $△ D A E$ 中，
$\{\begin{matrix} A C = A D \\ A E = A E \\ ____=____ \end{matrix}$
$∴ △ C A E ≌ △ D A E (SSS)$ ．
$∴ ∠ C A E = ∠ D A E$ ．
$∵ P A = P Q$ ，
$∴ ∠ C A E =$ ________（________）（填推理的依据）．
$∴ ∠ D A E =$ ________．
$∴ P Q ∥ l$ ．

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17、如图所示的网格是正方形网格，A，B，C是网格线交点．

(1)、建立平面直角坐标系 $x O y$ ，使点A，B的坐标分别为 $(- 2, 0)$ ， $(2, 0)$ ；

(2)、在（1）建立的平面直角坐标系 $x O y$ 中，
①点 $C_{1}$ 与点C关于y轴对称，写出点 $C_{1}$ 的坐标；
②若A，B，C，D四点构成一个轴对称图形，直接写出满足条件的点D的个数．

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18、2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，我国于9月3日在天安门广场阅兵，56门礼炮，80响轰鸣，寓意着56个民族共同抗击日本侵略者进行了艰苦卓绝的斗争．下图①是礼炮图片，图②是礼炮抽象示意图，已知 $E F$ 是水平线， $A B = 2.4 m$ ， $E D = 2.1 m$ ， $A B$ ， $D E$ 的仰角分别是 $30 °$ 和 $10 °$ ， $B C = 0.7 m$ ， $C D = 0.812 m$ ，且 $C D ⊥ E F$ ．
（以上结果精确到 $0.1 m$ ．参考数据： $\sin 10 ° \approx 0.17$ ， $\cos 10 ° \approx 0.98$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ．）

(1)、求点A的铅直高度；

(2)、求A，E两点的水平距离．

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19、在科技嘉年华上，一台宇树机器人为观众表演舞蹈．研究人员发现，机器人跳舞时其膝盖处的关节运动轨迹近似一条抛物线．假设机器人单腿抬起时，其膝盖相对于脚踝的竖直高度h（单位：厘米）与时间t（单位：秒）满足二次函数关系．研究人员测得三个时刻的高度：在 $t = 0$ 秒时膝盖高度为0厘米（脚踝处），在 $t = 1$ 秒时高度为32厘米，在 $t = 2$ 秒时高度为0厘米．

(1)、求高度h与时间t之间的函数关系式；

(2)、求膝盖能达到的最大高度及对应的时间；

(3)、若研究人员设定机器人需要在高度等于24厘米时触发一次“庆祝成功”的闪光，问在膝盖上升和下降过程中，分别在哪两个时刻触发闪光？这两个时刻的时间间隔是多少？

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20、已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为 $(3, 1)$ ， $(2, - 1)$ ．

(1)、画出 $△ O A B$ 绕点O顺时针旋转 $90 °$ 后得到的 $△ O A_{1} B_{1}$ ，并写出 $A_{1}$ 的坐标为______；

(2)、在y轴的左侧以O为位似中心作 $△ O A B$ 的位似图形 $△ O A_{2} B_{2}$ ，使新图与原图相似比为 $2 : 1$ ；

(3)、若点 $D (a, b)$ 在线段OA上，直接写出变化后点D的对应点 $D_{2}$ 的坐标为______．

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