相关试卷

1、
问题背景：
《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑，在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，其中把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，借助几何给人以强烈印象，将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中，
（1）请根据图①写出一个等式：__________；
（2）如图②，点 $C$ 在线段 $B P$ 上，分别以 $B C$ 、 $C P$ 为边作正方形 $A B C D$ 和正方形 $C P E F$ ，连接 $B D$ 、 $B E$ ．若 $B C + C P = 10$ ， $B C \cdot C P = 20$ ，请求出阴影部分的面积；
拓展应用：
（3）如图③，在等腰直角三角形 $A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $D$ 为 $B C$ 的中点，点 $E$ 为边 $A C$ 上任意一点（不与端点重合），过点 $E$ 作长方形 $E H D G$ 分别交 $A D$ 于点 $H$ ，交 $B C$ 于点 $G$ ，过点 $B$ 作 $B F ∥ A C$ 交 $E G$ 的延长线于点 $F$ ，记 $△ B F G$ 与 $△ C E G$ 的面积之和为 $S_{1}$ ， $△ A B D$ 与 $△ A E H$ 的面积之和为 $S_{2}$ ，请问 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值是否为定值？若为定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由．

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2、如图，点C在线段 $A D$ 上， $A C$ 平分 $∠ B A E$ ， $∠ B = ∠ D$ ， $B C = D E$ ．

(1)、求证： $△ A B C ≌ △ A D E$ ．

(2)、若 $∠ B A E = 120 °$ ， $A B = 5$ ， $C E = 2$ ，求 $C D$ 的长

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3、综合与实践：某数学小组选择价格相近的两款国产汽车进行使用费用的对比，其中一款是燃油车，另一款是新能源车．

素材1	燃油车油箱容积： $50 L$ ，油价：8元/L，续航里程（加满一箱油可持续行驶的里程）： $a km$ ，每千米行驶费用： $\frac{50 \times 8}{a}$ 元；新能源车电池电量： $100 kW \cdot h$ ，综合电价：1元/（ $kW \cdot h$ ），续航里程： $a km$ ，每千米行驶费用：_________元．
素材2	燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.6元．
素材3	燃油车和新能源车每年的其他费用分别为3200元和5960元．
问题解决
任务1	用含 $a$ 的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
任务2	分别求出这两款车的每千米行驶费用．
任务3	每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用 $=$ 年行驶费用 $+$ 年其他费用）

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4、（1）化简： $\frac{x - 2}{x} \div \frac{x^{2} - 4 x + 4}{x^{2} - 4} - \frac{x + 4}{x}$ ；
（2）解分式方程： $\frac{x}{x + 1} = \frac{2 x}{3 x + 3} + 1$

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5、计算：

(1)、 $(12 a^{3} - 6 a^{2} + 2 a) \div (2 a)$ ；

(2)、 $(2 \sqrt{3} - \sqrt{6}) (2 \sqrt{3} + \sqrt{6})$

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6、如图，已知 $△ A B C$ ．

(1)、尺规作图：作 $B C$ 边的垂直平分线 $D E$ ，交 $B C$ 于点 $D$ ，交 $A B$ 于点 $E$ （只保留作图痕迹，不要求写作法）；

(2)、连接 $C E$ ，若 $△ A B C$ 的周长为 $24 cm$ ， $B D = 5 cm$ ，则 $△ A E C$ 的周长为_______ $cm$ ．

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7、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = 35 °$ ， $∠ B = ∠ D = 90 °$ ， $M, N$ 分别是 $A B$ ， $A D$ 上的动点，当 $△ C M N$ 的周长最小时，则 $∠ M C N$ 的度数为．

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8、小威在信息课上设计了一幅长方形图片，已知长方形的长是 $\sqrt{80} cm$ ，宽是 $\sqrt{20} cm$ ，后面他又设计了一个面积与其相等的正方形，则该正方形的边长为 $cm$ ．

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9、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，以顶点 $A$ 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 $A B$ ， $A C$ 于点 $E$ ， $F$ ，再分别以点 $E$ ， $F$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} E F$ 的长为半径画弧，两弧在 $∠ B A C$ 内部交于点 $P$ ，作射线 $A P$ 交 $B C$ 于点 $D$ ．若 $C D = 2$ ， $S_{△ A B D} = 7$ ，则 $A B$ 的长为．

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10、若 $a + b = 1$ ，则 $3 a^{2} + 6 a b + 3 b^{2} =$ ．

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11、计算： $2^{- 1} - {(π - 3)}^{0} =$ ．

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12、如图，在长方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是边 $A B$ 的中点，点 $F$ 在边 $B C$ 上， $S_{△ B E F} = 2$ ， $S_{△ F E D} = 8$ ，则 $\frac{B F}{A D}$ 的值为（）．

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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13、小强是一位密码翻译爱好者，他在密码手册里记录了这样一条信息： $a + b, x - y, x + y, a - b, x^{2} - y^{2}, a^{2} - b^{2}$ ，分别对应“惠”，“爱”，“我”，“州”，“相”，“信”六个字，现将 $(x^{2} - y^{2}) a^{2} - (x^{2} - y^{2}) b^{2}$ 因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）

A、相信我爱 B、我爱惠州 C、相爱惠州 D、相信惠州

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14、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 65 °$ ， $∠ B A C = 70^{\circ}$ ， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ， $B E ⊥ A C$ 于点 $E$ ， $A D$ 与 $B E$ 交于点 $F$ ，则 $∠ C F D$ 的度数是（）

A、 $25 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $75 °$

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15、如图， $△ A B C$ 是等边三角形， $B D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线，过点 $D$ 作 $D E ⊥ B C$ 于点 $E$ ；若 $C E = 2$ ，则 $B C$ 的长为（）

A、4 B、6 C、8 D、10

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16、下列式子中，属于最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{12}$ D、 $\sqrt{25}$

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17、下列计算正确的是（）

A、 $x^{2} \cdot x^{3} = x^{6}$ B、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2}$ C、 $m^{8} \div m^{2} = m^{4}$ D、 ${(x y^{2})}^{2} = x^{2} y^{4}$

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18、老师让同学们分别将一根 $14 cm$ 长的铁丝剪开，剪成的三段首尾顺次相接后能围成三角形．下列四位同学的剪法中符合要求的是（）

A、 $9 cm$ ， $2 cm$ ， $3 cm$ B、 $3.5 cm$ ， $3.5 cm$ ， $7 cm$ C、 $5 cm$ ， $5 cm$ ， $4 cm$ D、 $3 cm$ ， $8 cm$ ， $3 cm$

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19、数学课堂上，李老师和同学们玩了一个“数字侦探”的魔术，随机请一位同学按以下步骤操作：
第一步：在纸上悄悄写下一个三位数（要求：百位上数字和十位上数字相差大于1），作为“原始数”；
第二步：将“原始数”的百位数字与十位数字交换位置，得到一个与原始数不同的三位数，记为“新数”；第三步：将“原始数”和“新数”中较大的数减去较小的数，得到一个“差数”：
第四步：从“差数”中任意圈出一个非0数字，将剩下的数字告诉李老师；
李老师听完剩下的数字后，立刻就准确说出该同学圈出的数字！

(1)、若同学写下的“原始数”为427，则“新数”为__________；“差数”为__________；

(2)、为了揭示其中奥秘，小明记“原始数”的百位上数字为a、十位上数字为b、个位上数字为c，不妨令 $a - b > 1$ ，经过推理，发现以下两个规律：
①“差数”的值能被9整除，请证明这个规律；
②“差数”的个位上的数字为0，百位上的数字与十位上的数字之和为定值，请求出这个定值．

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20、某校七年级举办足球联赛，共有7支队伍参赛．比赛采用单循环赛制（每两个队之间只赛一场），胜、平、负分别获得不同的整数积分，记录员统计了联赛进行中的部分队伍的比赛信息（见下表），其中G队参加的比赛均未统计：
队伍
胜场数
平场数
负场数
总积分
A队
3
1
1
15
B队
2
3
0
14
C队
2
0
3
11
D队
1
1
3
E队
2
3
0
14
F队
0
2
3
7

(1)、胜一场得__________分，平一场得__________分，负一场得__________分，表格中D队的总积分是__________分；

(2)、若G队进行完所有6场比赛（其中负场数比胜场数少2场），则G队总分至少是多少分才有可能取得总分第一名（不存在并列情况），并求出此时的胜场数；

(3)、联赛结束后，7支队伍的总积分之和为97分，请问此次联赛共有多少场平场．

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队伍	胜场数	平场数	负场数	总积分
A队	3	1	1	15
B队	2	3	0	14
C队	2	0	3	11
D队	1	1	3
E队	2	3	0	14
F队	0	2	3	7