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1、定义：规定 $i$ 的平方等于 $- 1$ ，即 $i^{2} = - 1$ ，则i叫做虚数单位，形如 $a + b i$ （a ， b为实数）的数叫做复数， a叫这个复数的实部， b叫做这个复数的虚部．如：复数 $1 - 2 i$ 的实部是1，虚部是 $- 2$ ．

(1)、复数的加减法和乘法运算，与整式的运算类似．
如：① $(2 + i) + (3 - 4 i) = (2 + 3) + (1 - 4) i = 5 - 3 i$ ；② $(3 + i) i = 3 i + i^{2} = 3 i - 1$ ；
填空：① $(1 - 2 i) + (2 + i) =$ ；② $(2 + i) (3 - i) =$ ；

(2)、若两个复数的实部相等，且虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数．如： $1 + 2 i$ 的共轭复数为 $1 - 2 i$ ．若 $a + b i$ 是 $(2 + i) (3 - i)$ 的共轭复数，则 $a =$ ， $b =$ ， ${(b - a)}^{2} =$ ；

(3)、已知 $(m + i) (n + i) = 2 - 3 i$ ，其中 $m, n$ 为实数，求 $m^{2} + n^{2}$ 的值．

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2、先化简，再求值： ${(3 x + y)}^{2} + y (x - 3 y) - (3 x - y) (3 x + y)$ ，其中 $x = - 2$ ， $y = 3$ ．

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3、在把 $x$ ， $y$ 的值代入 $(x + y) (x - 3 y) - m y (n x - y)$ （ $m$ ， $n$ 均为常数）计算时，小明把 $y$ 的值看错了，其结果等于9；小红把正确的 $x$ ， $y$ 的值代入计算，结果恰好也是9．为了找出原因，小红又把 $y$ 的值换成了2025，结果竟然还是9．根据以上信息可知， $m + n =$ ．

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4、若 $a - b = 3$ ， $a b = 2$ ，则 $a^{3} b - 2 a^{2} b^{2} + a b^{3}$ 的值为．

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5、若 $b$ 为整数，且 $x + 1$ 是 $x^{2} + b x + 3$ 的一个因式，则 $b$ 的值为．

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6、因式分解 $(p - 5) (p + 1) + 9 =$ ．

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7、若 $3^{a} = 4$ ， $4^{b} = 5$ ， $5^{c} = 9$ ，则 $a b c$ 的值是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8、如图，将两张边长分别为6和5的正方形纸片分别按图①和图②两种方式放置在长方形内（图①和图②中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若长方形中边 $A B$ 、 $A D$ 的长度分别为m、n ．设图①中阴影部分面积为 $S_{1}$ ，图②中阴影部分面积为 $S_{2}$ ，当 $n - m = 3$ 时， $S_{1} - S_{2}$ 的值为（）

A、6 B、15 C、18 D、30

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9、用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为a、b ， $a > b$ ）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为81，中间空缺的小正方形的面积为9，那么下列关系式中不正确的是（）

A、 $a + b = 9$ B、 $a - b = 3$ C、 $a^{2} + b^{2} = 45$ D、 $a b = 36$

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10、下列各式可以利用平方差公式计算的是（）

A、 $(4 p + q) (4 q - p)$ B、 $(m + 1) (- m - 1)$ C、 $(- a + b) (a - b)$ D、 $(x + 2 y) (- x + 2 y)$

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11、人类使用密码的历史悠久，有一种利用“因式分解”法生成的密码方便记忆：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码进行排列就可以形成密码．小安按这种方式将多项式 $x^{3} - 4 x$ 因式分解后，取自己的年龄14作为x的值，设置了一个密码，他设置的密码可能是（）

A、101214 B、101410 C、141212 D、121416

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12、下列选项中，因式分解正确的是（）

A、 $a^{2} - 4 a b + 4 b^{2} = {(a + 2 b)}^{2}$ B、 $a^{2} - a = {(a - 2)}^{2}$ C、 $a^{2} + 2 a + 1 = {(a + 1)}^{2}$ D、 $- 2 a^{2} + 6 a = - 2 (a^{2} + 3 a)$

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13、近年来，我国基础研究和原始创新不断加强，一些关键核心技术实现突破．比如，我国科研团队在小尺寸晶体管研究方面取得重大突破，制备出亚1nm（纳米）栅极长度的晶体管，其物理栅长为 $0.00000000034 m$ ．数据 $0.00000000034$ 用科学记数法表示为（）

A、 $0.34 \times 1 0^{- 8}$ B、 $34 \times 1 0^{- 9}$ C、 $3.4 \times 1 0^{- 9}$ D、 $3.4 \times 1 0^{- 10}$

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14、下列计算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ B、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ C、 $(a b)^{2} = a^{2} b^{2}$ D、 $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$

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15、设 $\bar{x} 是 x_{1} ， x_{2} ，．．． x_{n}$ 的平均数，即 $\bar{x} = \frac{x_{1} + x_{2} + ．．． x_{n}}{n}$ ，则方差 $s^{2} = \frac{1}{n} [(x_{1} - \bar{x})^{2} + (x_{2} - \bar{x})^{2} + ．．． + (x_{n} - \bar{x})^{2}]$ ，它反映了这组数的波动性．

(1)、求证：对任意实数 $a ， x_{1} - a ， x_{2} - a ， \dots ， x_{n} - a 与 x_{1} ， x_{2} ， \dots ， x_{n}$ 的方差相同；

(2)、求证： $s^{2} = \frac{1}{n} [{x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} + ．．． + {x_{n}}^{2}] - {\bar{x}}^{2}$ ；

(3)、以下是我校初三（1）班 10 位同学的身高（单位：厘米）：169，172，163，173，175，168，170，167，170，171，计算这组数的方差．

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16、为了从甲、乙两名选手中选拔一个参加射击比赛，现对他们进行一次测验，两个人在相同条件下各射靶10次，为了比较两人的成绩，制作了如图所示的统计图表：
甲、乙射击成绩统计表

平均数
中位数
方差
命中10环的次数
甲
7
0
乙
1

(1)、请补全图表（请直接在表中填空和补全折线图）；

(2)、如果规定成绩较稳定者胜出，你认为谁应胜出?说明你的理由；

(3)、如果希望（2）中的另一名选手胜出，根据图表中的信息，应该制定怎样的评判规则?为什么?

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17、为了从甲、乙两位同学中选拔一人参加知识竞赛，某班级举行了6次选拔赛，根据两位同学6次选拔赛的成绩，分别绘制了如图所示的统计图：

(1)、填写下列表格中的数据：

平均数/分
中位数/分
众数/分
方差
甲
90
b
93
$\frac{86}{3}$
乙
a
87.5
c
$\frac{100}{3}$
a= ， b= ， c=；

(2)、从平均数、方差的角度看，哪位同学的成绩比较稳定；

(3)、从中位数、众数、方差的角度看，选择哪位同学参加知识竞赛比较好，请说明理由．

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18、为了解八年级学生的体质健康状况，某校对八年级（10）班43名同学进行了体质检测（满分10分，最低5分），并按照性别把成绩整理成如图所示的统计图表：
八年级（10）班体质检测成绩分析表

平均数
中位数
众数
男生
7.48
7
c
女生
a
b
7
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、求八年级（10）班的女生人数；

(2)、根据统计图可知a＝， b＝， c＝；

(3)、若该校八年级一共有430人，估计得分在8分及8分以上的人数共有多少人？

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19、王大伯几年前承包了甲、乙两片荒山，各栽100棵杨梅树，成活率都是98%，现已挂果，经济效益初步显现.为了分析收成情况，他分别从两山上各随意采摘了4棵树上的杨梅，每棵产量的折线统计图如图所示.

(1)、填表：
对象
$\bar{x}$
$s^{2}$
$m_{25}$
$m_{50}$
$m_{75}$
甲山
40
38
乙山

(2)、根据甲、乙两山样本的平均数，估算出甲、乙两山杨梅的产量总和；

(3)、根据样本数据的方差与平均数，计算说明哪个山上的杨梅产量较稳定；

(4)、在图中画出箱线图，并根据箱线图分析两山杨梅产量情况.

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20、为了让青少年学生走向操场，走进自然，走到阳光下，积极参加体育锻炼．某校启动了“阳光体育”短跑运动，可以锻炼人的灵活性，增强人的爆发力，小明和小亮在课外活动中，报名参加了短跑训练小组．在近几次百米训练中，所测成绩如图所示：
请根据图中信息，解答以下问题：

(1)、请根据图中信息，补全下面的表格：
次数
1
2
3
4
5
小明
13.3
13.4
13.3
▲
13.3
小亮
13.2
▲
13.1
13.5
13.3

(2)、分别写出他们的中位数和众数；

(3)、分别计算他们的平均数和方差，你将分别给予他们怎样的建议？

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	平均数/分	中位数/分	众数/分	方差
甲	90	b	93	$\frac{86}{3}$
乙	a	87.5	c	$\frac{100}{3}$

对象	$\bar{x}$	$s^{2}$	$m_{25}$	$m_{50}$	$m_{75}$
甲山	40	38
乙山

次数	1	2	3	4	5
小明	13.3	13.4	13.3	▲	13.3
小亮	13.2	▲	13.1	13.5	13.3

	平均数	中位数	方差	命中10环的次数
甲	7			0
乙				1

	平均数	中位数	众数
男生	7.48	7	c
女生	a	b	7