相关试卷

1、如图，在等腰三角形 $A B C$ 中， $A B = A C$ ，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 与 $B C$ 交于点D， $D E ⊥ A C$ ，垂足为E， $E D$ 的延长线与 $A B$ 的延长线交于点F．

(1)、求证： $E F$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为5， $B D = 4$ ，求 $C E$ 的长．

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2、已知：圆 $O$ 和圆外一点 $P$ ，求作：过点 $P$ 的圆 $O$ 的切线．
作法：①连接 $O P$ ，分别以 $O$ ， $P$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} O P$ 长为半径作弧，两弧交于点 $C$ ，连结 $C O$ ， $C P$ ；
②作 $∠ O C P$ 的角平分线 $C D$ ，交 $O P$ 于点 $D$ ；
③以 $D$ 为圆心， $O D$ 长为半径作圆 $D$ ，交圆 $O$ 于点 $A$ ， $B$ 两点；
④作直线 $P A$ ， $P B$ ．
所以直线 $P A$ ， $P B$ 为 $⊙ O$ 的切线．

(1)、使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明．
证明：连接 $O A$ ， $O B$ ．
$∵ C O = C P$ ， $C D$ 平分 $∠ O C P$ ，
$∴ O D = P D$ （               ①               ）（填推理的依据）．
$∵ O P$ 为 $⊙ D$ 的直径， $A$ ， $B$ 在 $⊙ D$ 上，
$∴ ∠ O A P = ∠ O B P = 90 °$ （          ②               ）（填推理的依据）．
$∴$ 半径 $O A ⊥ A P$ ，半径 $O B ⊥ B P$ ．
$∴$ 直线 $P A$ ， $P B$ 为 $⊙ O$ 的切线（               ③               ）（填推理的依据）．

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3、如图，D是等边三角形 $A B C$ 内一点，将线段 $A D$ 绕点A顺时针旋转 $60 °$ ，得到线段 $A E$ ，连接 $C D$ ， $B E$ ．

(1)、补全图形

(2)、求证： $∠ A E B = ∠ A D C$ ；

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4、如图，我们规定形如 $y = |a x^{2} + b x + c| (a > 0)$ 的函数叫做“元宝型函数”．如图是“元宝型函数”函数 $y = |x^{2} - 4 x + 3|$ 的图象，根据图象，给出以下结论：①图象关于直线 $x = 2$ 对称：②关于 $x$ 的不等式 $|x^{2} - 4 x + 3| > 0$ 的解是 $x < 1$ 或 $x > 3$ ；③当 $k < 1$ 时，关于 $x$ 的方程 $|x^{2} - 4 x + 3| = k$ 有四个实数解；④当 $x < 1$ 时函数 $y = |a x^{2} + b x + c| (a > 0)$ 的 $y$ 值随 $x$ 值的增大而减小．其中正确的是（填出所有正确结论的序号）．

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5、如图， $P A ， P B$ 是 $⊙ O$ 的切线，A，B为切点， $∠ O A B = 40 °$ ，则 $∠ P =$ $°$ ．

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6、如图是某学校人行过道中的一个以 $O$ 为圆心的圆形拱门，路面 $A B$ 的宽为 $6 m$ ，圆形拱门所在圆的半径长为 $5 m$ ，拱门高 $C D$ 为 $m$ ．

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7、如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，点E为 $B C$ 延长线上一点，若 $∠ D C E = 60 °$ ，则 $∠ A$ 的度数为 $°$ ．

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8、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 30 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $B$ 顺时针旋转60°得到 $△ D B E$ ，延长 $A C$ 分别交 $B D$ ， $D E$ 于点 $F$ ， $G$ ，连接 $B G$ ．下列结论：① $∠ F G E = 120 °$ ；② $A G = 2 C G$ ；③ $D G = B G$ ；④ $A G = D E + B G$ ，其中正确的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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9、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在边 $D C$ 上，连接 $A E$ 交 $B D$ 于点 $F$ ，若 $D E : E C = 3 : 1$ ， $B D = 14$ ，则线段 $D F$ 的长度为（）

A、6 B、7 C、8 D、 $4.8$

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10、下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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11、【数学与生活】
为建设美丽校园，营造舒适宜人的学习环境，学校组织八年级（1）班和（2）班的同学开展校园绿植布置实践活动．活动中，（1）班需完成 $150 m^{2}$ 的花坛绿植布置任务，（2）班需完成 $200 m^{2}$ 的任务．已知（2）班每小时比（1）班多完成 $10 m^{2}$ ，并且（1）班完成任务的总时间是（2）班的1.5倍，设（1）班每小时能完成 $x m^{2}$ 的布置任务．
【学以致用】

(1)、八（2）班每小时能完成_________ $m^{2}$ 的花坛绿植布置任务，（1）班完成任务所需的时间是_____________小时；（2）班完成任务所需的时间是____________小时．（用含有 $x$ 的式子表示）

(2)、请列出关于 $x$ 的分式方程，并求出两个班布置花坛绿植的速度分别是多少？

(3)、为保障活动开展，学校采购单价为 10元的铲子分配给两班，分给（2）班的铲子数量是（1）班的 2倍，且采购总费用不超过280 元，求（1）班最多可以分到多少把铲子？

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12、如图，点 $B, F, C, E$ 在同一条直线上， $A B = D E ， ∠ B = ∠ E ， B F = C E$ ．

(1)、求证： $△ A B C ≌ △ D E F$ ；

(2)、若 $∠ A = 80 ° ， ∠ D F E = 55 °$ ，求 $∠ E$ 的度数．

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13、如图，已知 $∠ A = ∠ C, ∠ A B D = ∠ C D B$ ．

(1)、求证： $A D = B C$ ；

(2)、若 $O E ⊥ B D, B E = 3$ ，求 $B D$ 的长；

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14、如图所示，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 为 $B C$ 边上的高．

(1)、尺规作图：作出 $A B$ 的垂直垂直平分线 $E F$ ，交 $B C$ 于点 $E$ ， $A B$ 于点 $F ($ 不写作法，保留作图痕迹 $)$

(2)、连接 $A E$ ，若 $∠ B = 20 °$ ， $∠ A C B = 110 °$ ，求 $∠ C A E$ 的度数．

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15、（1）计算： $\frac{1}{a + 1} + \frac{a}{a + 1}$
（2）因式分解： $x^{3} - x$

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16、若 $x^{2} + k x + 1$ 是完全平方式，则 $k$ 的值为．

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17、 ${(2025 - π)}^{0} =$ ．

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18、我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了 ${(a + b)}^{n} (n = 1, 2, 3, 4, \dots)$ 的展开式的系数规律（按 $a$ 的次数由大到小的顺序）：
$1$       $1$                      ${(a + b)}^{1} = a + b$
$1$       $2$       $1$                   ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$
$1$       $3$       $3$         $1$              ${(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$
$1$       $4$       $6$         $4$         $1$         ${(a + b)}^{4} = a^{4} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + b^{4}$
……                                      ……
请根据上述规律，则 ${(x + 1)}^{2025}$ 展开式中含 $x^{2024}$ 项的系数是（       ）

A、 $2026$ B、 $2025$ C、 $2024$ D、 $2023$

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19、如图，一块含有 $60 °$ 角的直角三角板放置在两条平行线上，若 $∠ α = 22 °$ ，则 $∠ β$ 为（　　）

A、 $108 °$ B、 $98 °$ C、 $102 °$ D、 $82 °$

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20、将分式方程 $\frac{1}{x} = \frac{2}{x - 2}$ 去分母后得到的整式方程，正确的是（）

A、 $x - 2 x = 2 x$ B、 $x - 2 = 2 x$ C、 $x^{2} - 2 x = 2 x$ D、 $x = 2 x - 4$

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