相关试卷

1、【材料】请你先认真阅读材料并解决下面问题．
已知关于 $x$ 、 $y$ 的方程 $(x + y)^{2} - 2 (x + y) - 8 = 0$ ，求 $x + y$ 的值．
解：设 $t = x + y$ ，则方程变形为： $t^{2} - 2 t - 8 = 0$
$∴ (t - 4) (t + 2) = 0$
$∴ t_{1} = 4$ ， $t_{2} = - 2$ ，即 $x + y = 4$ 或 $x + y = - 2$

(1)、【引申】已知 $(m^{2} + n^{2} - 1)^{2} = 1$ ，则 $m^{2} + n^{2} =$ ．

(2)、【拓展】已知 $(x^{2} + x) (x^{2} + x - 1) = 2$ ，求 $x^{2} + x$ 的值．

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2、如图，在网格(网格的正方形边长为 $1$ )中，格点四边形 $A B C D$ 是菱形，则此四边形 $A B C D$ 的面积等于．

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3、如图，正方形 $A B C D$ 的对角线相交于点 $O$ ，点 $E$ 在 $A B$ 边上，点 $F$ 在 $O D$ 上，过点 $E$ 作 $E G ⊥ B D$ ，垂足为点 $G$ ，若 $E F ⊥ C F$ ， $O F = 3$ ，则 $B E$ 的长为（）

A、3 B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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4、阅读理解：若A、B、C为数轴上任意三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是 $(A, B)$ 的好点．例如，如图1，点A表示的数为 $- 1$ ，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是 $(A, B)$ 的好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2．那么点D就不是 $(A, B)$ 的好点，但点D是 $(B, A)$ 的好点．
知识运用：

(1)、在图1中，点A是的好点，点B是的好点；（选用A，B，C，D表示，不能添加其它字母）

(2)、如图2，M、N为数轴上两点，点M 所表示的数为 $- 2$ ，点N所表示的数为4，则数所表示的点是 $(M, N)$ 的好点；

(3)、如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为 $- 20$ ，点B所表示的数为40；现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以4个单位/秒速度向左运动，到达A点时停止运动．设运动时间为t秒，求当t为何值时，点P，A，B中恰有一点是其他两个点的好点？

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5、在一次综合实践活动课上，杨老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出 $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{2^{6}}$ 的值．
【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，…，依次类推，则图1中空白部分的面积为 $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{2^{6}}$ ．
“破浪”小组是这样思考的：设 $S = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{2^{6}}$ ，
将等式两边同时乘以 $\frac{1}{2}$ 得： $\frac{1}{2} S = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{2^{6}} + \frac{1}{2^{7}}$ ，
将上式减去下式得 $\frac{1}{2} S = \frac{1}{2} - \frac{1}{2^{7}}$    ，即 $S = 1 - \frac{1}{2^{6}} = \frac{63}{64}$ ，即 $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{2^{6}} = \frac{63}{64}$ ．
【过程思考】

(1)、图1中阴影部分的面积是             ， $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{2^{7}} =$                      ．

(2)、请你利用图2，再设计能求 $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{2^{6}}$ 的值的几何图形．（只画出图形即可）

(3)、根据以上规律，
① $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{2^{n}} =$                              ．（n为正整数）
②计算 $5 + 5^{2} + 5^{3} + ... + 5^{2025}$ 的值，并写出解答过程．

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6、为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，四川省实施居民生活用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如
居民每月用电量
单价(元/度)
月用电量 $180$ 度及以内部分
$0.5$
月用电量 $180$ 度至 $280$ 度部分
$0.6$
月用电量超过 $280$ 度部分
$0.8$
已知小明家上半年的用电情况如下表（以180度为标准，超出180度记为正、低于180度记为负）：
一月份
二月份
三月份
四月份
五月份
六月份
$- 50$
$+ 30$
$- 26$
$- 45$
$+ 36$
$+ 25$
根据上述数据，解答下列问题：

(1)、小明家用电量最多的是月份，实际用电量为度；

(2)、请求出小明家六月份应交纳的电费；

(3)、若小明家七月份用电量为 $x$ 度，求小明家七月份应交纳的电费（用含 $x$ 的代数式表示）．

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7、定义一种对正整数n的“C运算”：①当n为奇数时，结果为 $3 n + 1$ ：②当n为偶数时，结果为 $\frac{n}{2^{k}}$ （其中k是使 $\frac{n}{2^{k}}$ 为奇数的正整数）并且运算重复进行，例如， $n = 66$ 时，其“C运算”如下：
若 $n = 26$ ，则第2026次“C运算”的结果是．

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8、若 $|x - 1|$ 与 ${(y - 2)}^{2}$ 互为相反数，则 ${(- x)}^{y}$ 的值为

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9、材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如 $|3 - 1|$ 表示 $3$ 、 $1$ 在数轴上对应的两点之间的距离： $|3 + 1| = |3 - (- 1)|$ ，所以 $|3 + 1|$ 表示 $3$ 、 $- 1$ 在数轴上对应的两点之间的距离； $|3| = |3 - 0|$ ，所以 $|3|$ 表示 $3$ 在数轴上对应的点到原点的距离．综上，数轴上 $A$ 、 $B$ 两点对应的数分别为 $a$ 、 $b$ ，且 $A$ 、 $B$ 两点之间的距离可以表示为 $A B$ ，则 $A B = |a - b|$ （或 $|b - a|$ ）．

(1)、数轴上表示 $- 4$ 和 $3$ 的两点之间的距离是，若 $|x + 2| = 3$ ，则 $x =$ ；

(2)、 $|x - 1| + |x + 3|$ 的最小值是；当 $x =$ 时 $|x + 1| + |x - 2| + |x - 4|$ 的最小值是；

(3)、求 $|x - 2| + |x - 4| + |x - 6| + \dots + |x - 2000|$ 的最小值．

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10、如图是由若干个边长为1的立方块搭成的几何体从上面看到的平面图形，小正方形中的数字表示该位置立方块的个数．

(1)、请画出该几何体从正面和从左面看到的平面图形；

(2)、求该几何体的表面积．

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11、比较大小： $- \frac{6}{7}$ $- \frac{7}{8}$ （填“<”或“>”）．

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12、下列说法正确的是（）

A、符号不同的两个数互为相反数 B、所有的有理数都能用数轴上的点来表示 C、有理数分为正数和负数 D、两数相加，和一定大于任何一个加数

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13、下列各数中：1.2， $\frac{π}{3}$ ， 0， $- \frac{22}{7}$ ， 1.010010001， $- |- 3|$ ， $5 %$ ， 0.35， $- (- 5)$ ，正分数的个数为（）

A、5个 B、4个 C、3个 D、2个

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14、综合与实践
【问题情境】
数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在 $B D$ 上， $A E ⊥ E F$ ， $E F$ 交直线 $B C$ 于点 $F$ ．试猜想线段 $A E$ 与 $E F$ 的数量关系．

(1)、【建立模型】
同学们发现，过点 $E$ 分别作 $E H ⊥ A B$ ， $E I ⊥ B C$ ，垂足为 $H$ ， $I$ ，可以由 $B E$ 平分 $∠ A B C$ ，用角平分线的性质定理辅助解决这个问题．请在图1中补全图形，解答上述问题．

(2)、【模型应用】
小敏受此问题启发，并提出新的问题：如图2，延长 $F E$ 交直线 $C D$ 于点 $G$ ，请你判断线段 $A E$ 与 $E G$ 的数量关系，并说明理由．

(3)、【模型迁移】
小睿深入思考小敏提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图2，在（2）的条件下，当 $E$ 为直线 $B D$ 上一动点，猜想线段 $B E$ ， $D E$ ， $G D$ 之间的数量关系并直接写出结论．

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15、如图1，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $O (0, 0)$ ， $C (4, 0)$ ．给出如下定义：对于线段 $O C$ 及 $O C$ 外一点 $P$ ，若线段 $O C$ 上存在两点 $A$ ， $B$ ，满足 $∠ A P B = 90 °$ 且 $P A = P B$ ，则称点 $P$ 为线段 $O C$ 的“等腰直角点”．

(1)、已知点 $P (2, 1)$ 是线段 $O C$ 的“等腰直角点”，求 $P A$ 的长；

(2)、当 $P A = 2 \sqrt{2}$ 时，求线段 $O C$ 的“等腰直角点” $P$ 的坐标；

(3)、当 $P A = \sqrt{2}$ 时，直线 $y = \frac{1}{2} x + b$ 上存在线段 $O C$ 的“等腰直角点”，求 $b$ 的取值范围；

(4)、如图2，已知正方形 $E F G H$ 的四个顶点为 $E (1, 2)$ ， $F (2, 1)$ ， $G (3, 2)$ ， $H (2, 3)$ ．若正方形 $E F G H$ 的边上存在线段 $O C$ 的“等腰直角点”，求 $P A$ 长的取值范围．

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16、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $B D$ 是 $⊙ O$ 的切线， $E$ 为 $A B$ 延长线上一点，延长 $E D$ 交 $⊙ O$ 于点 $C$ ， $∠ B D E = 2 ∠ B A C$ ，连接 $O D$ ．

(1)、求证： $C E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $C D = 2$ ， $D E = 5$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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17、近年来，我国加快推动能源绿色低碳转型，持续提高新能源供给比重，推进化石能源安全可靠有序替代，着力构建新型电力系统，建设能源强国．我国清洁能源（水电、核电、风电、太阳能）发电规模实现历史性跃升，能源结构转型成效显著．某综合实践研究小组根据我国相关部门公布的规模工业发电量的数据进行整理、描述与分析，给出部分数据信息：
信息一：2016—2025年火电、清洁能源及太阳能年度发电量统计图
信息二：2024年1—12月清洁能源月度发电量的中位数是2513；2025年1—12月清洁能源月度发电量从小到大排序，前四个数据为：2228，2299，2447，2558．
信息三：2025年火电、清洁能源月度发电量统计图
请根据以上信息，解答下列问题：

(1)、2016—2025年，清洁能源年度发电量的变化趋势：．

(2)、下列结论正确的是．（填序号）
①2025年，第二季度火电和清洁能源月度发电量都持续增长；
②清洁能源月度发电量2025年有9个月超出2024年的中位数；
③太阳能年度发电量2021—2025年比2016—2020年增长快．

(3)、结合以上信息，请你谈谈对我国未来能源发展趋势的看法．

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18、位于嘉峪关市的悬壁长城，始建于明嘉靖十八年（1539年），因城墙沿陡峭山脊倒挂延伸，形成“长城倒挂，铁臂悬空”的奇观而得名．如图1，某数学兴趣小组计划测量悬壁长城最高处烽火台距离地面的高度 $A B$ ．测量方案如图2，小组成员先在水平地面点 $C$ 处测得 $∠ A E G = 20 °$ ，然后沿 $C B$ 方向往前走 $200 m$ 到达点 $D$ 处，测得 $∠ A F G = 35.9 °$ ， $C E = D F = B G = 1.5 m$ （测角仪高度），图中各点都在同一竖直平面内． $A$ ， $G$ ， $B$ 三点共线， $A B ⊥ B C$ ， $C E ⊥ B C$ ， $D F ⊥ B C$ ， $E G = C B$ ．求最高处烽火台距离地面的高度 $A B$ （结果精确到 $0.1 m$ ）．参考数据： $s i n 20 ° \approx 0.34$ ， $c o s 20 ° \approx 0.94$ ， $t a n 20 ° \approx 0.36$ ， $s i n 35.9 ° \approx 0.59$ ， $c o s 35.9 ° \approx 0.81$ ， $t a n 35.9 ° \approx 0.72$ ．

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19、问题情境：1975年，甘肃省博物馆文物工作队在甘肃省临夏回族自治州广河县齐家坪遗址发现了一面距今四千多年的青铜镜，被誉为“中华第一镜”，它将我国铜镜史提前到了齐家文化时期．圆形铜镜是我国古代铜镜最重要的样式之一，其背面通常铸有各种几何的、艺术的花纹，许多花纹的制作都涉及等分圆周的问题．如图1所示铜镜背面的花纹制作就需要八等分圆周．

(1)、问题解决：
如图2，小鑫研究发现我国东周到汉代一些出土实物上用“矩”（带直角的角尺）确定了圆心 $O$ ，她根据这个思路用带直角的尺子完成了四等分圆周．请你在图3中按以下步骤用带直角的尺子完成四等分圆周：
①作 $⊙ O$ 的任意直径 $A B$ ；
②过点 $O$ 作 $A B$ 的垂线，与 $⊙ O$ 相交于 $C$ ， $D$ 两点，则点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 将 $⊙ O$ 四等分．说明四等分圆周的依据： ▲

(2)、拓展探究：小华在（1）的基础上深入思考，根据所学知识尽量减少误差，用无刻度的直尺和圆规在刚做的图3的基础上使圆周八等分，请你帮小华完成．

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20、如图，一次函数 $y = - x + b$ 的图象是由 $y = a x$ 的图象向上平移1个单位得到，交反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $x < 0$ ）的图象于点 $B$ ，交 $y$ 轴于点 $A$ ． $E$ 为 $y$ 轴上一点， $D E$ 分别交一次函数 $y = - x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象于点 $D$ ， $F$ ．过点 $B$ 作 $B C ⊥ y$ 轴于点 $C$ ， $B C$ 为 $△ A D E$ 的中位线， $B C = 1$ ．

(1)、求反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的表达式；

(2)、求线段 $D F$ 的长．

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居民每月用电量	单价(元/度)
月用电量 $180$ 度及以内部分	$0.5$
月用电量 $180$ 度至 $280$ 度部分	$0.6$
月用电量超过 $280$ 度部分	$0.8$

一月份	二月份	三月份	四月份	五月份	六月份
$- 50$	$+ 30$	$- 26$	$- 45$	$+ 36$	$+ 25$