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相关试卷

1、现有3名同学去听同时进行的2个有关人工智能的知识讲座，每名同学可以自由选择其中的1个讲座，则不同的选法种数共有（）

A、3种 B、6种 C、8种 D、9种

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2、已知向量 $\vec{a} = (2, - 2 \sqrt{3}), |\vec{b}| = 2$ ，与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ．

(1)、求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的值；

(2)、若 $|m \vec{a} - 3 \vec{b}| = 2 \sqrt{13}$ ，求实数 $m$ 的值．

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3、 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $△ A B C$ 为钝角三角形，则 $a^{2} + b^{2} > c^{2}$ B、若 $A > B$ ，则 $sin A > sin B$ C、若 $A = 30 °$ ， $b = 4$ ， $a = 3$ ，则 $△ A B C$ 有两解 D、 $\frac{a}{cos B} = \frac{b}{cos A}$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形或直角三角形

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4、已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 是单位向量，满足 $\vec{b} ⊥ (2 \vec{a} - \vec{b})$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5π}{6}$

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5、已知有限数列 $M : a_{1}, a_{2}, \dots, a_{N}$ ，其中 $a_{i} \in [0, 1)$ ， $i = 1, 2, \dots N (N \geq 3)$ .在 $M$ 中选取若干项按照一定次序排列得到的数列称为 $M$ 的一个子列，对某一给定正整数 $t$ ，若对任意的 $g \in \{n \in N^{*} | n \leq t\}$ ，均存在 $M$ 的相应子列，使得该子列的各项之和为 $g$ ，则称 $M$ 具有性质 $G_{t}$ .

(1)、判断 $M$ ： $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{4}$ ， $\frac{3}{4}$ ， $\frac{1}{5}$ ， $\frac{4}{5}$ ， $\frac{1}{6}$ 是否具有性质 $G_{3}$ ？说明理由；

(2)、若 $N = 5$ ，是否存在 $M$ 具有性质 $G_{4}$ ？若存在，写出一个 $M$ ，若不存在，说明理由；

(3)、若 $N = 7$ ，且存在 $M$ 具有性质 $G_{t}$ ，求 $t$ 的取值范围.

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6、已知x为实数，复数 $z = x - 2 + (x + 2) i$ ．

(1)、当x为何值时，复数z的模最小？

(2)、当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z位于函数 $y = - m x + n$ 的图象上，其中 $m > 0$ ， $n > 0$ ，求 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值及取得最小值时m，n的值．

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7、（1）已知 $|\vec{a}| = 5$ ， $|\vec{b}| = 4$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ = \frac{2 π}{3}$ ，求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ．
（2）已知 $|\vec{a}| = 6$ ， $|\vec{b}| = 4$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为60°，求 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 3 \vec{b})$ ．
（3）已知 $|\vec{a}| = 5$ ， $|\vec{b}| = 4$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ，问：当 $k$ 为何值时， $(k \vec{a} - \vec{b}) ⊥ (\vec{a} + 2 \vec{b})$ .

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8、如图，A，B，C三点位于同一水平面，A位于B的北偏西30°方向，C位于B的北偏东60°方向，A在C的正西方向，且A，C之间的距离为50米，B处正上方建有一栋楼房，C处正上方建有一座塔，从A处观察塔尖E，测得仰角为45°，从楼房顶D处观察塔尖E，测得仰角为30°，则楼房的高度为米.

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9、若复数 $z = (m^{2} - 9) + (m^{2} + 2 m - 3) i$ 是纯虚数，其中 $m \in R$ ，则 $m =$ ．

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10、设点M是线段 $B C$ 的中点，点A在直线 $B C$ 外， ${\overset{⇀}{B C}}^{2} = 16$ ， $|\overset{⇀}{A B} + \overset{⇀}{A C}| = |\overset{⇀}{A B} - \overset{⇀}{A C}|$ ，则 $|\overset{⇀}{A M}| =$ （）

A、4 B、3 C、2 D、6

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11、如图所示，已知 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ， $\vec{D C} = 3 \vec{B D}$ ， $\vec{A E} = 2 \vec{E C}$ ，则 $\vec{D E} =$ （）

A、 $\frac{5}{12} \vec{b} - \frac{3}{4} \vec{a}$ B、 $\frac{5}{12} \vec{a} - \frac{3}{4} \vec{b}$ C、 $\frac{3}{4} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b}$ D、 $\frac{3}{4} \vec{b} - \frac{1}{3} \vec{a}$

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12、已知 $\tan α = 3$ ，则 $\frac{\cos α - \sin α}{\sin α + \cos α}$ 的值是（）

A、2 B、-2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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13、已知平面向量 $\vec{a} = (- 1, 2)$ ， $\vec{b} = (3, 4)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标为.

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14、若斜率为1的直线 $l$ 与曲线 $y = ln (x + a)$ 和圆 $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{2}$ 都相切，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、0 C、2 D、0或2

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15、AI的快速发展在某些方面引发了人们对自己所在行业前景的焦虑，某心理辅导机构为了了解人们对于未来行业前景的焦虑是否与性别有关，对某社区居民进行了一次抽样调查，分别抽取男性和女性各50人作为样本，得到如下数据．

焦虑
不焦虑
合计
男性

10

女性
20

合计

(1)、根据已知条件，填写上面 $2 \times 2$ 列联表，并根据小概率值为 $α = 0.001$ 的独立性检验，能否认为该社区居民对行业前景的焦虑与性别有关？

(2)、现从该样本焦虑的居民中，采用分层随机抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查，再从这6人中随机抽取3人进行心理辅导，设抽取的3人中男性的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}, n = a + b + c + d$ 为样本容量．
$α$
$0.050$
$0.010$
$0.001$
$X_{α}$
$3.841$
$6.635$
$10.828$

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16、设 $\vec{a} = (m, 10), \vec{b} = (2 m, - 6)$ ，若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $m =$ （）

A、 $- 2$ B、0 C、2 D、 $\pm 2$

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17、已知 $a \in R$ ，若 $z = a - 1 + (a + 1) i$ 为纯虚数，则 $|z + 2| =$ .

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18、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a < b < c$ 且 $tan A, tan B, tan C$ 均为整数.

(1)、求 $tan A, tan B, tan C$ 的值；

(2)、设 $A C$ 的中点为 $D$ ，求 $∠ C D B$ 的余弦值.

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19、“你好！我是DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式.为了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据：
单位：人
学历
使用情况
合计
经常使用
不经常使用
本科及以上
65
35
100
本科以下
50
50
100
合计
115
85
200

(1)、依据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？

(2)、某公司组织“AI模型”知识应用竞赛，将参与活动的员工分成了 $X$ 、 $Y$ 、 $Z$ 三组进行，其规则：竞赛发起权在哪一组，该组都可向另外两组发起竞赛，则下一次竞赛发起权移交给被挑战的那组.首先由 $X$ 组先发起竞赛， $X$ 组挑战 $Y$ 组、 $Z$ 组的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，若 $X$ 组挑战 $Y$ 组，则下次竞赛发起权在 $Y$ 组，若 $X$ 组挑战 $Z$ 组，则下次竞赛发起权在 $Z$ 组；若竞赛发起权在 $Y$ 组，则挑战 $X$ 组、 $Z$ 组的概率分别为 $\frac{3}{4}$ 和 $\frac{1}{4}$ ；若竞赛发起权在 $Z$ 组，则挑战 $X$ 组、 $Y$ 组的概率分别为 $\frac{3}{4}$ 和 $\frac{1}{4}$ .
①经过3次挑战赛后，求竞赛发起权在 $Y$ 组的次数 $M$ 的分布列与数学期望；
②定义：已知数列 $\{a_{n}\}$ ，若对于任意给定的正数 $ε$ （不论它多么小），总存在正整数 $N_{0}$ ，使得当 $n > N_{0}$ 时， $|a_{n} - A| < ε$ （ $A$ 是一个确定的实数），则称数列 $\{a_{n}\}$ 为“聚点数列”， $A$ 称为数列 $\{a_{n}\}$ 的聚点.经过 $n$ 次竞赛后，竞赛发起权在 $X$ 组的概率为 $a_{n}$ ，证明数列 $\{a_{n}\}$ 为“聚点数列”，并求出聚点 $A$ 的值.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$x_{α}$
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

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20、已知抛物线 $τ : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线 $l_{1}$ 交抛物线 $τ$ 于 $A$ 、 $B$ 两点，过点 $F$ 的直线 $l_{2}$ 交抛物线 $τ$ 于 $C$ 、 $D$ 两点，且 $l_{1} ⊥ l_{2}$ .

(1)、求证： $\frac{1}{|A B|} + \frac{1}{|C D|}$ 为定值，并求出该定值；

(2)、如图，点 $A$ 、 $C$ 在 $x$ 轴的同侧， $x_{A} > x_{C}$ ，直线 $A C$ 与直线 $B D$ 的交点为 $E$ ，记 $△ E F C$ ， $△ A C F$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的取值范围.

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学历	使用情况		合计
学历	经常使用	不经常使用	合计
本科及以上	65	35	100
本科以下	50	50	100
合计	115	85	200

$α$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$x_{α}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

	焦虑	不焦虑	合计
男性		10
女性	20
合计

$α$	$0.050$	$0.010$	$0.001$
$X_{α}$	$3.841$	$6.635$	$10.828$