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相关试卷

1、已知 $x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2}$ ，则 $x =$ .

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2、设 $s, t > 0$ ，若满足关于 $x$ 的方程 $\sqrt{|x - t|} + \sqrt{|x + t|} = 2 s$ 恰有三个不同的实数解 $x_{1} < x_{2} < x_{3} = s$ ，则下列选项中，一定正确的是（）

A、 $x_{1} + x_{2} + x_{3} > 0$ B、 $s - t = \frac{24}{25}$ C、 $\frac{t}{s} = \frac{4}{5}$ D、 $s \cdot t = \frac{64}{125}$

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3、已知定义在 $R$ 上的非常数函数 $f (x)$ 满足：对于每一个实数 $x$ ，都有 $f (x + \frac{π}{4}) = 1 + \sqrt{2 f (x) - f^{2} (x)}$ ，则 $f (x)$ 的最小正周期为( )

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $π$ D、 $\frac{3 π}{2}$

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4、已知函数 $f (x) = \sin (ω x - \frac{π}{4})$ $(ω > 0)$ 在区间 $[0, \frac{π}{4}]$ 上的最大值为 $\frac{ω}{4}$ ，则实数 $ω$ 的取值个数最多为（）个

A、1 B、2 C、3 D、4

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5、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ 且 $a + b = 1$ ，则 $\frac{16 a + 9 b}{a b}$ 的最小值是（）

A、49 B、50 C、51 D、52

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6、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $- \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，则 $f (1) + f (2) + f (3) + \dots$ $+ f (2024)$ 等于（）

A、 $\sqrt{2}$ B、0 C、 $\sqrt{2} + 2$ D、 $\sqrt{2} - 2$

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7、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} - x^{2} - a x - 5, x \leq 1 \\ \frac{a}{x}, x > 1 \end{cases}$ ，且对任意 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 2]$ B、 $(- \infty, 0)$ C、 $(- 3, - 2]$ D、 $[- 3, - 2]$

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8、我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形的三边长，求三角形的面积的问题，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [c^{2} a^{2} - {(\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ ．现有 $△ A B C$ 满足 $\sin A : \sin B : \sin C = 2 : \sqrt{7} : 3$ ，且 $S_{△ A B C} = 6 \sqrt{3}$ ，则（）

A、 $△ A B C$ 三个内角 $A 、 B 、 C$ 满足关系 $A + C = 2 B$ B、 $△ A B C$ 的周长为 $10 + 2 \sqrt{7}$ C、若 $∠ B$ 的角平分线与 $A C$ 交于D，则 $B D$ 的长为 $\frac{6 \sqrt{3}}{5}$ D、若O为 $△ A B C$ 的外心，则 $\vec{B O} \cdot (\vec{B A} + \vec{B C}) = 26$

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9、命题“ $\exists x \geq 1$ ， $x^{2} - 1 \geq 0$ ”的否定是．

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10、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x + 2, x \leq 0 \\ - x + 2, x > 0 \end{matrix}$ ，则 $f (f (- 1)) =$ .

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11、已知直线 $l_{1} : x - y + 1 = 0$ 和直线 $l_{2} : x + 2 y - 5 = 0$ ，点M，N分别是直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 上的点，点 $A (4, 3)$ ，则 $△ A M N$ 周长的最小值是（）

A、4 B、6 C、9 D、12

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12、已知函数 $f (x) = \frac{(a + 1) x - 2}{x - 1}$ ， a为常数.

(1)、若 $a = 2$ ，解关于x的不等式 $f (x) < 1$ ；

(2)、若不等式 $f (x) < x - a$ 对任意的 $x > 1$ 恒成立，求实数a的取值范围.

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13、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、若椭圆 $E$ 过点 $(2, \sqrt{2})$ ，求椭圆 $E$ 的标准方程.

(2)、若直线 $l_{1}, l_{2}$ 均过点 $P (p_{n}, 0) (0 < p_{n} < a, n \in N^{*})$ 且互相垂直，直线 $l_{1}$ 交椭圆 $E$ 于 $A, B$ 两点，直线 $l_{2}$ 交椭圆 $E$ 于 $C, D$ 两点， $M, N$ 分别为弦 $A B$ 和 $C D$ 的中点，直线 $M N$ 与 $x$ 轴交于点 $Q (t_{n}, 0)$ ，设 $p_{n} = \frac{1}{3^{n}}$ .
①求 $t_{n}$ ；
②记 $a_{n} = |P Q|$ ，求数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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14、已知函数 $f (x) = 4^{x} - m \cdot 2^{x + 1} - 8$ .

(1)、若 $m = 1$ ，求不等式 $f (x) < 0$ 的解集；

(2)、若 $\forall x \in [0, 2], f (x) \geq - 12$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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15、已知 $i$ 为虚数单位， $z_{1} 、 z_{2}$ 是实系数一元二次方程的两个虚根.

(1)、设 $z_{1} 、 z_{2}$ 满足方程 $4 z_{1} + (1 - i) z_{2} = 9 - 5 i$ ，求 $z_{1} 、 z_{2}$ ；

(2)、设 $z_{1} = 1 + 2 i$ ，复数 $z_{1} 、 z_{2}$ 所对的向量分别是 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ ，若向量 $t \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 的夹角为钝角，求实数 $t$ 的取值范围.

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16、某重点中学100位学生在市统考中的理科综合分数，以 $[160, 180)$ ， $[180, 200)$ ， $[200, 220)$ ， $[220, 240)$ ， $[240, 260)$ ， $[260, 280)$ ， $[280, 300]$ 分组的频率分布直方图如图．

(1)、求直方图中
$x$ 的值；

(2)、求理科综合分数的中位数；

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17、设定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 的值域为A，若集合A为有限集，且对任意 $x_{1}, x_{2} \in R$ ，存在 $x_{3} \in R$ ，使得 $f (x_{1}) f (x_{2}) = f (x_{3})$ ，则满足条件的集合A的个数为．

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18、数据 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{n}$ 的方差为1，则数据 $2 x_{1} + 1, 2 x_{2} + 1, \cdot \cdot \cdot, 2 x_{n} + 1$ 的方差为．

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19、已知函数 $f (x) = A \cos (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、 $ω = 3$ B、 $φ = \frac{π}{4}$ C、直线 $x = \frac{π}{12}$ 为 $f (x)$ 图象的一条对称轴 D、将 $f (x)$ 图象上的所有点向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度得到 $y = - 2 \sin 3 x$ 的图象

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20、在棱长为 1 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M ， N$ 分别为棱 $C_{1} D_{1}, C_{1} C$ 的中点，则（）

A、直线 $B N$ 与 $M B_{1}$ 是异面直线 B、直线 $M N$ 与 $A C$ 所成的角是 $\frac{π}{3}$ C、直线 $M N ⊥$ 平面 $A D N$ D、平面 $B M N$ 截正方体所得的截面面积为 $\frac{9}{8}$ .

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