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相关试卷

1、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上周期为4的奇函数，且 $f (x) = \{\begin{array}{l} x, 0 \leq x < 1 \\ - x + 2, 1 \leq x \leq 2 \end{array}$ ，则不等式 $x f (x - 1) < 0$ 在 $(- 2, 2)$ 上的解集为（）

A、 $(- 2, - 1)$ B、 $(- 2, - 1) \cup (0, 1)$ C、 $(- 1, 0) \cup (0, 1)$ D、 $(- 1, 0) \cup (1, 2)$

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2、我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图池盆几何体是一个刍童，其中上，下底面均为正方形，且边长分别为8和4，侧面是全等的等腰梯形，且梯形的高为 $2 \sqrt{5}$ ，则该盆中最多能装的水的体积为（）

A、 $\frac{224 \sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{448}{3}$ C、 $224 \sqrt{5}$ D、448

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3、已知 $a$ ， $b$ 为实数，则“ $\sqrt{a} > \sqrt{b}$ ”是“ $\frac{b + 1}{a + 1} > \frac{b}{a}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4、已知一组数据4，8，9，3，3，5，7，9，则（）

A、这组数据的上四分位数为8 B、这组数据没有众数 C、这组数据的极差为5 D、这组数据的平均数为6

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5、已知 $P$ 是圆 $C : {(x + 2)}^{2} + y^{2} = 12$ 上一动点，定点 $M (2, 0)$ ，线段 $P M$ 的垂直平分线 $n$ 与直线 $P C$ 交于点 $T$ ，记点 $T$ 的轨迹为 $C^{'}$ ．

(1)、求 $C^{'}$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 与曲线 $C^{'}$ 恰有一个共点，且 $l$ 与直线 $l_{1} : y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ ， $l_{2} : y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 分别交于 $A$ 、 $B$ 两点， $△ O A B$ 的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．

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6、如图，在正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 6$ ， $A_{1} B_{1} = 4.$

(1)、若 $C C_{1} = \sqrt{2}$ ，证明： $C C_{1} ⊥$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ ；

(2)、若三棱台的高为 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ ，求平面 $A A_{1} B_{1} B$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 夹角的余弦值.

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7、袋中有三个相同的小球，用不同数字对三个小球进行标记.从袋中随机摸出一个小球，接着从袋中取出比该小球上数字大的所有小球 $($ 不再放回 $)$ ，并将该小球放回袋中.然后，对袋中剩下的小球再作一次同样的操作，此时袋中剩下2个小球的概率为.

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8、如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = \frac{1}{2} A D = 2$ ，点 $P$ 是半圆弧 $\overset{⌢}{A_{1} D_{1}}$ 上的动点（不包括端点），点 $Q$ 是半圆弧 $\overset{⌢}{B C}$ 上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{A D} \cdot \vec{A_{1} P}$ 的取值范围是 $[0, 16]$ B、若 $C_{1} Q$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $θ$ ，则 $tan θ > \frac{1}{2}$ C、 $C P$ 的最小值为 $2 \sqrt{4 - 2 \sqrt{2}}$ D、若三棱锥 $P - B C Q$ 的外接球表面积为 $S$ ，则 $S \in [16 π, 32 π)$

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9、已知P为圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 1$ 上的动点 $($ 不在坐标轴上 $)$ ，过P作 $P Q ⊥ x$ 轴，垂足为Q，将 $△ O P Q$ 绕y轴旋转一周，所得几何体的体积最大时，线段OQ的长度为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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10、图1是世界上单口半径最大、灵敏度最高的射电望远镜“中国天眼”—— $500 m$ 口径抛物面射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面），其边缘距离底部的落差约为156.25米，它的一个轴截面开口向上的抛物线C的一部分，放入如图2所示的平面直角坐标系 $x O y$ 内，已知该抛物线上点P到底部水平线（x轴）距离为 $125 m$ ，则点到该抛物线焦点F的距离为（）

A、 $225 m$ B、 $275 m$ C、 $330 m$ D、 $380 m$

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11、函数 $f (x) = \frac{2 cos (π x)}{e^{x} - e^{- x}}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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12、已知实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $a < b < c$ ， $a c < 0$ ，则（）

A、 $a b^{2} < b^{2} c$ B、 $\frac{1}{c} > \frac{1}{a}$ C、 $\frac{c}{a} + \frac{a}{c} \leq - 2$ D、 $c - a > 2 \sqrt{(c - b) (b - a)}$

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13、已知复数 $z$ 满足 $z (1 - i) = i$ ，则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2} i$

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14、已知 $a, b$ 为实数，则“ $a > b > 1$ ”是“ $(a - 1) (b - 1) > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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15、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{n + 1} - a_{n} > a_{n} - a_{n - 1}$ （ $n \geq 2$ ，且 $n \in N^{*}$ ），则称数列 $\{a_{n}\}$ 为“差增数列”；若对于差增数列 $\{a_{n}\}$ ，存在整数k，同时满足以下两个条件：①对任意 $n \in N^{*}$ ，都有 $a_{n} \geq k n$ 成立；②存在 $n \in N^{*}$ ，使得 $a_{n} = k n$ 成立，则称数列 $\{k n\}$ 为差增数列 $\{a_{n}\}$ 的“下限数列”.

(1)、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是差增数列，若 $a_{n} \in \{x |x 为小于 20 的质数\}$ ，试写出项数为5的差增数列 $\{a_{n}\}$ ；

(2)、已知等差数列 $\{b_{n}\}$ 是公差为d的正项数列，其前n项和为 $S_{n}$ ，等比数列 $\{c_{n}\}$ 是公比为 $q (q \in N^{*})$ 的非常数数列，且 $c_{1} = 3$ ；
（ⅰ）试判断数列 $\{n S_{n}\}$ 是否为“差增数列”，并说明理由；
（ⅱ）若 $b_{1} = 2$ ，且 $S_{2}$ ， $S_{3}$ ， $S_{4} + 4$ 成等比数列，则是否存在以数列 $\{\frac{2 d}{q} n\}$ 为“下限数列”的差增数列 $\{\frac{c_{n}}{S_{n}}\}$ ？若存在，求q的值；若不存在，请说明理由.

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16、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，点 $A (3, t)$ 在C上，且 $|A F| = \frac{7}{2}$ .

(1)、求C的方程；

(2)、若M，N是C上的两个不同动点（M在x轴上方，N在x轴下方），满足 $\vec{O M} \cdot \vec{O N} = 8$ .
（ⅰ）求证：直线 $M N$ 过定点P；
（ⅱ）设直线 $M N$ 的斜率为k，过点P，且斜率为 $- \frac{2}{k}$ 的直线交C于R，S两点，求四边形 $M R N S$ 面积的最小值.

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17、已知直线 $l : x - y + 1 = 0$ ，圆 $C : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ ，点 $P$ 在 $l$ 上，点 $Q$ 在 $C$ 上.

(1)、若一条光线沿着直线 $l$ 从右上往左下射出，经 $y$ 轴反射后，与 $C$ 相切，求 $r$ ；

(2)、若 $r = 1$ ， $R (2, 2)$ ，求点 $P$ 的坐标，使 $|P R| + |P Q|$ 有最小值，并求出这最小值.

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18、如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是平行四边形，平面 $S A C ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $∠ A D C = 60 °$ ， $∠ S A C = 90 °$ ， $A D = A S = 2 C D = 2$ .

(1)、证明： $C D ⊥$ 平面 $A C S$ ；

(2)、求平面 $S B C$ 与平面 $S C D$ 夹角的余弦值.

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19、已知函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x} - 2 a x^{2}$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求 $f^{'} (x)$ ；

(2)、若 $f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线与直线 $a x - 3 y - 2 = 0$ 垂直，求a.

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20、椭圆有如下结论：“过椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上一点 $P (x_{0}, y_{0})$ 作该椭圆的切线，切线方程为 $\frac{x_{0} x}{a^{2}} + \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1$ .”设椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， P为椭圆上一点，过P的切线l分别与坐标轴交于M、N两点，若 $\cos ∠ F_{1} P F_{2} = \frac{3}{5}$ 时， $△ M O N$ （O为坐标原点）的面积取到最小值，则C的离心率为.

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