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相关试卷

1、已知在棱长为1的正四面体 $A B C D$ 中， $\vec{B M} = \frac{1}{2} \vec{B C}$ ， $\vec{A N} = 3 \vec{N D}$ ，则直线 $A M$ 和 $C N$ 夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{13}}{13}$ C、 $\frac{5}{14}$ D、 $\frac{\sqrt{39}}{13}$

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2、已知圆 $C_{1} : {(x + 1)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 5$ ，圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y + m = 0$ ，若圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 恰有三条公切线，则 $m =$ （）

A、 $- 72$ B、 $- 12$ C、 $3$ D、 $5$

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3、已知 $A (- \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2})$ ， $B (1, \frac{1}{2}, 0)$ ， $C (0, 1, 0)$ ， $D (1, \frac{1}{2}, 1)$ ，则 $\vec{A B}$ 在 $\vec{C D}$ 上的投影向量为（）

A、 $(\frac{1}{9}, - \frac{1}{18}, \frac{1}{9})$ B、 $(- \frac{1}{9}, \frac{1}{18}, - \frac{1}{9})$ C、 $(\frac{3}{38}, - \frac{3}{76}, \frac{3}{38})$ D、 $(- \frac{3}{38}, \frac{3}{76}, - \frac{3}{38})$

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4、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = - 1$ ， $a_{4} = 64$ ，则 $S_{5} =$ （）

A、51 B、 $- 13$ C、 $- 205$ D、 $- 256$

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5、已知函数 $f (x) = 2^{x}$ ，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (2 + Δ x) - f (2)}{Δ x} =$ （）

A、 $4 \ln 2$ B、 $\frac{4}{\ln 2}$ C、 $\frac{\ln 2}{2}$ D、 $\frac{1}{2 \ln 2}$

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6、已知直线l过点 $A (1, \sqrt{3})$ 和 $B (- 2, 0)$ ，则l的倾斜角为（）

A、 $120^{\circ}$ B、 $90^{\circ}$ C、 $60^{\circ}$ D、 $30^{\circ}$

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7、设 $C (M)$ 表示非空集合 $M$ 中元素的个数，已知非空集合 $A, B$ .定义 $A \otimes B = \{\begin{array}{l} C (A) - C (B), C (A) \geq C (B) \\ C (B) - C (A), C (A) < C (B) \end{array}$ ，若 $A = \{1, 2\}$ ， $B = \{x |(x^{2} + a x) (x^{2} + a x + 2) = 0\}$ 且 $A \otimes B = 1$ ，则实数 $a$ 的所有取值为（）

A、0 B、0， $- 2 \sqrt{2}$ C、0， $2 \sqrt{2}$ D、 $- 2 \sqrt{2}$ ， 0， $2 \sqrt{2}$

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8、在空间直角坐标系Oxyz中，已知向量 $\vec{n} = (a, b, c)$ ，点 $P_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ .若直线l以 $\vec{n}$ 为方向向量且经过点 $P_{0}$ ，则直线l的标准式方程可表示为 $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c} (a b c \neq 0)$ ；若平面 $α$ 以 $\vec{n}$ 为法向量且经过点 $P_{0}$ ，则平面 $α$ 的点法式方程可表示为 $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ ，一般式方程可表示为 $a x + b y + c z + d = 0$ .

(1)、证明：向量 $\vec{n} = (a, b, c)$ 是平面 $α : a x + b y + c z + d = 0$ 的法向量；

(2)、若平面 $α_{1} : x + 2 y - 1 = 0$ ，平面 $β_{1} : 2 y - z + 1 = 0$ ，直线l为平面 $α_{1}$ 和平面 $β_{1}$ 的交线，求直线l的单位方向向量（写出一个即可）；

(3)、若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为 $α_{2}$ 、 $β_{2}$ 、 $γ$ ，其中平面 $α_{2}$ 经过点 $(4, 0, 0)$ ， $(3, 1, - 1)$ ， $(- 1, 5, 2)$ ，平面 $β_{2} : y + z = 4$ ，平面 $γ : m x + (m + 1) y + (m + 2) z + 3 = 0$ ，求实数m的值.

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9、如图所示，在四棱锥 $V - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A B / / C D$ ， $∠ A B C = 90 °$ ，侧面 $V B C ⊥$ 底面 $A B C D$ 且 $V B = V C = B C = A B = 2 C D = 2$ ， E为 $V A$ 中点.

(1)、求证： $E B ⊥ A D$ ；

(2)、求二面角 $B - V D - A$ 的正弦值；

(3)、求点C到平面 $V A D$ 的距离.

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10、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为正数，前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} + a_{2} = 3$ ， $S_{4} = 15$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = a_{n} + {(- 1)}^{n} (3 n - 1)$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前2n项和 $T_{2 n}$ .

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11、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 1 = 0$ ，直线 $l : (2 m + 1) x + (m + 2) y - 3 m - 6 = 0$ .

(1)、求直线 $l$ 恒过定点的坐标；

(2)、求直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长最短时 $m$ 的值以及最短弦长.

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12、正方形 $A B B_{1} A_{1}$ 的边长为12，其内有两点P，Q，点P到边 $A A_{1}$ ， $A_{1} B_{1}$ 的距离分别为3和1，点Q到边 $B B_{1}$ ， AB的距离也分别为3和1．现将正方形卷成一个圆柱，使得AB和 $A_{1} B_{1}$ 重合（如图），则此时P，Q两点间的距离为．

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13、点 $M (x, y)$ 为圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 3 = 0$ 上的动点，则 $\frac{y}{x}$ 的取值范围为.

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14、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 1$ ， $A A_{1} = \sqrt{3}$ ，底面ABCD为菱形， $∠ B A D = 60^{\circ}$ ， $A A_{1}$ 与AB，AD所成的角均为 $60^{\circ}$ （）

A、 $\vec{B D_{1}} = \vec{A D} - \vec{A B} + \vec{A A_{1}}$ B、四边形 $B_{1} B D D_{1}$ 为矩形 C、 $∠ C_{1} A C = 30^{\circ}$ D、如果 $\vec{A M} = \frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A D} + \frac{4}{3} \vec{A A_{1}}$ ，那么点M在平面 $A_{1} B D$ 内

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15、直线 $l$ 过抛物线 $C : x^{2} = 4 y$ 的焦点 $F$ ，且与 $C$ 交于 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 两点，则下列说法正确的是（）

A、抛物线 $C$ 的焦点坐标为 $(1, 0)$ B、 $|A B|$ 的最小值为4 C、对任意的直线 $l$ ， $x_{1} \cdot x_{2} = 1$ D、以 $A B$ 为直径的圆与抛物线 $C$ 的准线相切

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16、古典吉他的示意图如图所示． $A_{0}, B$ 分别是上弦枕、下弦枕， $A_{i} (i = 1, 2, \dots, 19)$ 是第 $i$ 品丝．记 $a_{i}$ 为 $A_{i}$ 与 $A_{i - 1}$ 的距离， $L_{i}$ 为 $A_{i}$ 与 $A_{0}$ 的距离，且满足 $a_{i} = \frac{X_{L} - L_{i - 1}}{M}, i = 1, 2, \dots, 19$ ，其中 $X_{L}$ 为弦长（ $A_{0}$ 与 $B$ 的距离）， $M$ 为大于1的常数，并规定 $L_{0} = 0$ ．则（）

A、数列 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{19}$ 是等差数列，且公差为 $- \frac{X_{L}}{M^{2}}$ B、数列 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{19}$ 是等比数列，且公比为 $\frac{M - 1}{M}$ C、数列 $L_{1}, L_{2}, \dots, L_{19}$ 是等比数列，且公比为 $\frac{2 M - 1}{M}$ D、数列 $L_{1}, L_{2}, \dots, L_{19}$ 是等差数列，且公差为 $\frac{(M - 1) X_{L}}{M^{2}}$

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17、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点.若 $|A F_{2}| = 3 |F_{2} B|$ ， $|A B| = 2 |A F_{1}|$ ，且 $△ A B F_{1}$ 的面积为 $4 \sqrt{15}$ ，则椭圆 $C$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{15} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{10} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{10} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{10} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

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18、关于方程 $x^{2} + x y + 2 y^{2} = 4$ 所表示的曲线，下列说法正确的是（）

A、关于 $x$ 轴对称 B、关于 $y$ 轴对称 C、关于 $y = x$ 对称 D、关于原点中心对称

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19、方程 $\frac{x^{2}}{2 + k} + \frac{y^{2}}{8 - k} = 1$ 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $k > - 2$ B、 $k < 8$ C、 $- 2 < k < 8$ D、 $- 2 < k < 3$

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20、圆 $M$ ： ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 $N : x^{2} + y^{2} + 4 x + 2 y = 0$ 的位置关系为（）

A、相交 B、内切 C、外切 D、相离

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