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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = (x - a) \ln x - x + a - 3 (a \in R)$ ．

(1)、若 $a = 0$ ，求 $f (x)$ 的极小值．

(2)、讨论函数 $f^{'} (x)$ 的单调性；

(3)、当 $a = 2$ 时，证明： $f (x)$ 有且只有 $2$ 个零点．

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2、设 $a > 0$ ，函数 $f (x) = a x^{3} - 2 x + 1$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求过点 $(0, - 1)$ 且与曲线 $y = f (x)$ 相切的直线方程：

(2)、 $x_{1}, x_{2}$ 是函数 $f (x)$ 的两个极值点，证明： $f (x_{1}) + f (x_{2})$ 为定值．

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3、已知：函数 $f (x)$ 是定义在R上的可导函数，当 $x \geq 0$ 时， $f^{'} (x) > f^{'} (- x)$ ，若 $g (x) = f (x) + f (- x)$ ，且对任意 $x \in [\frac{1}{2}, 1]$ ，不等式 $g (a x + 1) \leq g (x - 2)$ )恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是

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4、 $\lg (\sqrt{3 - \sqrt{5}} + \sqrt{3 + \sqrt{5}}) =$ .

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5、若实数 $x ， y$ 满足 $x^{2} + y^{2} = 4 + x y$ ，则（　　）

A、 $x + y \geq - 4$ B、 $x + y \leq 2$ C、 $x^{2} + y^{2} \leq 8$ D、 $x^{2} + y^{2} \geq 4$

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6、如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，以顶点 $A$ 为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则（）

A、 $A C_{1} = \sqrt{6}$ B、 $A C_{1} ⊥ B D$ C、四边形 $B D D_{1} B_{1}$ 的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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7、已知函数 $f (2 x + 1)$ 为奇函数， $f (x + 2)$ 为偶函数，且当 $x \in (0, 1]$ 时， $f (x) = {log}_{2} x$ ，则 $f ({(\frac{3}{2})}^{2})$ $=$ （）

A、2 B、-2 C、1 D、-1

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8、已知点O为 $△ A B C$ 的外心，且向量 $\vec{A O} = λ \vec{A B} + (1 - λ) \vec{A C}$ ， $λ \in R$ ，若向量 $\vec{B A}$ 在向量 $\vec{B C}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{5} \vec{B C}$ ，则 $\cos B$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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9、在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $A D = 1$ ， $B D = \sqrt{3}$ ， $E$ 是 $B C$ 的中点，沿 $B D$ 将 $△ B C D$ 翻折至 $△ B C^{'} D$ 的位置，使得平面 $B C^{'} D ⊥$ 平面 $A B D$ ， $F$ 为 $C^{'} D$ 的中点，则异面直线 $E F$ 与 $A C^{'}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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10、飞行棋是大家熟悉的棋类游戏，玩家通过投掷骰子来决定飞机起飞与飞行的步数.当且仅当玩家投掷出 $6$ 点时，飞机才能起飞.并且掷得 $6$ 点的游戏者可以连续投掷骰子，直至显示点数不是 $6$ 点.飞机起飞后，飞行步数即骰子向上的点数.

(1)、求甲玩家第一轮投掷中，投郑次数 $X$ 的均值 $E (X) = \sum_{k = 1}^{\infty} k P (k) = \lim_{n \to \infty} (\sum_{k = 1}^{n} k P (k))$ ）

(2)、对于两个离散型随机变量 $ξ$ 、 $η$ ，我们将其可能出现的结果作为一个有序数对，类似于离散型随机变量的分布列，我们可以用如下表格来表示这个有序数对的概率分布：
（记 $p (ξ = x_{i}) = p_{1} (x_{i}) = \sum_{j = 1}^{m} p (x_{i}, y_{j})$ ， $p (η = y_{j}) = p_{2} (y_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} p (x_{i}, y_{j})$ ）
$ξ$
$η$
$x_{1}$
$x_{2}$
$\dots$
$x_{n}$

$y_{1}$
$p (x_{1}, y_{1})$
$p (x_{2}, y_{1})$
$\dots$
$p (x_{n}, y_{1})$
$p_{2} (y_{1})$
$y_{2}$
$p (x_{1}, y_{2})$
$p (x_{2}, y_{2})$
$\dots$
$p (x_{n}, y_{2})$
$p_{2} (y_{2})$
$\dots$
$\dots$
$\dots$
$\dots$
$\dots$
$\dots$
$y_{m}$
$p (x_{1}, y_{m})$
$p (x_{2}, y_{m})$
$\dots$
$p (x_{n}, y_{m})$
$p_{2} (y_{m})$

$p_{1} (x_{1})$
$p_{1} (x_{2})$
$\dots$
$p_{1} (x_{n})$
$1$
若已知 $ξ = x_{i}$ ，则事件 $\{η = y_{j}\}$ 的条件概率为 $P \{η = y_{j} |ξ = x_{i}\} = \frac{P \{η = y_{j}, ξ = x_{i}\}}{P \{ξ = x_{i}\}} = \frac{p (x_{i}, y_{j})}{p_{1} (x_{i})}$ .可以发现 $η |ξ = x_{i}$ 依然是一个随机变量，可以对其求期望 $E \{η |ξ = x_{i}\} = \sum_{j = 1}^{m} y_{j} \cdot P \{η = y_{j} |ξ = x_{i}\} = \frac{1}{p_{1} (x_{i})} \cdot \sum_{i = 1}^{m} y_{j} p (x_{i}, y_{j})$ .
（ⅰ）上述期望依旧是一个随机变量（ $ξ$ 取值不同时，期望也不同），不妨记为 $E \{η |ξ\}$ ，求 $E [E \{η |ξ\}]$ ；
（ⅱ）若修改游戏规则，需连续掷出两次 $6$ 点飞机才能起飞，记 $ξ = 0$ 表示“甲第一次未能掷出6点”， $ξ = 1$ 表示“甲第一次掷出 $6$ 点且第二次未能掷出 $6$ 点”， $ξ = 2$ 表示“甲第一次第二次均掷出 $6$ 点”， $η$ 为甲首次使得飞机起飞时抛掷骰子的次数，求 $E η$ .

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11、下列命题正确的有（）

A、已知函数 $f (x)$ 在 $R$ 上可导，若 $f^{'} (1) = 2$ ，则 $lim_{Δ x \to 0} \frac{f (1 + 2 Δ x) - f (1)}{Δ x} = 2$ B、已知函数 $f (x) = ln (2 x + 1)$ ，若 $f^{'} (x_{0}) = 1$ ，则 $x_{0} = \frac{1}{2}$ C、 ${(\frac{cos x}{x})}^{'} = \frac{x sin x + cos x}{x^{2}}$ D、设函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f (x) = x^{2} + 3 x f^{'} (2) + ln x$ ，则 $f^{'} (2) = - \frac{9}{4}$

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12、在 $△ A B C$ 中， $|\vec{A B}| = 2 \sqrt{2}$ ， $O$ 为 $△ A B C$ 外心，且 $\vec{A O} \cdot \vec{A C} = 1$ ，则 $∠ A B C$ 的最大值为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $90 °$

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13、在如图所示的试验装置中，两个正方形框架 $A B C D$ ， $A D E F$ 的边长都是1，且它们所在平面互相垂直，活动弹子 $M, N$ 分别在正方形对角线 $A E$ 和 $B D$ 上移动，且 $E M$ 和 $D N$ 的长度保持相等，记 $E M = D N = a (0 < a < \sqrt{2})$ ，活动弹子 $Q$ 在 $E F$ 上移动.

(1)、求证：直线 $M N / /$ 平面 $C D E$ ；

(2)、 $Q$ 为 $E F$ 上的点，求 $E B$ 与平面 $Q C D$ 所成角的正弦值的最大值.

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14、质量监督局检测某种产品的三个质量指标 $x, y, z$ ，用综合指标 $Q = x + y + z$ 核定该产品的等级.若 $Q \leq 5$ ，则核定该产品为一等品.现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
产品编号
$A_{1}$
$A_{2}$
$A_{3}$
$A_{4}$
$A_{5}$
质量指标（ $x, y, z$ ）
$(1, 1, 2)$
$(2, 1, 2)$
$(2, 2, 2)$
$(1, 3, 1)$
$(1, 2, 3)$
产品编号
$A_{6}$
$A_{7}$
$A_{8}$
$A_{9}$
$A_{10}$
质量指标（ $x, y, z$ ）
$(1, 2, 2)$
$(2, 3, 1)$
$(3, 2, 1)$
$(1, 1, 1)$
$(2, 1, 1)$
（1）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
（2）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，设事件 $B$ 为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标均满足 $Q \leq 4$ ”，求事件 $B$ 的概率.

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15、直线l经过两直线 $l_{1}$ ： $3 x + 4 y - 2 = 0$ 和 $l_{2}$ ： $2 x + y + 2 = 0$ 的交点.

(1)、若直线l与直线 $3 x + y - 1 = 0$ 垂直，求直线l的方程；

(2)、若点 $A (3, 1)$ 到直线l的距离为5，求直线l的方程.

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16、在空间直角坐标系中，已知向量 $\vec{u} = (a, b, c), (a b c \neq 0)$ ，点 $P_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ，点 $P (x, y, z)$ ，若平面 $α$ 经过点 $P_{0}$ ，且以 $\vec{u}$ 为法向量， $P$ 是平面 $α$ 内的任意一点，则平面 $α$ 的方程为： $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ .由以上的理论，已知一平面 $E$ 和直线 $A B$ 垂直， $A$ 为其垂足，若 $A (4, 3, - 2), B (5, - 2, 1)$ ，平面 $E$ 的方程式是

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17、已知 $A (3 ， 0) ， B (0 ， 3)$ ，从点 $P (0 ， 2)$ 射出的光线经x轴反射到直线 $A B$ 上，又经过直线 $A B$ 反射回到时 $P$ 点，则光线所经过的路程为．

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18、如图是一个古典概型的样本空间 $Ω$ 和事件 $A$ 和事件 $B$ ，其中 $n (Ω) = 24$ ， $n (A) = 12$ ， $n (B) = 8$ ， $n (A \cup B) = 16$ ，那么 $P (\bar{A} \bar{B}) =$

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19、直线 $l : m x - y + 1 - 2 m = 0$ 与圆C： $(x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} = 10$ 相交所形成的弦中长度最短的弦长为

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20、直线 $l : x - y - 1 = 0$ 上的一点 $P$ ，到 $A (4, 1)$ 与 $B (0, 4)$ 的距离之差的绝对值的最大值为.

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$ξ$ $η$	$x_{1}$	$x_{2}$	$\dots$	$x_{n}$
$y_{1}$	$p (x_{1}, y_{1})$	$p (x_{2}, y_{1})$	$\dots$	$p (x_{n}, y_{1})$	$p_{2} (y_{1})$
$y_{2}$	$p (x_{1}, y_{2})$	$p (x_{2}, y_{2})$	$\dots$	$p (x_{n}, y_{2})$	$p_{2} (y_{2})$
$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$
$y_{m}$	$p (x_{1}, y_{m})$	$p (x_{2}, y_{m})$	$\dots$	$p (x_{n}, y_{m})$	$p_{2} (y_{m})$
	$p_{1} (x_{1})$	$p_{1} (x_{2})$	$\dots$	$p_{1} (x_{n})$	$1$

产品编号	$A_{1}$	$A_{2}$	$A_{3}$	$A_{4}$	$A_{5}$
质量指标（ $x, y, z$ ）	$(1, 1, 2)$	$(2, 1, 2)$	$(2, 2, 2)$	$(1, 3, 1)$	$(1, 2, 3)$
产品编号	$A_{6}$	$A_{7}$	$A_{8}$	$A_{9}$	$A_{10}$
质量指标（ $x, y, z$ ）	$(1, 2, 2)$	$(2, 3, 1)$	$(3, 2, 1)$	$(1, 1, 1)$	$(2, 1, 1)$