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1、“费马点”是三角形内部与其三个顶点的距离之和最小的点．对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当 $△ A B C$ 的三个内角均小于 $120^{\circ}$ 时，使 $∠ A P B = ∠ B P C = ∠ C P A = 120^{\circ}$ 的点 $P$ 即为费马点．已知 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, a cos C + \sqrt{3} a sin C - b - c = 0, a = 2$ ，点 $P$ 是 $△ A B C$ 的“费马点”．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} + \vec{P B} \cdot \vec{P C} + \vec{P C} \cdot \vec{P A} = - 1$ ，求 $△ A B C$ 的周长；

(3)、若 $A C ⊥ B C, |P A| + |P B| = λ |P C|$ ，求实数 $λ$ 的值．

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2、如图，在正六棱锥 $P - A B C D E F$ 中， $A B = 2, P A = \sqrt{13}$ ．

(1)、求棱锥的高和斜高；

(2)、求直线 $D E$ 到平面 $P A B$ 的距离；

(3)、若球 $O$ 是正六棱锥 $P - A B C D E F$ 的内切球，以底面正六边形 $A B C D E F$ 的中心为圆心，以内切球半径为半径的圆面沿垂直于底面的方向向上平移形成正六棱锥 $P - A B C D E F$ 的内接几何体，求该几何体的侧面积．

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3、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $2 b sin A = \sqrt{3} a, b^{2} = c (2 a + c)$ ．

(1)、求 $\frac{sin A}{sin C}$ 的值；

(2)、若 $D$ 是 $△ A B C$ 的外接圆上一点（ $B$ 与 $D$ 位于直线 $A C$ 异侧），且 $C D = 2 A D = 2$ ，求四边形 $A B C D$ 的面积．

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4、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} {cos}^{2} x - \frac{1}{2} sin 2 x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期、对称轴；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的单调递增区间；

(3)、若存在 $x \in [\frac{π}{12}, \frac{5 π}{6}]$ ，使得 $f (x) \leq 3 a - 1$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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5、已知复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 4 i$ ．

(1)、求 $\bar{z}$ ；

(2)、若 $z$ 是方程 $x^{2} + a x + b = 0 (a \in R, b \in R)$ 的一个根，求 $a + b$ 的值．

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6、已知四边形 $A B C D$ 中， $A B = B C = \sqrt{6}, A B ⊥ B C, D C ⊥ A C, ∠ C A D = 30^{\circ}$ ，将 $△ A B C$ 沿 $A C$ 折起，连接 $B D$ ，得到三棱锥 $B - A C D$ ，则三棱锥 $B - A C D$ 体积的最大值为，此时该三棱锥的外接球的表面积为．

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7、在平行四边形ABCD中， AD = 1， $∠ B A D = 60^{°}$ ， E为CD的中点. 若 $\overset{⃑}{A C} \cdot \overset{⃑}{B E} = 1$ ，则AB的长为.

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8、已知 $\frac{cos 2 θ}{sin (θ - \frac{π}{4})} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $cos θ + sin θ =$ ．

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9、一个表面被涂满红色的棱长是4的正方体，将其均匀分割成棱长为1的小正方体，下列结论正确的是（）

A、共得到64个小正方体 B、由所有两面是红色的小正方体组成的长方体，其表面积最大为98 C、由所有三面是红色的小正方体组成的长方体，其外接球的体积最小为 $12 π$ D、取其中一个三面是红色的小正方体，以小正方体的顶点为顶点，截去八个相同的正三棱锥，所得几何体表面红色部分面积的最小值为 $\frac{3}{2}$

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10、函数 $f (x) = A sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $0 < φ < π$ ）在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x) = 2 sin (\frac{2}{3} x - \frac{π}{3})$ B、 $f (\frac{π}{2}) = \sqrt{3}$ C、 $f (x) \geq 1$ 的解集为 $[- \frac{π}{4} + 3 k π, \frac{3 π}{4} + 3 k π] (k \in Z)$ D、把函数 $y = 2 \sin x$ 的图象先向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，再将曲线上各点的横坐标伸长为原来的 $\frac{3}{2}$ 倍，纵坐标不变，可得到 $f (x)$ 的图象

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11、已知平面向量 $\vec{a} = (\sqrt{3}, 1), \vec{b} = (x, - 3)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $x = 3 \sqrt{3}$ B、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x = \sqrt{3}$ C、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为钝角，则 $x$ 的取值范围为 $(- \infty, \sqrt{3})$ D、若 $x = - \sqrt{3}$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量的坐标为 $(- \frac{3 \sqrt{3}}{2}, - \frac{3}{2})$

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12、如图，已知 $|\vec{O A}| = |\vec{O B}| = 1, |\vec{O C}| = \sqrt{3}, \vec{O C} ⊥ \vec{O B}, ∠ A O C = 30^{\circ}$ ，则（）

A、 $\vec{O C} = 2 \vec{O A} + \vec{O B}$ B、 $\vec{O C} = 2 \vec{O A} - \vec{O B}$ C、 $\vec{O C} = \vec{O A} + \vec{O B}$ D、 $\vec{O C} = \vec{O A} + 2 \vec{O B}$

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13、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $\sin^{2} \frac{A}{2} = \frac{c - b}{2 c}$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、正三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、钝角三角形

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14、某同学站立在雨中水平撑伞，始终保持伞面的下边缘距离地面 $2 m$ ，当雨与地面成 $75^{\circ}$ 斜降下来时，要使脚恰好不被雨淋湿，脚与伞边缘的水平距离（单位：m）为（）

A、 $4 - 2 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{6} - 2$ C、 $2 - \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2} - 1$

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15、下列不等式成立的是（）

A、 $sin 1 > sin 2$ B、 $sin 1 > 1$ C、 $sin 1 > tan 1$ D、 $sin 1 > cos 1$

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16、函数 $f (x) = 6 tan (- \frac{π}{6} x + \frac{π}{3})$ 的相邻两个零点之间的距离为（）

A、 $6 π$ B、6 C、 $12 π$ D、12

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17、已知 $z = - 1 + i$ ，则 $|z| =$ （）

A、0 B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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18、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $\sqrt{3} a \cos B = b \sin A$ ，又以a，b，c为边长的三个正三角形的面积分别为 $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ ，且 $S_{1} + S_{3} - S_{2} = 10 \sqrt{3}$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、若 $\sin A \sin C = \frac{30}{49}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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19、如图，设 $△ A B C$ 中的角A，B，C所对的边是a，b，c， $A D$ 为 $∠ B A C$ 的角平分线，已知 $A B = 1$ ， $\overset{⃑}{A D} = \frac{3}{4} \overset{⃑}{A B} + \frac{1}{4} \overset{⃑}{A C}$ ， $\frac{\overset{⃑}{A B}}{| \overset{⃑}{A B} |} \cdot \frac{\overset{⃑}{A C}}{| \overset{⃑}{A C} |} = \frac{1}{2}$ ，点E，F分别为边 $A B$ ， $A C$ 上的动点，线段 $E F$ 交 $A D$ 于点G，且 $△ A E F$ 的面积是 $△ A B C$ 面积的一半．

(1)、求边 $B C$ 的长度；

(2)、当 $\overset{⃑}{A G} \cdot \overset{⃑}{E F} = \frac{45}{28}$ 时，求 $△ A G F$ 的面积．

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20、如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝30°，PD⊥平面ABCD，AD＝2，点E为AB上一点，且 $\frac{A E}{A B} = m$ ，点F为PD中点.
（1）若 $m = \frac{1}{2}$ ，证明：直线AF∥平面PEC；
（2）是否存在一个常数m，使得平面PED⊥平面PAB？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.

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