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相关试卷

1、已知 $A (- 4, 0), B (- 1, 0)$ ，若直线 $l : 3 x + 4 y + a = 0$ 上有且只有一点 $P$ 满足 $|P A| = 2 |P B|$ ，则 $a =$ .

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2、已知 $sin \frac{α}{2} - cos \frac{α}{2} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $sin α =$ .

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3、已知函数 $f (x) = \frac{2^{x + 1}}{2^{x} + a}$ ，则（）

A、当 $a > 0$ 时， $f (x)$ 是增函数 B、当 $a < 0$ 时， $f (x)$ 的值域为 $(2, + \infty)$ C、当 $a = 1$ 时，曲线 $y = f (x)$ 关于点 $(0, 1)$ 对称 D、当 $a = 4$ 时， $\forall x \in R, f (k x + 1) + f (2 - x^{2}) < 2$ ，则 $- 2< k <2$

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4、下列命题正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ B、若 $a < b < 0$ ，则 $b^{2} < a b < a^{2}$ C、若 $a > b > 0, \frac{b}{a} > \frac{b + m}{a + m}$ ，则 $m < 0$ D、若 $2 < a + b < 3, - 1 < a - b < 2$ ，则 $3 < 3 a + b < 8$

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5、在一次数学竞赛中，将100名参赛者的成绩按区间 $[50, 60), [60, 70), \dots, [90, 100]$ 分成5组，得到如下频率分布直方图，同一组中的数据用该组区间的中点值代表，根据图中信息，下列结论正确的是（）

A、 $a = 0.015$ B、该100名学生成绩的众数约为75 C、该100名学生中成绩在 $[70, 90)$ 的人数为48 D、该100名学生成绩的第85百分位数约为82.5

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6、向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 在单位向量 $\vec{e}$ 上的投影向量均为 $3 \vec{e}$ ，且 $|\vec{a} - \vec{b}| = 5$ ，当 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角最大时， $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、8 B、5 C、 $\frac{9}{4}$ D、 $\frac{11}{4}$

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7、在棱长为6的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\vec{A E} = 2 \vec{E A_{1}}$ ， $\vec{C F} = 2 \vec{F C_{1}}$ ，过点 $B, E, F$ 的平面截该正方体所得截面的周长为（）

A、 $4 \sqrt{13} + 3 \sqrt{2}$ B、 $6 \sqrt{13} + 3 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{13} + 8 \sqrt{2}$ D、 $6 \sqrt{13} + 8 \sqrt{2}$

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8、已知函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 6 x + 5}$ 在区间 $(a, + \infty)$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 1]$ B、 $(- \infty, 3]$ C、 $[3, + \infty)$ D、 $[5, + \infty)$

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9、在一个箱子中放5个白球，3个红球，摇匀后采用不放回方式随机摸球3次，每次一个，第3次摸到红球的概率是（）

A、 $\frac{3}{8}$ B、 $\frac{3}{16}$ C、 $\frac{5}{28}$ D、 $\frac{7}{24}$

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10、已知 $z_{1} = cos \frac{π}{3} + isin \frac{π}{3}$ ， $z_{2} = cos \frac{π}{6} + isin \frac{π}{6}$ 则， $z_{1} \cdot z_{2} =$ （）

A、0 B、 $i$ C、 $- i$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{4} i$

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11、已知直线 $l_{1} : x + m y - 5 = 0$ ，直线 $l_{2} : m x + y + 3 = 0$ ，若 $l_{1}$ $∥$ $l_{2}$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、1 B、 $- 1$ C、 $- 1$ 或1 D、0

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12、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 3^{x}, x < 1 \\ {log}_{3} (x + 8), x \geq 1 \end{array}$ ，则 $f (- 1) + f (1) =$ （）

A、 $\frac{4}{3}$ B、3 C、 $\frac{7}{3}$ D、 $\frac{10}{3}$

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13、已知集合 $M = {x ∣ - 2 \leq x < 0}, N = {x ∣ - 1 \leq x < 3}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${x ∣ - 1 \leq x < 0}$ B、 $\{x ∣ x > 3\}$ C、 ${x ∣ - 2 \leq x < 3}$ D、 ${x ∣ x < - 2}$

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14、某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表：
测试指标
$[20, 68)$
$[68, 76)$
$[76, 84)$
$[84, 92)$
$[92, 100]$
元件数（件）
2
18
36
40
4

(1)、现从这100件样品中随机抽取2件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合格品的概率；

(2)、关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量 $X$ 具有数学期望 $E (X) = μ$ ，方差 $D (X) = σ^{2}$ ，则对任意正数 $ε$ ，均有 $P (| X - μ | \geq ε) \leq \frac{σ^{2}}{ε^{2}}$ 成立．
（i）若 $X ~ B (100, \frac{1}{2})$ ，证明： $P (0 \leq X \leq 25) \leq \frac{1}{50}$ ；
（ii）由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的．若该工厂声称本厂元件合格率为 $95 %$ ，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件 $A$ 发生的概率小于0.05时，可称事件 $A$ 为小概率事件）

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15、已知某人掷骰子5次，并记录每次骰子出现的点数，统计数据为： $2$ ， $1$ ， $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a$ ， $b$ ， $c$ 成等差数列，则由下列说法可以判断出一定没有出现点数6的是（）

A、该组数据的中位数为4，众数是4 B、该组数据的平均数为 $3$ ， $80 %$ 分位数是5 C、该组数据的平均数为3，方差小于3 D、该组数据的极差为5，方差大于3

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16、如图，圆 $C$ 的半径为3，其中 $A ､ B$ 为圆 $C$ 上的两点.

(1)、若 $cos ∠ C A B = \frac{1}{3}$ ，当 $k$ 为何值时， $\vec{A C} + 2 \vec{A B}$ 与 $k \vec{A C} - \vec{A B}$ 垂直？

(2)、若 $G$ 为 $△ A B C$ 的重心，直线 $l$ 过点 $G$ 交边 $A B$ 于点 $P$ ，交边 $A C$ 于点 $Q$ ，且 $\vec{A P} = λ \vec{A B}, \vec{A Q} = μ \vec{A C}$ .证明： $\frac{1}{λ} + \frac{1}{μ}$ 为定值；

(3)、若 $|\vec{A C} + t \vec{A B}|$ 的最小值为1，求 $|\vec{A B}|$ 的值.

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17、已知函数 $f (x) = 2 \cos x \sin (x + \frac{π}{3}) - 2 \sqrt{3} \cos^{2} x + \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $x \in R$ .

(1)、求函数的对称中心与对称轴；

(2)、当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的最值；

(3)、当 $x \in [0, π]$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调递增区间.

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18、已知 $α$ ， $β \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $sin (α - \frac{π}{4}) = \frac{3}{5}$ ， $t a n β = \frac{1}{2} ．$
（1）求 $s i n α$ 的值；
（2）求 $tan (α + β)$ 的值．

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19、已知复平面内表示复数 $z = (2 m - 1) + (m + 1) i$ （ $m \in R$ ）的点为 $Z$ .

(1)、若点 $Z$ 在函数 $y = 2 x - 6$ 图像上，求实数 $m$ 的值；

(2)、若 $O$ 为坐标原点，点 $A (2, - 1)$ ，且 $\vec{O Z}$ 与 $\vec{O A}$ 的夹角为钝角，求实数 $m$ 的取值范围.

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20、平面内给定三个向量 $\vec{a} = (3, 2)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2)$ ， $\vec{c} = (4, 1)$ ．

(1)、求满足 $\vec{a} = m \vec{b} + n \vec{c}$ 的实数m，n．

(2)、若 $\vec{d}$ 满足 $\vec{d} ∥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，且 $|\vec{d}| = 5$ ，求 $\vec{d}$ 的坐标．

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测试指标	$[20, 68)$	$[68, 76)$	$[76, 84)$	$[84, 92)$	$[92, 100]$
元件数（件）	2	18	36	40	4