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相关试卷

1、若 $\sin x + \cos x = 2 \sin α$ ， $\sin x \cos x = \sin^{2} β$ ，则（）

A、 $4 \cos^{2} 2 α = \cos^{2} 2 β$ B、 $\cos^{2} 2 α = 4 \cos^{2} 2 β$ C、 $4 \cos 2 α = \cos 2 β$ D、 $\cos 2 α = 4 \cos 2 β$

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2、设函数 $y = f (x) - x^{2}$ 是奇函数.若函数 $g (x) = f (x) + 5$ ， $f (4) = 9$ ，则 $g (- 4) =$ （）

A、27 B、28 C、29 D、30

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3、定义“真指数” $e_{+}^{x} = \{\begin{array}{l} 1, x < 0, \\ e^{x}, x \geq 0 \end{array}$ （e为自然对数的底数），则（）

A、 $e_{+}^{x_{1} + x_{2}} = e_{+}^{x_{1}} \cdot e_{+}^{x_{2}}$ B、 $e_{+}^{x_{1} - x_{2}} = \frac{e_{+}^{x_{1}}}{e_{+}^{x_{2}}}$ C、 $e_{+}^{x_{1}} + e_{+}^{x_{2}} \geq 2 e_{+}^{\frac{x_{1} + x_{2}}{2}}$ D、 $e_{+}^{x_{1} x_{2}} \leq {(e_{+}^{x_{1}})}^{x_{2}}$

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4、已知 $A \in R$ ， $ε$ 为任意正数，若 $|A - 6| \leq ε$ 恒成立，则（）

A、 $A = 6$ B、 $A = \pm 6$ C、 $A > 6$ D、 $A < 6$

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5、已知数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ 的方差 $s^{2} = 0$ ，则（）

A、 $\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} = n$ B、 $\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - x_{1})}^{2} = n$ C、 $\sum_{i = 1}^{n} x_{i} = 0$ D、 $\sum_{i = 1}^{n} {|x_{i} - x_{1}|}^{2} = 0$

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6、若等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} + a_{2} = 2$ ， $a_{1} - a_{3} = 3$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的公比等于（）

A、 $- \frac{1}{2}$ 或 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ 或 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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7、已知向量 $\vec{a} = (1, - 2)$ ， $\vec{b} = (- 3, 2)$ ， $\vec{c} = (1, 1)$ ，则 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} =$ （）

A、2 B、0 C、 $- 2$ D、 $- 7$

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8、已知集合 $A = \{1, 2, 3\}$ ， $B = \{x| x^{2} - x = 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1\}$ B、 $\{2\}$ C、 $\{- 1, 2\}$ D、 $\{1, 2\}$

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9、设 ${a_{n}}$ 是等比数列，公比大于0，其前n项和为 $S_{n} (n \in N^{*})$ ， ${b_{n}}$ 是等差数列.已知 $a_{1} = 1$ ， $a_{3} = a_{2} + 2$ ， $a_{4} = b_{3} + b_{5}$ ， $a_{5} = b_{4} + 2 b_{6}$ .
（I）求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；
（II）设数列 ${S_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n} (n \in N^{*})$ ，
（i）求 $T_{n}$ ；
（ii）证明 $\sum_{k = 1}^{n} \frac{(T_{k} + b_{k + 2}) b_{k}}{(k + 1) (k + 2)} = \frac{2^{n + 2}}{n + 2} - 2 (n \in N^{*})$ .

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10、数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2, a_{2} = 5, a_{n + 2} = 3 a_{n + 1} - 2 a_{n}$ .

(1)、求证：数列 ${a_{n + 1} - a_{n}}$ 是等比数列；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、若 $b_{n} = n a_{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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11、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为矩形， $E, F$ 分别为 $P A, C D$ 的中点．

(1)、求证： $D E / /$ 平面 $P B F$ ；

(2)、若 $P A = A B = 1, B C = 2$ ，求直线 $P C$ 与平面 $P B F$ 所成角的正弦值．

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12、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$

(1)、若数列 $\{a_{n}\}$ 是公比为2的等比数列，且 $a_{3}$ 是 $a_{1}$ 与 $a_{4} - 1$ 的等差中项，求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式及 $S_{n}$ ；

(2)、若 $S_{n} = 2 a_{n} - 1$ .求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

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13、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = n |\cos \frac{n π}{3}|$ ，在 $a_{n}, a_{n + 1}$ 中插入n个2，按照原有顺序构成数列 $\{b_{n}\}$ ，则数列 $\{b_{n}\}$ 的前480项和为．

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14、已知夹角为 $60^{\circ}$ 的非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2 |\vec{b}|$ ， $(2 \vec{a} - t \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $t =$ .

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15、记 $S_{n}$ 为正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $T_{n}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项积，已知 $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{a_{n} - 1}$ ，则（）

A、 $a_{n} > 1$ B、 $\{a_{n}\}$ 可能为常数列 C、 $S_{2 n} \geq 4 n$ D、 $T_{n + 2} = (S_{n + 2} + S_{n}) T_{n}$

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16、下列函数求导运算正确的是（）

A、 ${({log}_{3} x)}^{'} = \frac{1}{x ln 3}$ B、 ${(x^{2} - \frac{1}{x})}^{'} = 2 x + \frac{1}{x^{2}}$ C、 ${(sin 2 x)}^{'} = 2 cos 2 x$ D、 ${(\frac{e^{x}}{x})}^{'} = \frac{(x + 1) e^{x}}{x^{2}}$

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17、已知点 $A (4 + k, 0)$ ， $B (k, 3)$ ，若以 $C (25, 20)$ 为圆心，5为半径的圆与线段 $A B$ 的垂直平分线相切，则 $k =$ （）

A、 $\frac{123}{8}$ B、 $\frac{23}{8}$ 或 $\frac{123}{8}$ C、 $\frac{23}{8}$ D、 $\frac{13}{8}$ 或 $\frac{123}{8}$

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18、已知 $3^{a} = 2$ ， $9^{b} = 36$ ，则 $a - b =$ （）

A、 $\frac{1}{18}$ B、 $- \frac{1}{18}$ C、1 D、 $- 1$

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19、若数列 $\{x_{n}\}$ ， $\{y_{n}\}$ ，其中 $y_{n} \in Z$ ，对任意正整数 $n$ 都有 $|x_{n} - y_{n}| < \frac{1}{2}$ ，则称数列 $\{y_{n}\}$ 为数列 $\{x_{n}\}$ 的“接近数列”．已知 $\{b_{n}\}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的“接近数列”，且数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ ， $T_{n}$ ．

(1)、若 $a_{n} = n + \frac{2}{3}$ （ $n$ 是正整数），求 $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， $b_{3}$ 的值；

(2)、若数列 $\{a_{n}\}$ 是公差为 $d$ 的等差数列，且 $d \in Z$ ，求证：数列 $\{b_{n}\}$ 是等差数列；

(3)、若 $a_{n} = \frac{3}{2} + {(- \frac{5}{6})}^{n + 1}$ （ $n$ 是正整数），判断是否存在正整数 $k$ ，使得 $S_{k} < T_{k}$ ？如果存在，请求出 $k$ 的最小值，如果不存在，请说明理由．（参考数据： ${log}_{\frac{5}{6}} \frac{8}{25} \approx 6.25$ ， ${log}_{\frac{17}{25}} \frac{1}{6} \approx 4.65$ ）

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20、已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为 $2 \sqrt{6}$ ，点 $A (2, 1)$ 在椭圆 $E$ 上．

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、若直线 $l$ 与椭圆 $E$ 交于 $B$ ， $C$ 两点（均异于点 $A$ ），且直线 $A B$ 与 $A C$ 的斜率之和为0．证明：直线 $l$ 的斜率为定值，并求出该定值．

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