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相关试卷

1、若直线 $y = k x + 1$ （k为常数）是曲线 $y = \ln x + 1$ 和曲线 $y = a e^{x} + 1$ 的公切线，则实数a的值为（）

A、 $\frac{1}{e}$ B、 $\frac{1}{e^{2}}$ C、1 D、e

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2、 $(\frac{1}{x^{2}} - 2) {(1 + x)}^{5}$ 的展开式中的常数项是（）

A、12 B、8 C、 $- 8$ D、 $- 12$

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3、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 $A = \frac{π}{4}$ ， $b = 3$ ，三角形ABC的面积为6，则 $a =$ （）

A、65 B、17 C、 $\sqrt{17}$ D、 $\sqrt{65}$

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4、已知曲线 $C : \frac{x^{2}}{6 - t} + \frac{y^{2}}{t - 2} = 1$ ，设 $p : 2 < t < 3$ ， q：曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5、在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 是线段 $B C$ 上一点，若 $\vec{B D} = λ \vec{B C}$ ， $\vec{A D} = \frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A C}$ ，则实数 $λ =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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6、已知 $\sin (\frac{π}{4} - θ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $\sin 2 θ =$ （）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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7、若 $1 - b i = (1 - i) (2 + a i)$ （a， $b \in R$ ， i为虚数单位），则 $a + b$ 的值为（）

A、2 B、1 C、 $- 2$ D、 $- 3$

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8、已知集合 $A = \{- 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1\}$ ， B= $\{x | - 4 ＜ x ＜ 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1\}$ B、 $\{x | - 4 ＜ x ＜ 1\}$ C、 $\{- 3, - 2, - 1, 0\}$ D、 $\emptyset$

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9、定义向量 $\vec{O M} = (a, b)$ 的“伴随函数”为 $f (x) = a \sin x + b \cos x$ ，函数 $f (x) = a \sin x + b \cos x$ 的“伴随向量”为 $\vec{O M} = (a, b)$ .

(1)、写出向量 $\vec{O M} = (1, - 1)$ 的伴随函数 $f (x)$ ，并直接写出 $f (x)$ 的最大值M；

(2)、求函数 $f (x) = \sin^{2} \frac{x}{2} + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} - 3 \cos^{2} \frac{x}{2} + 1$ 的伴随向量 $\vec{O M}$ 的模.

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10、已知复数 $z_{1} = a + 2 i$ ， $z_{2} = 2 - i$ ，且 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 是纯虚数，其中a为实数，i是虚数单位.

(1)、求a的值；

(2)、在复平面内，O为坐标原点，向量 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ 对应的复数分别是 $z_{1} z_{2}$ ， $c + (2 - c) i$ ，若 $|\vec{A B}| = 5$ ，求实数c的值.

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11、已知 $\cos (α + β) = \frac{2}{3}$ ， $\cos (α - β) = \frac{1}{3}$ ，则 $\tan α \tan β =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $- \frac{1}{5}$

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12、某商场为促销设计了一项回馈客户的抽奖活动，抽奖规则是：有放回的从装有大小相同的6个红球和4个黑球的袋中任意抽取一个，若第一次抽到红球则奖励50元的奖券，抽到黑球则奖励25元的奖券；第二次开始，每一次抽到红球则奖券数额是上一次奖券数额的2倍，抽到黑球则奖励25元的奖券，记顾客甲第n次抽奖所得的奖券数额 $X_{n} (1 \leq n \leq 6)$ 的数学期望为 $E (X_{n})$ ．

(1)、求 $E (X_{1})$ 及 $X_{2}$ 的分布列．

(2)、写出 $E (X_{n})$ 与 $E (X_{n - 1}) (n \geq 2)$ 的递推关系式，并证明 $\{E (X_{n}) + 50\}$ 为等比数列；

(3)、若顾客甲一共有6次抽奖机会，求该顾客所得的所有奖券数额的期望值．（考数据： ${1.26}^{6} \approx 2.986$ ）

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13、已知函数 $f (x) = \frac{a}{x} + \ln x (a \in R)$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的极值；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[1, e]$ 上的最小值 $g (a)$ ．

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14、已知平面内两个定点A，B及动点P，若 $\frac{|P B|}{|P A|} = λ$ （ $λ > 0$ 且 $λ \neq 1$ ），则点P的轨迹是圆．后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆．已知 $O (0, 0)$ ， $Q (0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，直线 $l_{1}$ ： $k x - y + 2 k + 3 = 0$ ，直线 $l_{2}$ ： $x + k y + 3 k + 2 = 0$ ，若P为 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的交点，则 $\frac{3}{2} |P O| + |P Q|$ 的最小值为．

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15、 $(x - 1) {(x + 1)}^{4}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为．

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16、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $A B = 2, B C = \sqrt{3}, A A_{1} = 1, P$ 为棱 $C_{1} D_{1}$ 的中点， $Q$ 为底面 $A B C D$ 上（含边界）的一动点.记点 $Q$ 轨迹的长度为 $L$ ，则下列说法正确的有（）

A、若 $P Q ⊥ B_{1} C$ ，则 $L = 2$ B、若 $P Q$ $∥$ 平面 $A_{1} B C_{1}$ ，则 $L = \frac{\sqrt{5}}{2}$ C、若 $P Q = \sqrt{2}$ ，则 $L = π$ D、若 $C$ 到平面 $A_{1} P Q$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $L = 2$

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17、已知函数 $f (x) = sin x + |cos 2 x|$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $2 π$ 是 $f (x)$ 的一个周期 B、 $f (x)$ 的最小值是 $- 2$ C、存在唯一实数 $a \in (0, 2)$ ，使得 $f (x + a)$ 是偶函数 D、 $f (x)$ 在 $[0, π]$ 上有3个极大值点

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ ：1，1，2，1，3，5，1，4，7，10，…，其中第1项为1，接下来的2项为1，2，接下来的3项为1，3，5，再接下来的4项为1，4，7，10，依此类推，则（）

A、 $a_{20} = 21$ B、 $a_{\frac{n (n + 1)}{2}} = n^{2} - 2 n + 2$ C、存在正整数m，使得 $a_{m}$ ， $a_{m + 1}$ ， $a_{m + 2}$ 成等比数列 D、有且仅有4个不同的正整数m，使得 $a_{m} + a_{m + 1} + a_{m + 2} = 156$

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19、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $A (\frac{p}{4}, a) (a > 0)$ 在 $C$ 上， $| A F | = 3$ .若直线 $A F$ 与 $C$ 交于另一点 $B$ ，则 $| A B |$ 的值是

A、 $12$ B、 $10$ C、 $9$ D、 $4.5$

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20、在直角梯形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $C D = 2$ ， $A B / / C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $E$ 是 $B C$ 的中点，则 $\overset{⇀}{A B} \cdot (\overset{⇀}{A C} + \overset{⇀}{A E}) =$

A、 $8$ B、 $12$ C、 $16$ D、 $20$

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