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相关试卷

1、正比例手办是按照动漫角色的一定比例制作的手办，细节丰富，高度还原角色形象.已知某店内共有20个正比例手办，其中有8个正比例手办采用树脂材质制成，有12个正比例手办采用PVC材质制成，树脂材质的正比例手办中有2个是 $\frac{1}{4}$ 比例手办，6个是 $\frac{1}{8}$ 比例手办，PVC材质的正比例手办中有4个是 $\frac{1}{4}$ 比例手办，8个是 $\frac{1}{8}$ 比例手办.该店举行了一个抽奖活动，将这20个正比例手办编号为1，2，3，…20，盒子内有编号分别为1，2，3，…，20的20张小纸条，消费者抽到编号为 $i (i = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, 20)$ 的纸条即视为抽到编号为i的正比例手办，消费者一次性从盒子内随机抽取2张纸条，每位消费者只有一次机会.

(1)、记事件 $A$ 为“消费者小曲抽到的2个正比例手办的材质与比例均相同”，求 $P (A)$ ；

(2)、若消费者抽到的2个正比例手办的材质与比例均不相同，则无奖励；若仅材质或仅比例相同，则奖励100元；若材质与比例均相同，则奖励200元.记消费者小曲获得的奖金金额为 $η$ 元，请写出 $η$ 的分布列及期望.

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ 满足 $2 S_{n} = 3 n^{2} - k n, k$ 为常数，且 $S_{4} = 22$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = a_{n} \times 2^{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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3、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 3 A B = 6$ ， $D$ 为 $C C_{1}$ 的中点．

(1)、求点 $B$ 到直线 $A_{1} D$ 的距离；

(2)、求异面直线 $A B_{1}$ 与 $B D$ 所成角的余弦值．

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4、《九章算术•商功》中，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.在堑堵 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A_{1} B = 3 \sqrt{2}$ ， $A B = A C$ ，则堑堵 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 体积的最大值为.

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5、设随机变量 $ξ \sim B (3, p)$ ，且 $P (ξ = 1) = 5 P (ξ = 2)$ ，则 $p =$ ；若随机变量 $η$ 满足 $ξ = \frac{1}{2} η + 1$ ，则 $η$ 的方差为.

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6、某林业科学院培育新品种草莓，新培育的草莓单果质量 $ξ$ （单位：g）近似服从正态分布 $N (50, 4)$ ，现有该新品种草莓10000个，估计其中单果质量超过 $52g$ 的草莓有个．
附：若 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X \leq μ + σ) = 0.6826, P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) = 0.9544$ ．

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7、已知曲线 $C : x^{2} y + \frac{y^{3}}{5} = y$ ，点 $F_{1} (0, - 2), F_{2} (0, 2)$ ，则（）

A、当P为C上的动点时， $|P F_{1}| + |P F_{2}|$ 的取值范围是 $[4, + \infty)$ B、当P为C上的动点时， $||P F_{1}| - |P F_{2}||$ 的取值范围是 $[0, 4]$ C、存在直线 $l : y = m x - 3 (m > 3)$ ，使得l与C的所有交点的横坐标可以构成等比数列 D、存在直线 $l : y = m x - 3 (m > 2)$ ，使得l与C的所有交点的横坐标之和为 $\frac{7}{m}$

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8、某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60名学生的短跑成绩合格.这100名学生中有45名学生每周的锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周的锻炼时间超过5小时.现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周的锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为 $\frac{5}{6}$ ，每周的锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为 $\frac{3}{4}$ .用频率代替概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训，依据小概率 $α = 0.005$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验，零假设为 $H_{0}$ ：学生短跑成绩合格与每周锻炼时间相互独立，则下列结论正确的是（）
参考公式与数据： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.01
0.005
0.001
$x_{a}$
6.635
7.879
10.828

A、可以推断 $H_{0}$ 成立，即认为学生短跑成绩合格与每周锻炼时间超过5小时无关 B、可以推断 $H_{0}$ 不成立，即认为学生短跑成绩合格与每周锻炼时间超过5小时有关 C、学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率为 $\frac{37}{48}$ D、学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率为 $\frac{27}{37}$

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9、已知各项均为正数的等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前4项和为30，且 $a_{4} = 3 a_{2} + 2 a_{1}$ ，则（）

A、 $a_{1} = 2$ B、公比为2 C、 $a_{2} = 8$ D、 $a_{3} = 8$

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10、若 ${(x - 1)}^{n} (n \in N^{*})$ 的展开式各项系数的绝对值之和为512，则 ${(x + 1)}^{8} {(x - 1)}^{n}$ 的展开式中 $x^{11}$ 的系数为（）

A、 $- 56$ B、56 C、 $- 70$ D、70

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11、刻画空间弯曲性是空间几何研究的重要内容，我们常用曲率来刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于 $2 π$ 与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面角的角度用弧度制）．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为 $\frac{π}{3}$ ，则其各个顶点的曲率均为 $2 π - 3 \times \frac{π}{3} = π$ ．若正四棱锥 $S - A B C D$ 的侧面与底面的夹角的正切值为 $\sqrt{2}$ ，则四棱锥 $S - A B C D$ 在顶点S处的曲率为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $π$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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12、已知 $F$ 是抛物线 $C$ ： $x^{2} = 4 y$ 的焦点， $M$ 是 $C$ 上一点， $|M F| = 3$ ，则 $M$ 到 $y$ 轴的距离为（）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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13、给定一个数列 $\{a_{n}\}$ ，记 $b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ ，则把数列 $\{b_{n}\}$ 称为 $\{a_{n}\}$ 的一阶差数列.若数列 $\{c_{n}\}$ 的一阶差数列 $\{t_{n}\}$ 的通项公式为 $t_{n} = n + 2^{n - 1}, c_{1} = 1$ ，则 $c_{9} =$ （）

A、556 B、557 C、292 D、291

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14、直线 $l$ ： $x + y + m = 0$ 与圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 16$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $|A B| = 4 \sqrt{2}$ ，则 $m =$ （）

A、 $\pm 2$ B、 $\pm 2 \sqrt{2}$ C、 $\pm 4$ D、 $\pm 4 \sqrt{2}$

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15、已知某商店 $1 \sim 7$ 月份月利润 $y$ （单位：万元）关于其对应的月份代码 $x$ （ $1 \sim 7$ 月份的月份代码依次为 $1 \sim 7$ ）的经验回归方程为 $\hat{y} = 0.525 x + \hat{a}$ ，且 $\bar{y} = 3.6$ ，则 $\hat{a} =$ （）

A、3.6 B、1.5 C、1.4 D、1.8

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16、某天小李要坐动车或高铁从广州出发去北京，已知当天动车的车次有2个，高铁的车次有10个，则小李当天从广州出发去北京的车次的选择共有（）

A、2种 B、10种 C、12种 D、20种

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17、科技创新成为全球经济格局关键变量，某公司为实现1600万元的利润目标，准备制定一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到600万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金 $y$ （单位：万元）随投资收益 $x$ （单位：万元）的增加而增加，奖金总数不低于20万元，且奖金总数不超过投资收益的 $10 %$ .

(1)、现有① $f (x) = 0.02 x + 5$ ；② $f (x) = {0.2}^{x} + 10$ ；③ $f (x) = 10 \log_{2} x - 50$ 三个奖励函数模型.结合函数的性质及已知条件.当 $x \in [600, 1600]$ 时，判断哪个函数模型符合公司要求？

(2)、根据（1）中符合公司要求的函数模型，要使奖金达到50万元，公司的投资收益至少为多少万元？

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18、函数 $y = \sqrt{1 - \tan (x - \frac{π}{4})}$ 的定义域为（）

A、 $(k π, k π + \frac{π}{4}]$ ， $k \in Z$ B、 $(k π, k π + \frac{π}{2}]$ ， $k \in Z$ C、 $(k π - \frac{π}{4}, k π + \frac{π}{2}]$ ， $k \in Z$ D、 $(k π - \frac{π}{4}, k π + \frac{π}{4}]$ ， $k \in Z$

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19、如图， $△ A B C$ 斜二测画法的直观图是 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ， $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的面积为 $6$ ，那么 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $12 \sqrt{2}$ B、 $24 \sqrt{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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20、若实数x，y满足 $- 2 < x < - 1$ ， $3 < y < 5$ ，则 $y - x$ 的取值范围是.

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$α$	0.01	0.005	0.001
$x_{a}$	6.635	7.879	10.828