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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 共线，且 $|\vec{a}| = 2 |\vec{b}| = 2$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ ．

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2、如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，Q是棱 $D D_{1}$ 上的动点，则下列说法正确的是（）

A、不存在点Q，使得 $C_{1} Q // A_{1} C$ B、存在点Q，使得 $C_{1} Q ⊥ A_{1} C$ C、对于任意点Q，Q到 $A_{1} C$ 的距离的取值范围为 $[\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{3}]$ D、对于任意点Q， $△ A_{1} C Q$ 都是钝角三角形

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3、下图是我国2018~2023年纯电动汽车销量统计情况，下列说法正确的是（）

A、我国纯电动汽车销量呈现逐年增长趋势 B、这六年销量的第60百分位数为536.5万辆 C、这六年增长率最大的为2019年至2020年 D、2020年销量高于这六年销量的平均值

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4、下列命题中正确的是（）

A、已知复数 $z = a + b i, a, b \in R$ ，则当且仅当 $a = 0$ 时 $z$ 为纯虚数 B、已知复数 $a^{2} - 4 + (a + 2) i (a \in R)$ 为实数，则 $a = - 2$ C、已知复数 $z = - 2 i$ ，则 $|z| = 2$ D、已知复数 $z = - 1 + 2 i$ ，则复数 $z$ 在复平面内对应的点在第四象限

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5、如图，在三棱锥 $P - A B C$ ， $△ P A C$ 是以AC为斜边的等腰直角三角形，且 $C B = 2 \sqrt{2}$ ， $A B = A C = \sqrt{6}$ ，二面角 $P - A C - B$ 的大小为 $120 °$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的外接球表面积为（）

A、 $\frac{5 \sqrt{10}}{3} π$ B、 $10 π$ C、 $9 π$ D、 $(4 + 2 \sqrt{3}) π$

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6、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量 $\vec{m} = (a, b)$ 与 $\vec{n} = (\cos A, \sin B)$ 平行．若 $c = 2$ ， $b = \sqrt{2}$ ，则BC边上的中线AD为（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{10}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$

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7、如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A B$ $∥$ $D C, A B = 2 D C, E, F$ 分别为 $D C, C B$ 的中点，若 $\vec{A C} = x \vec{A E} + y \vec{A F}$ ，其中 $x, y \in R$ ，则 $x + y$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{6}{5}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{8}{5}$

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8、已知一组数据： $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}$ 的平均数是10，方差是4，则 $2 x_{1} + 1, 2 x_{2} + 1, 2 x_{3} + 1$ ， $2 x_{4} + 1, 2 x_{5} + 1, 2 x_{6} + 1$ 的方差是（）

A、16 B、14 C、12 D、18

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9、设 $a, b$ 是两条不同的直线， $α$ 是平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $a / / b, b \subset α$ ，则 $a / / α$ B、若 $a / / α, b \subset α$ ，则 $a / / b$ C、若 $a / / b, a / / α, b ⊄ α$ ，则 $b / / α$ D、若 $a / / α, b / / α$ ，则 $b / / a$

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10、已知 $\vec{a} = (2, 1), \vec{b} = (- 3, 4)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(\frac{6}{5}, - \frac{8}{5})$ B、 $(- \frac{6}{25}, \frac{8}{25})$ C、 $(\frac{3}{25}, - \frac{4}{25})$ D、 $(\frac{6}{25}, - \frac{8}{25})$

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11、若 $sin θ = - \frac{4}{5}, tan θ > 0$ ，则 $cos θ =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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12、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 3 x + b (b \in R)$ 有极小值 $- 7$ .
（1）求实数b的值；
（2）求f（x）在区间 $[- 3, 4]$ 上的最大值和最小值.

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{a_{n} + 3} (n \in N^{*})$
（1）证明：数列 $\{\frac{1}{a_{n}} + \frac{1}{2}\}$ 是等比数列
（2）若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = \frac{n (3^{n} - 1)}{2^{n}} \cdot a_{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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14、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $S_{n}$ 为其前n项和， $2 + a_{5} = a_{6} + a_{3}$ ，则 $S_{7} =$ .

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15、若 $\sin θ + \cos θ = \frac{1}{5}$ ，且 $θ \in (0, π)$ ，则 $\sin (π + θ) + \sin (\frac{π}{2} + θ) =$ .

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16、在三棱锥 $S - A B C$ 中，平面 $S A C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $S A ⊥ A C$ ， $B C ⊥ A C$ ， $S A = 6$ ， $A C = \sqrt{21}$ ， $B C = 8$ ，则 $S B$ 的长为（）

A、 $8$ B、 $9$ C、 $11$ D、 $12$

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17、若 $x, y \in R$ ，则 $\{\begin{array}{l} x > 2 \\ y > 2 \end{array}$ 是 $\{\begin{array}{l} x + y > 4 \\ x y > 4 \end{array}$ 成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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18、设等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{2} = 2, a_{5} = 16$ ，则 $S_{10} =$ （）

A、1023 B、511 C、 $- 1023$ D、 $- 511$

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19、某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会．已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为 $\frac{2}{7}$ ；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为 $\frac{1}{2}$ ，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为 $\frac{1}{3}$ ．记该顾客第n次摸球抽中奖品的概率为 $P_{n}$ ．

(1)、求 $P_{2}$ 的值，并探究数列 $\{P_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程．

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20、在实验室中，研究某种动物是否患有某种传染疾病，需要对其血液进行检验．现有 $n (n \in N^{*})$ 份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需要检验n次；二是混合检验，将其中k（ $k \in N^{*}$ 且 $k \geq 2$ ）份血液样本分别取样混合在一起检验，如果检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份究竟哪些为阳性，就需要对它们再次取样逐份检验，那么这k份血液的检验次数共为 $k + 1$ 次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的．且每份样本是阳性结果的概率为 $\frac{1}{3}$ ．

(1)、假设有5份血液样本，其中只有2份血液样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检测出来的概率；

(2)、假设有4份血液样本，现有以下两种方案：
方案一：4个样本混合在一起检验；
方案二：4个样本平均分为两组，分别混合在一起检验．
若检验次数的期望值越小，则方案越优．
现将该4份血液样本进行检验，试比较以上两个方案中哪个更优？

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