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相关试卷

1、已知曲线 $y = ln x + x + 1$ ，则该曲线在 $x = 1$ 处的切线方程为

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2、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点 $P (1, m)$ 到焦点 F 的距离为2，又过点 F 的直线交抛物线 C 于 A，B 两点，则下列说法正确的是（）

A、抛物线C方程为： $y^{2} = 4 x$ B、设 $Q (3, 2)$ ，则 $△ Q A F$ 周长的最小值为 $4 + 2 \sqrt{2}$ C、若 $\vec{B F} = \vec{F A}$ ，则直线AB的倾斜角为 $60^{°}$ D、x 轴上存在一点N，使 $k_{A N} + k_{B N}$ 为定值

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3、南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有 $1$ 个球，第二层有 $3$ 个球，第三层有 $6$ 个球，…，设各层球数构成一个数列 ${a_{n}}$ ，且 $a_{1} = 1$ ，数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则正确的选项是（）．

A、 $a_{n + 1} = a_{n} + n + 1$ B、 $a_{100} = 4950$ C、 $S_{n} = \frac{2 n}{n + 1}$ D、 $a_{n} > S_{n}$

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4、某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．则（）

A、估计该年级学生成绩的众数为75 B、 $a = 0.05$ C、估计该年级学生成绩的75百分位数约为85 D、估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50

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5、已知圆台下底面的正底面在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为1，则圆台的体积为（）

A、 $5 \sqrt{3} π$ B、 $7 \sqrt{3} π$ C、 $\frac{7 \sqrt{3}}{3} π$ D、 $\frac{5 \sqrt{3}}{3} π$

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6、已知 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前 n 项和，且 $a_{8} < 0$ ， $a_{7} + a_{11} > 0$ ，则（）

A、 $a_{9} < 0$ B、 $S_{n}$ 的最小值为 $S_{8}$ C、数列 ${a_{n}}$ 为递减数列 D、 $S_{18} < 0$

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7、从集合 ${1, 2, 3, 4, 5}$ 中依次不放回的任取两个数，记事件 $A =$ “第一次取出的数字是1”，事件 $B =$ ”取出的两个数之和为7”，下列说法不正确的是（）

A、 $P (A) = \frac{1}{5}, P (B) = \frac{1}{5}$ B、 $A \cap B$ 为不可能事件 C、事件 A，B 相互独立 D、 $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$

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8、已知点 $A (1, 0)$ ， $B (2, 2)$ ， $O$ 为坐标原点，向量 $\vec{A C} = 4 \vec{C B}$ ，则 $\vec{O A} \cdot \vec{O C}$ =（）

A、 $\frac{9}{5}$ B、 $\frac{8}{5}$ C、 $- \frac{9}{5}$ D、 $- \frac{8}{5}$

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9、若 $\sin (\frac{3 π}{8} - x) = \frac{2}{3}$ ，且 $0 < x < \frac{π}{2}$ ，则 $\sin (\frac{π}{8} + x) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{5}}{3}$

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10、集合 $A = \{x | y = \sqrt{1 - x^{2}}\}, B = \{y | y = 2 \sin x + 1\}$ . 则 $A \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $[- 1, 1]$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $(1, + \infty)$

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11、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为正数，其前n项的积为 $T_{n}$ ，记 $b_{1} = T_{1}$ ， $b_{n} = \sqrt[n]{T_{n}} (n \geq 2)$ .
（1）若数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列，数列 $\{b_{n}\}$ 为等差数列，求数列 $\{a_{n}\}$ 的公比.
（2）若 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ，且 $n a_{n}_{- 1} - (n - 1) a_{n} = a_{n}_{- 1} a_{n}, (n \geq 3)$
①求数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式.
②记 $c_{n} = \ln b_{n}$ ，那么数列 $\{c_{n}\}$ 中是否存在两项 $c_{s}, c_{t}$ ，（s，t均为正偶数，且 $s < t$ ），使得数列 $c_{s}$ ， $c_{8}$ ， $c_{t}$ ，成等差数列？若存在，求s，t的值；若不存在，请说明理由.

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12、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的虚轴长为4，直线 $2 x - y = 0$ 为双曲线 $C$ 的一条渐近线.
（1）求双曲线 $C$ 的标准方程；
（2）记双曲线 $C$ 的左､右顶点分别为 $A$ ， $B$ ，斜率为正的直线 $l$ 过点 $T (2, 0)$ ，交双曲线 $C$ 于点 $M$ ， $N$ (点 $M$ 在第一象限)，直线 $M A$ 交 $y$ 轴于点 $P$ ，直线 $N B$ 交 $y$ 轴于点 $Q$ ，记 $△ P A T$ 面积为 $S_{1}$ ， $△ Q B T$ 面积为 $S_{2}$ ，求证： $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 为定值.

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13、如图，已知四边形 $A B C D$ 与 $E F A D$ 均为直角梯形，平面 $A B C D ⊥$ 平面EFAD， $A B ⊥ B C$ ， $A F ⊥ A D$ ， $M$ 为 $B F$ 的中点， $A F = A B = B C = 2 C D = 2 D E = 2$ .

(1)、证明： $C$ ， $E$ ， $F$ ， $M$ 四点共面；

(2)、求平面 $A M C$ 与平面 $A D E$ 夹角的余弦值.

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14、设函数 $f (x) = (x + a) \ln x$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 为增函数，求 $a$ 的取值范围.

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15、在平面直角坐标系xOy中，已知点 $M (1, 0)$ ， $N (5, - 3)$ ， $P$ 是直线 $4 x - 3 y - 12 = 0$ 上任意一点，则 $\vec{O P} \cdot \vec{M N} =$ ．

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16、如图，四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面是正方形， $A B = 2 A_{1} B_{1} = 2 A_{1} A = 4$ ， $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C D$ .动点 $P$ 满足 $B P ⊥ C C_{1}$ ，则下列判断正确的是（）

A、点 $P$ 可能在直线 $A A_{1}$ 上 B、点 $P$ 可能在直线 $B_{1} D_{1}$ 上 C、若点 $P$ 在底面 $A B C D$ 内，则三棱锥 $A - P B_{1} D_{1}$ 的体积为定值 D、若点 $P$ 在棱 $C_{1} C$ 上，则 $\frac{C_{1} P}{C P} = \frac{1}{2}$

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17、已知函数 $f (x) = \sin (2 x + φ)$ 在 $x \in (0, \frac{π}{3})$ 时满足 $f (x) > \frac{1}{2}$ 恒成立，且在区间 $(0, \frac{3 π}{2})$ 内，仅存在三个数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3} (x_{1} < x_{2} < x_{3})$ ，使得 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3}) = m$ ，则 $\frac{x_{1}}{2} + x_{2} + \frac{x_{3}}{2} =$ （）

A、 $\frac{7 π}{6}$ B、 $\frac{3 π}{2}$ C、 $\frac{11 π}{6}$ D、 $\frac{13 π}{6}$

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18、设 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 交椭圆于 $A$ 、 $B$ 两点， $l$ 在 $y$ 轴上的截距为 $1$ ，若 $|A F_{1}| = 2 |F_{1} B|$ ，且 $A F_{2} ⊥ x$ 轴，则此椭圆的长轴长为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $5$ D、 $\frac{5}{2}$

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19、在ABC中， $A B = 3$ ， $\vec{B D} = \vec{D C}$ ， $\vec{A E} = 2 \vec{E C}$ ， $A D$ 与BE的交点为 $O$ ，若 $\vec{A O} \cdot \vec{B C} = - 2$ ，则 $A C$ 的长为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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20、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，则“ $m = 4$ ”是“ $a_{2} + a_{m} + a_{9} = 3 a_{5}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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