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相关试卷

1、设 $x_{1}$ 为函数 $f (x)$ 的任一零点， $x_{2}$ 为函数 $g (x)$ 的任一零点，若 $|x_{1} - x_{2}| \leq 1$ ，则称函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 是“零点近距函数”．

(1)、已知函数 $f (x) = 2 \cos \frac{π}{3} x + 1 (x \in (0, 3)), g (x) = \log_{3} x - 1$ ，判断 $f (x)$ 与 $g (x)$ 是否为“零点近距函数”，并说明理由；

(2)、设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2 x + 2, x \leq 0 \\ x^{2} + x - 2, x > 0 \end{array}, g (x) = 4^{x} + 2^{x} + a$ ，求证： $f (x)$ 与 $g (x)$ 是“零点近距函数”的充要条件为 $a = - 2$ ；

(3)、若函数 $f (x) = \sqrt{x + 1} - \ln \frac{1 - a}{x} - \sqrt{2 - a} (x \in (0, + \infty))$ 与 $g (x) = e^{x - a} + x - 1 - a$ 是“零点近距函数”，求实数a的取值范围．

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2、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $∠ B A D = 60 °$ ， $△ P A D$ 是正三角形，E为线段 $A D$ 的中点，F为线段 $P C$ 的中点．

(1)、求证： $P A / /$ 平面 $B D F$ ；

(2)、求证： $B C ⊥$ 平面 $P E B$ ；

(3)、若平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，求异面直线 $P D$ 与 $B F$ 所成角的余弦值．

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3、已知向量 $\vec{a} = (2 \cos x, - 1), \vec{b} = (\sqrt{3} \sin x, \cos 2 x)$ ，设函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的对称中心；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[0, \frac{2}{3} π]$ 上的值域．

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4、对200个电子元件的寿命（单位：h）进行追踪调查，情况如下：
寿命 $/h$
$[100, 200)$
$[200, 300)$
$[300, 400)$
$[400, 500)$
$[500, 600]$
个数
20
30
80
40
30

(1)、估计元件的寿命在 $[300, 400)$ （单位：h）内的概率；

(2)、估计元件的寿命在 $400h$ 以上的概率．

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5、已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ， $|\vec{a}| = 4$ .对于任意的 $λ \in R$ ， $|\vec{a} + λ \vec{b}| \geq |\vec{a} - 2 \vec{b}|$ 恒成立，则 $|\vec{b}| =$ ， $|x \vec{a} - \vec{b}| + |x \vec{a} - 3 \vec{b}| (x \in R)$ 的最小值为.

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6、已知数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{10}$ 的平均数为2，那么数据 $2 x_{1} + 3, 2 x_{2} + 3, \dots, 2 x_{10} + 3$ 的平均数为．

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7、在斜三角形 $A B C$ 中， $\cos A = \sin B$ ，则（）

A、角B为钝角 B、 $\sin A = \cos B$ C、若 $b = 1$ ，则 $a = \tan A$ D、 $\cos A + \cos B + \cos C$ 的最大值为 $\frac{5}{4}$

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8、已知 $A C$ 为圆锥 $P O$ 底面圆的直径，母线 $P A$ 与圆锥底面所成角为 $\frac{π}{6}$ ，母线 $P A$ ， $P B$ 互相垂直， $P A = 2$ ，则（）

A、圆锥的侧面积为 $2 \sqrt{3} π$ B、三棱锥 $P - A B C$ 的体积为 $2 \sqrt{2}$ C、二面角 $P - A B - O$ 的大小为 $\frac{π}{4}$ D、圆锥的外接球体积为 $\frac{32}{3} π$

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9、下列选项中，正确的是（）

A、若两个相等的非零向量的起点相同，侧它们的终点可能不同 B、若向量 $\vec{a} = \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ C、若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ 或 $\vec{a} = - \vec{b}$ D、若非零向量 $\vec{A B}$ 与 $\vec{A C}$ 共线，则 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点共线

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10、已知定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足对任意的正数 $x$ ， $y$ ，都有 $f (x) + f (y) = f (x y)$ ，若 $f (\frac{1}{9}) + f (\frac{1}{5}) = 6$ ，则 $f (2025) =$ （）

A、12 B、6 C、 $- 6$ D、 $- 12$

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11、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足 $c = 3$ ， $(2 a - b) \cos C = c \cos B$ ，则 $△ A B C$ 外接圆的半径为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、3 C、 $2 \sqrt{3}$ D、6

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12、设 $a = \lg 2$ ， $b = \lg 3$ ，则 $\log_{12} 10 =$ （）

A、 $2 a + b$ B、 $2 b + a$ C、 $\frac{1}{2 b + a}$ D、 $\frac{1}{2 a + b}$

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13、已知m，n是两条不同的直线， $α, β$ 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $α ∥ β$ ， $m ∥ α$ ，则 $m ∥ β$ B、若 $α ∥ β$ ， $n \subset α$ ，则 $n ∥ β$ C、若 $m ⊥ n$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m ∥ α$ D、若 $α ⊥ β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m ⊥ n$

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14、样本数据5，5，6，7，9的80百分位数为（）

A、 $6.5$ B、7 C、8 D、9

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15、函数 $f (x) = x^{3}$ 的奇偶性为（）

A、奇函数 B、偶函数 C、既是奇函数又是偶函数 D、既不是奇函数又不是偶函数

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16、若集合 $U = {- 1, 2, 3, 6}$ ， $N = {- 1, 6}$ ，则 $∁_{U} N =$ （）

A、 ${- 1, 3}$ B、 ${- 1, 6}$ C、 ${2, 3}$ D、 ${2, 6}$

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17、已知复数 $z = 1 + 2 i$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{3}$ C、5 D、1

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18、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $A B C D$ ⊥平面 $P C D$ ，底面 $A B C D$ 为正方形， $E, F$ 分别为 $A D, P C$ 的中点，设平面 $P C D \cap$ 平面 $P B E = l$ ．

(1)、求证： $B C ⊥ D F$ ；

(2)、求证： $D F / / l$ ；

(3)、若 $P D ⊥ C D$ ，二面角 $P - B C - D$ 的大小为 $30 °$ ，求 $P B$ 与底面 $A B C D$ 所成角的正弦值．

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19、已知函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2 x + \frac{1}{2} \cos 2 x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{3}]$ 上的最值.

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20、在 $△ A B C$ 中，角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别为 $a 、 b 、 c$ ，已知 $a = \sqrt{3}, b = 1, c = \sqrt{7}$ ．

(1)、求角C的大小；

(2)、求 $\sin (A + C)$ 的值．

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寿命 $/h$	$[100, 200)$	$[200, 300)$	$[300, 400)$	$[400, 500)$	$[500, 600]$
个数	20	30	80	40	30