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相关试卷

1、已知 $a > 0, b > 0, c > 0, a + 2 b + 2 a b = 3, \frac{(a + 2) (c + 1)}{3 (a + 1)} + \frac{c + 1}{6 b + 3} + \frac{4}{c + 2}$ 的最小值为.

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2、如图，等边 $△ A B C$ 的边长为4， $D$ 为边 $A B$ 的中点，将 $△ A B C$ 沿 $C D$ 折成三棱锥 $A_{1} - B C D$ ， $A_{1}$ ， B，C，D都在球 $O$ 的球面上．记 $A_{1} C$ ， $A_{1} D$ ， $A_{1} B$ 与平面 $B C D$ 所成的角分别为 $α_{1}$ ， $β_{1}$ ， $γ_{1}$ ，平面 $A_{1} D C$ ， $A_{1} D B$ ， $B D C$ 与平面 $A_{1} B C$ 所成的角分别为 $α_{2}$ ， $β_{2}$ ， $γ_{2}$ ，则（）

A、 $C D$ 与 $A_{1} B$ 所成的角为定值 B、球 $O$ 的表面积的最大值为 $20 π$ C、 $\frac{2}{\tan β_{1}} \neq \frac{1}{\tan α_{1}} + \frac{1}{\tan γ_{1}}$ D、存在点 $A_{1}$ 使得 $α_{2} = β_{2} = γ_{2}$

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3、已知函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x) = {(x - 1)}^{3} + 2 (x - 1)$ ，下列判断正确的是（）

A、函数 $f^{'} (x)$ 关于 $(1, 0)$ 中心对称，函数 $f (x)$ 关于 $x = 1$ 轴对称 B、在复数范围内方程 $f^{'} (x) = 0$ 有三个根，且三个根的和为3 C、 $0 < x < 1$ 时， $f (x) < f (x^{2})$ D、四次函数 $g (x) = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e (a \neq 0)$ 必为轴对称函数

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4、已知函数 $f (x) = e^{x} - x - 1, g (x) = m (e^{x} - x - 1 - 2 m) (e^{x} - x + m + 2)$ ，对任意 $x \in [1, + \infty)$ ，都有 $g (x) < 0$ ，且存在 $x_{0} \in (- \infty, - 1)$ ，使得 $g (x_{0}) > 0$ ，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(1, e)$ B、 $(- 1 - e, - \frac{1}{e})$ C、 $(- 1 - e, - 3 - \frac{1}{e})$ D、 $(- e, - \frac{1}{e})$

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5、只用1，2，3这三个数字组成一个五位数，规定这三个数字必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数共有（）

A、30个 B、36个 C、42个 D、48个

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6、已知 $⊙ C$ 的半径为 $1$ ，直线 $l : a x + 2 b y + 3 c = 0$ 恒过点 $C$ ，且 $a, b, c$ 成等差数列，过点 $P (2, - 1)$ 作 $⊙ C$ 的切线，则点 $P$ 到切点的距离为（）

A、 $2$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $3$

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7、曲线 $y = e^{- 2 x} + 1$ 在点 $(0, 2)$ 处的切线与直线 $y = 0$ 和 $y = x$ 围成的三角形的面积为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、1

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8、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{a} + \vec{b}| = 2$ ，且 $(\vec{b} - \vec{a}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $|\vec{b}| =$ （）

A、 $1$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2$

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9、若复数 $z$ 满足 $z (1 + 2 i) = - 3 + 4 i$ （ $i$ 是虚数单位），则复数 $z$ 的虚部是（）

A、1 B、2 C、 $i$ D、 $2 i$

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10、设全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x | |x - 2| \leq 1\}$ ， $B = \{x | x \geq 2\}$ ，则集合 $A \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 $(1, 2)$ B、 $(1, 2]$ C、 $[1, 2)$ D、 $[1, 2]$

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11、如图，正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，E、F、G分别为棱 $A B$ 、 $B C$ 、 $B_{1} C_{1}$ 的中点．

(1)、证明： $B_{1} E$ ∥平面 $A C G$ ；

(2)、在线段 $C C_{1}$ 是否存在一点 $N$ ，使得平面 $N E F$ ∥平面 $A_{1} B C_{1}$ ？若存在，请指出并证明；若不存在，请说明理由．

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12、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = \sqrt{2}$ ， $|\vec{b}| = 1$ ， $\vec{a} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 1$ ．

(1)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角；

(2)、若 $\vec{c} = 2 \vec{a} - \vec{b}$ ， $\vec{d} = \vec{a} + 2 \vec{b}$ ，求 $|\vec{c} + 2 \vec{d}|$ ．

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13、设 $x \in R$ ，向量 $\vec{a} = (x, 1)$ ， $\vec{b} = (\sqrt{3}, - 3)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x =$ ；当 $t \in [- 1, 2]$ 时， $|t \vec{a} + \vec{b}|$ 的取值范围为．

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14、紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶､石瓢壶､潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台（其他因素忽略不计），如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位： $cm$ ），那么该壶的侧面积约为 ${cm}^{2}$ .

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15、下列说法正确的有（）

A、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 是单位向量，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ B、若非零向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 是相反向量，则 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ C、 $|\vec{a} \cdot \vec{b}| \leq |\vec{a}| |\vec{b}|$ D、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线， $\vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 共线，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{c}$ 共线

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16、如图，平行四边形ABCD中，M是BC中点，N是CD上靠近点D的三等分点，若 $\vec{A B} = λ \vec{A M} + μ \vec{A N}$ （ $λ$ ， $μ \in R$ ），则 $λ + μ$ 的值为（）

A、 $- \frac{9}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{9}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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17、已知 $|\vec{O A}| = \sqrt{2}$ ， $|\vec{O B}| = \sqrt{6}$ ，且 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ 的夹角为 $\frac{5 π}{6}$ ，则 $\vec{A B}$ 在 $\vec{O B}$ 上的投影向量为（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2} \vec{O B}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2} \vec{O B}$ C、 $- \frac{3}{2} \vec{O B}$ D、 $\frac{3}{2} \vec{O B}$

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18、如图， $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 是水平放置的 $△ A B C$ 的斜二测直观图， $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 为等腰直角三角形，其中 $O^{'}$ 与 $A^{'}$ 重合， $A^{'} B^{'} = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积是（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、 $4 \sqrt{2}$

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19、在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦函数 $\sinh (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ，双曲余弦函数 $\cosh (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ， $e$ 是自然对数的底数（ $e = 2.71828$ …）

(1)、解方程 $\sinh (x) \cdot \cosh (x) = 1$ ；

(2)、求不等式 $\cosh (2 x - 1) - \cosh (x - 2) < 0$ 的解集；

(3)、对于任意 $x_{1} \in [0, \ln 3]$ ，总存在 $x_{2} \in R$ ，使不等式 $\cosh (x_{2}) + \sinh (x_{1}) \leq a$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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20、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin x \cos x + \cos^{2} x - \frac{1}{2}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $f (x_{0}) = \frac{1}{3}, x_{0} \in [0, \frac{π}{2}]$ ，求 $\cos 2 x_{0}$ 的值；

(3)、若 $f (x)$ 的图象与直线 $y = a$ 在区间 $(0, \frac{7}{6} π)$ 上恰有三个交点，其横坐标分别为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，求 $x_{1} + x_{2} + x_{3}$ 的取值范围．

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