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相关试卷

1、甲乙两人进行投篮，抛硬币决定谁先投篮，并约定：一人先投篮，若未命中，则换为对方投篮；若后投篮者还没命中，则由先投篮者再投篮，如此往复下去直到有人命中为止，先命中者胜，比赛结束.已知甲的命中率为 $α$ ，乙的命中率为 $β$ ，且甲乙是否命中相互独立.

(1)、假设 $α = 0.7$ ， $β = 0.6$ ，求第2次投篮后比赛结束的概率；

(2)、已知甲先投篮，求甲获胜的概率；

(3)、从最终获胜的角度出发，根据 $α$ 与 $β$ 的大小关系，判断先投篮者的优势是否更大？说明理由.

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2、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x} + a (x - 1)}{x^{2}}$ （ $x > 0$ ， $a \in R$ ）.

(1)、当 $a = - e$ 时，求证： $x^{2} f (x) \geq e$ ；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(3)、当 $x \geq 1$ 时， $f (x) \geq e$ ，求a的取值范围.

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ 且 $a_{n + 2} = 2 S_{n} + 2$ （ $n \in N^{*}$ ）.

(1)、若 $\{a_{n}\}$ 为等比数列，求公比q的值；

(2)、若 $a_{2} = 2$ ，
（ⅰ）证明：数列 $\{a_{n + 1} + a_{n}\}$ 为等比数列；
（ⅱ）求数列 $\{\frac{2 n + 1}{a_{n}}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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4、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 3$ ， $A D = A A_{1} = \sqrt{3}$ ， $\vec{D_{1} C_{1}} = 3 \vec{D_{1} E}$ .

(1)、求证： $A E ⊥ B_{1} D_{1}$ ；

(2)、求直线 $B_{1} D_{1}$ 与平面 $A B E$ 所成角的正弦值.

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5、一袋子中有大小相同的10个小球，其中有3个白球，7个黑球.现从中依次摸出2个球，记摸到白球的个数为X.

(1)、若采用不放回摸球，求X的分布列；

(2)、若采用有放回摸球，求X的数学期望与方差.

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6、在棱长为1个单位的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，一个质点在随机外力的作用下从顶点 $A_{1}$ 出发，每隔1秒等可能地沿着棱移动1个单位，移动的方向是随机的.设第n秒（ $n \in N^{*}$ ）后，质点位于平面ABCD的概率为 $p_{n}$ ，则 $p_{2} =$ ， $p_{n} =$ .

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7、已知直线 $y = x + 2$ 与曲线 $y = \ln (x + a)$ 相切，则 $a$ =.

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8、 ${(1 + x)}^{6}$ 展开式中 $x^{3}$ 的系数为.（用数字作答）

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9、已知函数 $f (x) = x^{3} + (a + 1) x^{2} + a x + (a - 1)$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 有两个极值点 B、函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 单调递增 C、 $\exists a \in R$ ，函数 $f (x)$ 恰有两个零点 D、 $\forall a \geq 2$ ，函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, 0)$ 上有最大值

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{n} = \frac{n - 2}{2 n - 15} (n \in N^{*})$ ，则（）

A、数列 $\{a_{n}\}$ 是递减数列 B、当且仅当 $n = 7$ 时， $a_{n}$ 取得最小值 C、数列 $\{S_{n}\}$ 是递减数列 D、当且仅当 $n = 7$ 时， $S_{n}$ 取得最小值

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11、设随机变量 $X ~ N (μ_{1}, σ_{1}^{2})$ ，随机变量 $Y ~ N (μ_{2}, σ_{2}^{2})$ ，其正态密度曲线如图所示，则（）

A、 $μ_{1} < μ_{2}$ B、 $P (X \geq μ_{1}) > P (X \geq μ_{2})$ C、 $σ_{1} > σ_{2}$ D、 $P (Y \geq σ_{1}) > P (Y \geq σ_{2})$

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12、某工厂近两年投产高新电子产品，第一个月产量为1000台，合格品率为80%，以后每月的产量在前一个月的基础上提高20%，合格品率比前一个月增加1%.已知第n个月（ $n \in N^{*}$ ，且 $n \leq 12$ ）生产合格品首次突破5000台，则n的值为（参考数据： ${1.2}^{8} \approx 4.3$ ）（）

A、8 B、9 C、10 D、11

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13、某海湾一固定点处大海水深d与时间t之间的关系为 $d (t) = 10 + 4 \cos (\frac{π}{6} t)$ ，则该处水位变化速度的最大值是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、4

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14、某车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 $5$ 次实验，收集数据如表所示：
零件个数/个
$10$
$20$
$30$
$40$
$50$
加工时间 $/ \min$
$62$
$y_{2}$
$75$
$81$
$89$
根据计算可知加工时间 $(y)$ 关于零件数 $(x)$ 的一元线性回归方程为 $\hat{y} = 0.67 x + 54.9$ ，则 $y_{2} =$ （）

A、 $65$ B、 $65.3$ C、 $68$ D、 $68.3$

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15、学校组织学生参加劳动基地实践活动，将 $4$ 名学生分配到整地做畦、作物移栽和藤架搭建 $3$ 个项目进行劳动技能训练，每名学生只分配到 $1$ 个项目，每个项目至少分配 $1$ 名学生，则不同的分配方案共有（）

A、 $24$ 种 B、 $36$ 种 C、 $48$ 种 D、 $72$ 种

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16、已知 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和， $S_{3} = 6$ ， $S_{6} = 3$ ，则 $a_{9} =$ （）

A、 $- 9$ B、 $- 5$ C、3 D、6

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17、已知正方形 $A B C D$ 的边长为 $1$ ， $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{B D} = \vec{c}$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| =$ （）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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18、复数 $\frac{2}{1 - i}$ 的共轭复数是（）

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $- 1 - i$ D、 $- 1 + i$

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19、已知集合 $A = \{x |- 4 < x \leq 1\}$ ， $B = \{x |- 1 < x < 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x |- 4 < x < 3\}$ B、 $\{x |- 1 < x < 1\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{x |- 1 < x \leq 1\}$

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20、已知集合 $A = \{x \in N | \frac{1}{x - 2} > 0\}$ ，则集合 $∁_{U} A$ 的子集的个数为（）

A、3 B、4 C、7 D、8

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零件个数/个	$10$	$20$	$30$	$40$	$50$
加工时间 $/ \min$	$62$	$y_{2}$	$75$	$81$	$89$