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相关试卷

1、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点，过 $F_{1}$ 作斜率为 $\frac{1}{2}$ 的直线交 $C$ 于点 $A$ ，且 $A$ 在第一象限，若 $|O A| = |O F_{1}|$ （ $O$ 为坐标原点），则 $C$ 的离心率为.

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2、已知 $(1 - x + x^{2}) {(1 + x)}^{10} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{12} x^{12}$ ，则 $a_{3} =$ .（用数字作答）

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3、已知函数 $f (x) = tan (\frac{π}{2} x - \frac{π}{3})$ ，则 $f (x)$ 的最小正周期为.

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4、胆式瓶创于南宋龙泉窑，康熙时期以郎红釉胆式瓶为贵.如图是18世纪的窑变红釉胆瓶，其优美的造型可看作图中曲线 $C$ 的一部分.已知曲线 $C$ 上的点到 $(0, 4)$ 的距离与到 $y$ 轴的距离之积为6，若曲线 $C$ 上的点 $M (x_{0}, y_{0})$ 在第一象限，则（）

A、 $x_{0}$ 的最大值为 $\sqrt{6}$ B、 $y_{0} < 4 + \frac{6}{x_{0}}$ C、曲线 $C$ 的内接矩形的面积最大值为24 D、一个胆式瓶的剖面图可近似看作曲线 $C$ （ $0 < y < 12$ ），若一正四面体可在胆式瓶内任意转动（忽略胆式瓶的厚度），则该正四面体棱长的最大值为4

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5、已知函数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ ，则（）

A、当 $a b = 1$ 时， $f (a) = f (b)$ B、当 $0 < a < b < 1$ 时， $f (a) > f (b)$ C、当 $- 1 < a < 0$ 且 $\frac{1}{a} < b < a$ 时， $f (a) > f (b)$ D、当 $b > 1$ 且 $\frac{1}{b} < a < b$ 时， $f (a) < f (b)$

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6、已知直线 $l$ ： $x - 2 y + 1 = 0$ 和圆 $C$ ： ${(x - a)}^{2} + y^{2} = 1$ ，则（）

A、当 $l$ 与圆 $C$ 相切时， $a = \sqrt{5} - 1$ B、当 $l$ 为圆 $C$ 的一条对称轴时， $a = - 1$ C、当 $a = 2$ 时， $l$ 与圆 $C$ 没有公共点 D、当 $a = - 2$ 时， $l$ 被圆 $C$ 截得的弦长为 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

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7、已知 $\frac{\sin (2 α + β)}{\sin α} - 2 \cos (α + β) = \frac{\cos β}{\cos α}$ ，则（）

A、 $cos (α - β) = - 1$ B、 $sin (α + β) = - \frac{1}{2}$ C、 $sin (α - β) = 0$ D、 $cos (α + β) = \frac{1}{2}$

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8、已知正四面体 $A B C D$ 的棱长为2，点 $E$ 是 $B C$ 的中点，点 $P$ 在正四面体表面上运动，并且总保持 $P E ⊥ B C$ ，则动点 $P$ 的轨迹周长为（）

A、4 B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $4 + \sqrt{3}$ D、 $2 + 2 \sqrt{3}$

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9、已知函数 $f (x + 1) - 1$ 是奇函数，则 $f (0) + f (2) =$ （）

A、2 B、1 C、 $- 1$ D、 $- 2$

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10、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $4 c^{2} + b^{2} = 4 a b \sin C$ ， $b = 1$ ，则 $△ A B C$ 的面积是（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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11、我国19岁射击运动员盛李豪在2024年巴黎奥运会上夺得了男子10米气步枪金牌，他在决赛的最后10枪成绩为10.9，10.7，10.4，10.0，10.5，9.8，10.7，9.9，10.5，10.6，则这10枪成绩的第40百分位数是（）

A、10.5 B、10.45 C、10.4 D、10.25

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12、已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是两个不共线的向量，若向量 $2 \vec{a} + 3 \vec{b}$ ， $x \vec{a} - 9 \vec{b}$ 共线，则 $x =$ （）

A、6 B、4 C、 $- 4$ D、 $- 6$

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13、已知 $z = \frac{2 - i}{1 + 2 i}$ ，则 $|z - 1| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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14、已知集合 $A = \{x | \log_{2} (x - 2) \leq 1\}$ ， $B = \{x | 2 x - a \leq 0\}$ ，且 $A \cap B = \{x |2 < x \leq 3\}$ ，则 $a =$ （）

A、6 B、3 C、 $- 3$ D、 $- 6$

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15、已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别为双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与圆 $O : x^{2} + y^{2}$ $= a^{2}$ 相切于点 $M$ ，且直线 $l$ 与双曲线 $E$ 及其渐近线在第二象限的交点分别为 $P, Q$ ，则下列说法正确的是（）

A、直线 $O M$ 是 $E$ 的一条渐近线 B、若 $|M F_{1}| = 3 |O M|$ ，则 $E$ 的渐近线方程为 $y = \pm x$ C、若 $|Q F_{2}| = 3 |M F_{2}|$ ，则 $E$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ D、若 $|P F_{2}| = 3 |M F_{2}|$ ，则 $E$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{13}}{2}$

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16、在 $△ A B C$ 中， $A B = 4, \sin C = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，点 $D$ 在线段 $A C$ 上， $A D = 3, B D = \sqrt{19}$ ，则 $B C =$ （）

A、3 B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{5}$ D、6

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17、帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数 $m, n$ ，函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的 $[m, n]$ 阶帕德近似定义为： $R (x) = \frac{a_{0} + a_{1} x + \cdot \cdot \cdot + a_{m} x^{m}}{1 + b_{1} x + \cdot \cdot \cdot + b_{n} x^{n}}$ ，且满足： $f (0) = R (0)$ ， $f^{'} (0) = R^{'} (0)$ ， $f^{″} (0) = R^{″} (0)$ ， ……， $f^{(m + n)} (0) = R^{(m + n)} (0)$ ，注： $f^{″} (x) = {[f^{'} (x)]}^{'}$ ， $f^{'''} (x) = {[f^{″} (x)]}^{'}$ ， $f^{(4)} (x) = {[f^{'''} (x)]}^{'}$ ， $f^{(5)} (x) = {[f^{(4)} (x)]}^{'}$ ， …….已知 $f (x) = ln (x + 1)$ ， $g (x) = \frac{a x^{2} + b x + c}{6 + 4 x}$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的 $[2, 1]$ 阶帕德近似为函数 $g (x)$ ，求实数 $b$ ， $c$ 的值；

(2)、若 $c = 0$ ，设函数 $h (x) = f (x) - g (x)$ ， $x = 0$ 是 $h (x)$ 的极大值点，求实数 $a$ 的取值范围．

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18、已知 $O$ 为坐标原点，点 $M$ ， $A$ ， $B$ 是抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上不同的三点，其中 $M (2, 2)$ ，点 $A$ 在第一象限，直线 $A B$ 与 $O M$ 平行，直线 $A O$ 与 $B M$ 交于点 $P$ ，直线 $A M$ 与直线 $O B$ 交于点 $Q$ ．

(1)、求抛物线 $C$ 的准线方程；

(2)、求直线 $P Q$ 的方程；

(3)、求 $\frac{| B P |}{| B Q |}$ 的最小值．

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19、如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ， $M$ 为 $D D_{1}$ 中点， $N$ 在线段 $C C_{1}$ 上， $M N / / A B / / A_{1} B_{1}$ ．

(1)、求证：平面 $A B N M ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} N M$ ；

(2)、求平面 $A B N M$ 与平面 $A M B_{1}$ 所成锐二面角的正弦值．

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20、已知函数 $f (x) = \frac{ln x}{x}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最大值；

(2)、若对于任意的 $x \in [\frac{1}{e}, e]$ ，都有 $x^{2} f (x) \leq a x - 1$ ，求实数 $a$ 的取值范围．
参考数据： $e = 2.71828 \cdot \cdot \cdot$ ．

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