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相关试卷

1、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $α$ 是第二象限角，且终边与单位圆交于点 $P (m, \frac{4}{5})$ .

(1)、求实数 $m$ 及 $tan α$ 的值；

(2)、求 $\frac{cos (- α) + cos (\frac{3}{2} π - α)}{sin (π - α) + sin (\frac{π}{2} + α)}$ 的值.

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2、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} sin x, x \leq 0 \\ x^{2} - 2 x + 2 a + 5, x > 0 \end{array}$ 在 $(a, + \infty)$ 上有4个不同零点，则实数 $a$ 的取值范围是.

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3、玉璜，是一种佩戴饰物.在中国古代，玉璜与玉琮、玉璧、玉圭、玉璋、玉琥等总称为“六瑞”，被《周礼》
一书称为是“六器礼天地四方”的玉礼器，多作为宗教礼仪挂饰.现有一弧形玉璜呈扇环形，已知 $A D = 4$ ，弧 $A B$ 长为 $2 π$ ，弧 $C D$ 长为 $π$ ，此玉璜的面积为.

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4、若 $ln ({log}_{2} m) = 0$ ，则 $m =$ .

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5、已知正实数 $x$ 、 $y$ 满足 $\{\begin{array}{l} x^{4} = 1 + x \\ y^{8} = 3 x + y \end{array}$ ，则（）

A、 $y > 1$ B、 $x < \frac{5}{4}$ C、 $y^{2} < \sqrt{2}$ D、 $y < x$

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6、已知函数 $f (x) = sin (cos x) - cos (sin x)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 图象有对称轴 C、 $f (x)$ 是周期函数 D、 $f (1) < 0$

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7、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 4$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $2^{a} \cdot 2^{b} = 16$ B、 $\sqrt{a b} \leq 2$ C、 ${log}_{2} a + {log}_{2} b \geq 2$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 1$

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8、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数， $g (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且 $f (x)$ ， $g (x)$ 在 $(- \infty, 0]$ 上单调递增，则下列不等关系恒成立的是（）

A、 $g (g (1)) > g (g (2))$ B、 $g (f (1)) < g (f (2))$ C、 $f (g (1)) > f (g (2))$ D、 $f (f (1)) > f (f (2))$

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9、已知函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 中心对称的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数，则函数 $f (x) = \frac{1}{2^{x} - 1}$ 图象的对称中心是（）

A、 $(1, 1)$ B、 $(2, \frac{1}{3})$ C、 $(0, - \frac{1}{2})$ D、 $(0, \frac{1}{2})$

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10、已知函数 $f (x) = 2^{x} + x - 1$ ， $g (x) = {log}_{2} x + x - 1$ ， $h (x) = x^{3} + x - 1$ 的零点分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小顺序为（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $c > a > b$ D、 $b > a > c$

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11、函数 $f (x) = {(x + 1)}^{2} (x - 2)$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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12、下列不等关系成立的是（）

A、 $3^{- 0.3} > 2^{0.1}$ B、 ${log}_{2} 3 > {log}_{3} 2$ C、 $sin \frac{π}{3} > tan \frac{π}{4}$ D、 $cos \frac{π}{2} > cos (- \frac{π}{3})$

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13、“ $x > 0$ ”是“ $e^{x} > 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14、已知幂函数 $f (x)$ 的图象过点 $(2, \sqrt{2})$ ，则 $f (9) =$ （）

A、 $- 3$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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15、已知集合 $A = \{1, 2, 3\}$ ， $B = \{0, 2, 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0\}$ B、 $\{2\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{0, 1, 2, 3, 4\}$

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16、设 $a$ ， $b \in N^{*}$ ，定义： $(a, b)$ 为 $a$ ， $b$ 的最大公约数， $[a, b]$ 为 $a$ ， $b$ 的最小公倍数，且具有以下性质：① $(a, b) \cdot [a, b] = a b$ ；②当 $b > a$ 时， $(a, b) \leq b - a$ .

(1)、已知数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式分别为 $a_{n} = 2^{n + 1}$ ， $b_{n} = 8 n + 4$ ，其中 $n \in N^{*}$ ，令 $c_{n} = [a_{n}, b_{n}]$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、已知有限数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} \in N^{*}$ ，且 $1 < a_{1} < a_{2} < a_{3} < \cdot \cdot \cdot < a_{n} < t$ （ $t$ 为给定常数）.若对 $\forall i \in N^{*}$ ，且 $1 \leq i \leq n - 1$ （ $n \geq 2$ ， $n \in N^{*}$ ）时，都有 $[a_{i}, a_{i + 1}] \leq t$ .
（ⅰ）当 $a_{n} \geq 2 a_{n - 1}$ 时，证明： $t > 2 n$ ；
（ⅱ）证明： $\frac{1}{[a_{1}, a_{2}]} + \frac{1}{[a_{2}, a_{3}]} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{[a_{n - 1}, a_{n}]} < \frac{1}{2}$ .

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17、已知点 $A (\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 是椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）上一点， $E$ 的焦距为2.

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、过 $E$ 的右焦点作斜率不为0的直线 $l$ ，交 $E$ 于 $P$ ， $Q$ 两点， $A_{1}$ ， $A_{2}$ 是 $E$ 的左、右顶点，记直线 $A_{1} P$ ， $A_{2} Q$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ .
（ⅰ）求 $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 的值；
（ⅱ）设 $G$ 为直线 $A_{1} P$ 与直线 $A_{2} Q$ 的交点，记 $△ G P Q$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ G A_{1} A_{2}$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最小值.

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18、已知函数 $f (x) = x - a \ln x - a$ （ $a \neq 0$ ）.

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) + e \geq 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

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19、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $A D = C D = 2 A B = 4$ ， $∠ B A D = 90 °$ ，侧面 $P A D$ 是正三角形，侧面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $M$ 是 $P D$ 的中点.

(1)、求证： $A M / /$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求平面 $P B C$ 与平面 $M B C$ 的夹角的余弦值.

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20、甲、乙两选手进行乒乓球比赛，采用5局3胜制，假设每局比赛甲获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙获胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ，且每局比赛结果相互独立.

(1)、求赛完4局且乙获胜的概率；

(2)、若规定每局获胜者得2分，负者得 $- 1$ 分，记比赛结束时甲最终得分为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望.

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