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相关试卷

1、已知N为偶数，给定数列 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{N}$ ，记为 $A_{0}$ ，对 $A_{0}$ 作如下变换：
①将 $A_{0}$ 中的奇数项取出，按原顺序构成新数列的前 $\frac{N}{2}$ 项；
②将 $A_{0}$ 中的偶数项取出，按原顺序构成新数列的第 $\frac{N}{2} + 1$ 项到第N项.
称上述操作为T变换，构成的新数列为 $A_{1}$ ，记 $A_{1} = T (A_{0})$ ，定义 $A_{k}$ 为操作k次后得到的新数列，即 $A_{k} = T (A_{k - 1}) = T^{k} (A_{0})$ ， $k = 1, 2, \dots$ ，其中 $A_{k} (i)$ 表示数列 $A_{k}$ 中的第i项.

(1)、若 $a_{n} = n, (n = 1, 2, \dots, 8)$ ，求 $A_{1} (2)$ ， $A_{2} (2)$ ， $A_{3} (2)$ ；

(2)、令 $N = 2^{m}$ ， $m \in N^{*}$ ，其中数列 $A_{0}$ 的各项互不相同，记 $C_{i} = \{A_{k} (i) |k \in N^{*}\}$ ，规定 $|C_{i}|$ 为集合C的元素个数：
（i）求 $|C_{2}|$ ；
（ii）求不超过10的最大正整数m，满足 $|C_{2}| = |C_{3}| = \dots = |C_{2^{m} - 1}|$ .

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2、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ， $F$ 为 $C$ 的焦点， $l$ 为 $C$ 的准线 $A, B$ 是 $C$ 上两点，且 $O A ⊥ O B$ （O为坐标原点），过 $O$ 作 $O D ⊥ A B$ ，垂足为D，点D的坐标为 $(6, 2 \sqrt{3})$ .

(1)、求C的方程；

(2)、在C上是否存在点 $P$ ，使得过F的任意直线交C于S，T两点，交l于M，直线 $P S, P M, P T$ 的斜率均成等差数列？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，说明理由.

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3、在 $2 \times 2$ 列联表（表一）的卡方独立性检验中， $χ^{2} = \sum_{1 \leq i \leq 2, 1 \leq j \leq 2} \frac{{(A_{i, j} - B_{i, j})}^{2}}{B_{i, j}}$ ，其中 $A_{i, j}$ 为第i行第j列的实际频数，如 $A_{1, 2} = b$ ，而 $B_{i, j} =$ 第i行的行频率 $\times$ 第j列的列频率 $\times$ 总频数，为第i行第j列的理论频数，如 $B_{1, 2} = \frac{a + b}{a + b + c + d} \times \frac{b + d}{a + b + c + d} \times (a + b + c + d)$ .
a
b
c
d
10
20
30
40
（表一）
（表二）

(1)、求表二 $2 \times 2$ 列联表的 $χ^{2}$ 值；

(2)、求证：题干中 $χ^{2} = \sum_{1 \leq i \leq 2, 1 \leq j \leq 2} \frac{{(A_{i, j} - B_{i, j})}^{2}}{B_{i, j}}$ 与课本公式 $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (a + c) (b + d) (c + d)}$ 等价，其中 $n = a + b + c + d$ .

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4、已知 $f (x) = - e^{x} + a x$ ， $g (x) = 2 x + b \sin x$ ， $a \in R$ ， $b \in R$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $a = - 1$ ，曲线 $y = f (x)$ 的任意一条切线，都存在曲线 $y = g (x)$ 的某条切线与它垂直，求实数b的取值范围.

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5、如图，在斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A A_{1} B_{1} B ⊥$ 底面 $A B C$ ，侧棱 $A A_{1}$ 与底面 $A B C$ 成 $60 °$ 的角， $A A_{1} = 2$ ．底面 $A B C$ 是边长为2的正三角形，其重心为G点，E是线段 $B C_{1}$ 上一点，且 $\vec{B E} = \frac{1}{3} \vec{B C_{1}}$ ．

(1)、求证： $G E / /$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ ；

(2)、求平面 $B_{1} G E$ 与平面 $A B C$ 夹角的正切值．

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6、若存在实数 $α \in R$ 使得 $\sqrt{5 + 4 \cos α} - \sqrt{\cos^{2} α + {(\sin α - \frac{1}{2})}^{2}} \geq m$ ，则实数 $m$ 的取值范围为.

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7、若函数 $f (x) = (x^{2} - 2 x + a) sin (a x - \frac{π}{3}) (a \in N^{*})$ 在 $[0, 4]$ 上恰有2个零点，则符合条件的a为.

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8、已知直线 $l : y - k x - 2 = 0$ 与圆 $C : x^{2} - 2 x + y^{2} = 0$ 相交，则实数k的取值范围为．

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9、已知函数 $f (x) = a x^{3} - 3 x^{2} - 1$ ，则下列命题中正确的是（）

A、 $- 1$ 是 $f (x)$ 的极大值 B、当 $- 1 < a < 0$ 时， $f (a - 1) > f (a)$ C、当 $a > 2$ 时， $f (x)$ 有且仅有一个零点 $x_{0}$ ，且 $x_{0} < 2$ D、若 $f (x)$ 存在极小值点 $x_{1}$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，其中 $x_{1} \neq x_{2}$ ，则 $x_{1} + 2 x_{2} = 0$

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10、已知方程 $x^{n} = 1$ 在复数范围内有n个根，且这n个根在复平面上对应的点将单位圆n等分.下列复数是方程 $x^{18} = 1$ 的根的是（）

A、1 B、i C、 $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i$ D、 $\cos 80 ° + i \sin 80 °$

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11、下列说法中，正确的是（）

A、数据 $4, 1, 6, 2, 9, 5, 8$ 的第 $60$ 百分位数为 $9$ B、已知随机变量 $ξ ~ N (0, σ^{2})$ ，若 $P (ξ > 2) = 0.2$ ，则 $P (- 2 \leq ξ \leq 2) = 0.6$ C、样本点 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, 3, \dots)$ 的经验回归方程为 $\hat{y} = 3 x + \hat{a}$ ，若样本点 $(m, 3)$ 与 $(2, n)$ 的残差相等，则 $3 m + n = 9$ D、 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ 和 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ ， $y_{4}$ 的方差分别为 $S_{1}^{2}$ 和 $S_{2}^{2}$ ，若 $x_{i} + y_{i} = 10$ 且 $x_{i} < y_{i} (i = 1, 2, 3, 4)$ ，则 $S_{1}^{2} < S_{2}^{2}$

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12、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线与双曲线 $C$ 左支交于 $P$ ， $Q$ 两点， $Q, R$ 两点关于 $y$ 轴对称，且 $|F P| : |F R| : |F Q| = 10 : 5 : 2$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{29}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{29}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{19}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{19}}{3}$

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13、正四棱台侧棱长为 $5 \sqrt{2}$ ，上下底面边长分别为 $3 \sqrt{2}$ 和 $4 \sqrt{2}$ ，所有顶点在同一球面上，则正四棱台的外接球表面积是（）

A、 $25 π$ B、 $100 π$ C、 $\frac{500 π}{3}$ D、 $500 π$

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14、某教学楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，某同学从二楼到三楼准备用7步恰好走完，则第二步走两级台阶的概率为（）

A、 $\frac{3}{10}$ B、 $\frac{7}{10}$ C、 $\frac{3}{7}$ D、 $\frac{4}{7}$

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15、已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{11} = 11 (a_{5} + 2)$ ，则 $a_{11} - a_{5} =$ （）

A、4 B、8 C、10 D、12

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16、设 $a, b$ 为正实数，则“ $a > b$ ”是“ $2025^{a} > \log_{2025} b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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17、函数 $f (x) = sin (2 x + \frac{π}{2})$ 是（）

A、最小正周期为 $2 π$ 的奇函数 B、最小正周期为 $2 π$ 的偶函数 C、最小正周期为 $π$ 的奇函数 D、最小正周期为 $π$ 的偶函数

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18、已知集合 $A = {1, 2}$ ， $B = {x \in R |{log}_{2} (x - 1) \leq 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${1}$ B、 ${2}$ C、 ${1, 2}$ D、 $\emptyset$

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19、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，且 $2 b c sin 2 A = b^{2} + c^{2} - a^{2}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 外接圆的半径是1，求 $△ A B C$ 面积的取值范围.

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20、设函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin x \cos x + \cos^{2} x + a$ ．
（1）写出函数 $f (x)$ 的最小正周期及单调递减区间；
（2）当 $x \in [- \frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ 时，函数 $f (x)$ 的最大值与最小值的和为 $\frac{3}{2}$ ，求不等式 $f (x) > 1$ 的解集．

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