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相关试卷

1、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $P B = P D = 4, ∠ P D A = \frac{π}{3}, M$ 是 $C D$ 的中点， $A M = \sqrt{5}$ .

(1)、证明：平面 $P A M ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $N$ 是棱 $P B$ 上靠近点 $B$ 的三等分点，求直线 $C D$ 与平面 $A M N$ 所成角的正弦值.

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2、已知函数 $f (x) = a^{x} - {log}_{a} x (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 与函数 $g (x) = ln ({log}_{a} x) - x ln a (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 有两个不同交点，则 $a$ 的取值范围是.（其中 $e$ 为自然对数的底数）

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3、成都石室中学举办校庆文艺展演晚会，设置有一个“传奇”主会场和“传承”，“扬辉”两个分会场.现场需要安排含甲、乙的六名安全员负责现场秩序安全，其中“传奇”主会场安排三人，剩下三人安排去“传承”，“扬辉”两个分会场（每个分会场至少安排一人）.若要求甲、乙两人不在同一个会场开展工作，则不同的安排方案有种.

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4、请写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式 $f (x) =$ .① $f (2 - x) = f (x)$ ；② $f (x)$ 至少有两个零点；③ $f (x)$ 有最小值.

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5、数学中有许多形状优美的曲线，如图，曲线 $E : x^{2} + {(y - |x|)}^{2} = 1$ 与 $x$ 轴交于 $A, B$ 两点，与 $y$ 轴交于 $C, D$ 两点， $P$ 是 $E$ 上一个动点，则下列说法正确的有（）

A、 $|A B| < |C D|$ B、曲线 $E$ 恰好经过3个整点（即横、纵坐标均为整数的点） C、 $△ P A B$ 面积的最大值为1 D、满足 $|P C| + |P D| = 2 \sqrt{3}$ 的点 $P$ 有且只有2个

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6、泊松分布是一种离散型概率分布，常用于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数，其概率分布列为 $P (X = k) = \frac{λ^{k}}{k!} e^{- λ} (k = 0, 1, 2, \dots)$ ，其中 $e$ 为自然对数的底数， $λ$ 是泊松分布的均值.当二项分布的 $n$ 很大 $(n \geq 2000)$ 而 $p$ 很小 $(p \leq 0.05)$ 时，泊松分布可作为二项分布的近似，且 $λ$ 取二项分布的期望.假设每个大肠杆菌基因组含有10000个核苷酸对，采用 $0.05 J / m^{2}$ 紫外线照射大肠杆菌时，每个核苷酸对产生嘧啶二体的概率均为0.0005，设大肠杆菌的基因组产生的嘧啶二体个数为 $Y, P (Y = k)$ 表示经该种紫外线照射后产生 $k$ 个嘧啶二体的概率.已知 $Y$ 近似服从泊松分布，当产生的嘧啶二体个数不小于1时，大肠杆菌就会死亡，则下列说法正确的有（）

A、 $λ = 5$ B、 $P (Y \geq 2) = 1 - 5 e^{- 5}$ C、大肠杆菌经该种紫外线照射后，存活的概率为 $e^{- 5}$ D、经该种紫外线照射后产生10个嘧啶二体的概率最大

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7、如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2, A B = A D = 2 \sqrt{3}, E$ 是侧面 $A A_{1} D_{1} D$ 的中心， $F$ 是底面 $A B C D$ 的中心，点 $M$ 在线段 $A D$ 上运动，则下面选项正确的是（）

A、直线 $E F$ 与 $A_{1} B$ 平行 B、四面体 $M - A_{1} B C$ 的体积为定值 C、点 $E$ 到平面 $A_{1} B C$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、异面直线 $E F$ 与 $A_{1} C$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$

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8、直观想象是数学六大核心素养之一，现有大小完全相同的10个半径为 $r$ 的小球，全部放进棱长为 $8 + 4 \sqrt{6}$ 的正四面体盒子中，则 $r$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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9、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 2 sin 2 x, x \neq \frac{π}{3} + k π, k \in Z, \\ tan x, x = \frac{π}{3} + k π, k \in Z, \end{matrix}$ 若方程 $f (x) = \sqrt{3}$ 在 $(0, m]$ 上恰有4个不同实根，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{4 π}{3}, \frac{13 π}{6})$ B、 $(\frac{4 π}{3}, \frac{13 π}{6}]$ C、 $[\frac{13 π}{6}, \frac{7 π}{3})$ D、 $(\frac{13 π}{6}, \frac{7 π}{3}]$

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10、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知圆 $C : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ ，点 $A (4, 0)$ ，若圆 $C$ 上存在点 $M$ ，满足 $| M A |^{2} + | M O |^{2} = 10$ ，则 $r$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \sqrt{5} + 1]$ B、 $[\sqrt{5} - 1, \sqrt{5} + 1]$ C、 $(0, \sqrt{5} - 1]$ D、 $[\sqrt{5} + 1, + \infty)$

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11、已知正项等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\frac{a_{1} + a_{3} + \dots + a_{2 n - 1}}{a_{3} + a_{5} + \dots + a_{2 n + 1}} = \frac{n}{n + 2} (n \in N^{*})$ ，则 $\frac{a_{4050}}{a_{2}} =$ （）

A、4050 B、2025 C、4048 D、2024

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12、已知 $|z - 1| = |z - i| (z \neq 0)$ ，则在复平面内 $\frac{\bar{z} + z}{z}$ 所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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13、 ${(x + \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中系数最大的项为（）

A、第3项 B、第4项 C、第5项 D、第6项

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14、已知平面向量 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ 且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ，两个非零向量 $\vec{m} = x \vec{a} + \vec{b}, \vec{n} = (3 x - 2) \vec{a} - \vec{b}$ ，若 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ，则实数 $x$ 的值为（）

A、1 B、 $- \frac{1}{3}$ C、1或 $- \frac{1}{3}$ D、 $- 1$ 或 $\frac{1}{3}$

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15、已知集合 $A = \{x ∣ x + 1 \leq 0\}$ ， $B = \{x ∣ x^{2} + x - 2 < 0\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x ∣ x < 1}$ B、 ${x ∣ - 2 < x < 1}$ C、 $\{x ∣ x > - 2\}$ D、 ${x ∣ - 2 < x \leq - 1}$

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16、为激发户外运动爱好者健身热情，增进群众健身获得感、幸福感. 某市体育部门随机抽取200名群众进行每天体育运动时间的调查，按照时长(单位：分钟)分成6组：[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90]. 处理后绘制了如下图的频率分布直方图.

(1)、求图中 $a$ 的值；

(2)、求运动时长在[50，70)的样本群众人数；

(3)、估计该市群众每天体育运动时间的众数、平均数、中位数(保留1位小数).

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17、如图所示，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，点F是PC的中点，AC交BD于点O，PA $⊥$ 底面ABCD，ED $/ /$ PA，且 $P A = 2 E D = 2$ .

(1)、证明：OF $/ /$ 平面PAB ；

(2)、证明：BD $⊥$ 平面PAC ；

(3)、若 $∠ A B C = 60 °$ ，求三棱锥 $E - P A C$ 的体积.

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18、已知在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{2} = 3$ ， $a_{4} + a_{6} = 18$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{2}{n (a_{n} + 3)}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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19、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $a^{2} + c^{2} - b^{2} = a c$ .

(1)、求角 $B$ 的值；

(2)、若 $b = \sqrt{6}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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20、（1）求函数 $f (x) = \frac{l n (x^{2} + 3 x - 18)}{\sqrt{x - 5}}$ 的定义域；
（2）已知直线 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ $(a > 0, b > 0)$ 过点 $(2, 1)$ ，求 $a + 2 b$ 的最小值.

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