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相关试卷

1、已知 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $a_{2} = 6$ ， $a_{5} = 15$ ，记 $b_{n} = a_{3^{n}} (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、在 $b_{n}$ 与 $b_{n + 1}$ 之间插入n个数，使这 $n + 2$ 个数组成一个公差为 $d_{n}$ 的等差数列，
（i）求数列 ${\frac{1}{d_{n}}}$ 的前n项和 $T_{n};$
（ii）在数列 $\{d_{n}\}$ 中是否存在3项 $d_{m}$ ， $d_{k}$ ， $d_{p} ($ 其中m，k，p成等差数列 $)$ 成等比数列?若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.

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2、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ ，点 $P (2, 1)$ 在双曲线C上.

(1)、求C的方程；

(2)、过点 $M (- 1, 0)$ 的直线l交双曲线C的左支于A，B两点，记直线PA，PB的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，是否存在常数 $λ$ ，使得 $k_{1} + k_{2} = λ k_{1} k_{2}$ 恒成立?若存在，求 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由.

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3、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = \frac{π}{2}$ ， $A B = A C = 2$ ， $B B_{1} = 3$ ， E为 $A B$ 的中点，点F满足 $\vec{C F} = λ \vec{C C_{1}}$ ，其中 $λ \in (0, 1)$

(1)、若 $E F / /$ 平面 $A_{1} B C_{1}$ ，求 $λ$ 的值；

(2)、当 $λ = \frac{1}{3}$ 时，求平面 $A_{1} B C_{1}$ 与平面 $A E F$ 夹角的余弦值.

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4、在平面直角坐标系中，圆 $C_{1}$ 经过点 $M (3, 1)$ ，且与圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 2 x - 8 y + 12 = 0$ 相切于点 $N (3, 3) .$

(1)、求直线 $C_{2} N$ 的方程；

(2)、求圆 $C_{1}$ 的标准方程.

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5、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，点 $P_{1} (1, - 2)$ 在C上，k为常数， $k > 0.$ 按照如下方式依次构造点 $Q_{n - 1}$ 和 $P_{n} (n = 2 ， 3 ， \dots) :$ 过点 $P_{n - 1}$ 作斜率为k的直线与C的另一交点为 $Q_{n - 1}$ ，过点 $Q_{n - 1}$ 作斜率为 $- k$ 的直线与C的另一交点为 $P_{n}$ ，记 $P_{n}$ 的坐标为 $(x_{n}, y_{n})$ ， $Q_{n}$ 的坐标为 $(a_{n}, b_{n})$ ，直线 $P_{n} P_{n + 1}$ 的斜率为 $k_{n}$ ，则 $k_{2025} b_{2025} =$ .

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6、任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上 $1;$ 若是偶数，就将该数除以 $2.$ 反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈 $1 \to 4 \to 2 \to 1.$ 这就是数学史上著名的“冰雹猜想” $($ 又称“角谷猜想”等 $) .$ 如取正整数 $m = 8$ ，根据上述运算法则得出 $8 \to 4 \to 2 \to 1$ ，共需经过3个步骤变成 $1 ($ 简称为3步“雹程” $) .$ 现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = m (m$ 为正整数 $)$ ， $a_{n + 1} = {\begin{matrix} \frac{a_{n}}{2} ，当 a_{n} 为偶数时 \\ 3 a_{n} + 1 ，当 a_{n} 为奇数时 \end{matrix}$ ，当 $m = 20$ 时，使得 $a_{n} = 1$ 需要步雹程.

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7、在空间直角坐标系中，已知平面 $α$ 的法向量为 $\vec{a} = (4, 2, - 2 k)$ ，平面 $β$ 的法向量为 $\vec{b} = (k - 3, - 1, 1)$ ，若 $α / / β$ ，则实数k的值为.

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8、四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为正方形， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P D = 1$ ， $A D = \sqrt{2}$ ， $\vec{P M} = λ \vec{C B}$ ， $\vec{P N} = λ \vec{A B}$ ，其中 $λ \neq 0$ ，下列说法正确的是（）

A、存在实数 $λ$ ，使得异面直线 $B P$ 与 $M N$ 的所成角为 $\frac{π}{3}$ B、三棱锥 $B - M C D$ 的体积为 $\frac{1}{3}$ C、直线 $P B$ 与平面 $M C D$ 所成角的正弦值的最大值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ D、二面角 $B - M N - D$ 的最大值为 $\frac{π}{2}$

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9、等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为 $q$ ，且满足 $a_{1} > 1$ ， $a_{100} a_{101} > 1$ ， $(a_{100} - 1) (a_{101} - 1) < 0$ ，记 $T_{n} = a_{1} a_{2} a_{3} \dots a_{n}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $0 < q < 1$ B、 $a_{100} a_{102} - 1 > 0$ C、 $T_{n} \geq T_{100}$ D、使 $T_{n} < 1$ 成立的最小自然数 $n$ 等于 $201$

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10、下列说法正确的是（）

A、圆 $x^{2} + y^{2} + 4 x + 4 y = 0$ 的半径为 $2 \sqrt{2}$ B、椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ C、双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的实轴长为2 D、抛物线 $y^{2} = x$ 的焦点坐标为 $(\frac{1}{4}, 0)$

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11、定义 $m a x {a, b} = \{\begin{cases} a, a \geq b ， \\ b, a < b . \end{cases}$ 若数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n} = λ n^{2} + (10 + λ) n (λ \neq 0, n \in N^{*})$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 1$ ， $2^{n} (b_{n + 1} - b_{n}) = b_{n} b_{n + 1}$ ，令 $c_{n} = m a x {a_{n}, b_{n}}$ ，且 $c_{n} \geq c_{3}$ 恒成立，则实数 $λ$ 的取值范围是（）

A、 $[- 3, - \frac{1}{2}]$ B、 $[- \frac{3}{2}, - \frac{1}{3}]$ C、 $[- \frac{2}{3}, - \frac{1}{2}]$ D、 $[- 3, - \frac{2}{3}]$

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12、已知A，B为圆 $C : {(x - m)}^{2} + y^{2} = 4$ 上的两个动点，且 $|A B| = 2 \sqrt{3}$ ，若直线 $y = 2 x - m$ 上存在点P，且P为线段AB的中点，则实数m的取值范围是（）

A、 $[- 2 ， 2]$ B、 $[- \sqrt{5} ， \sqrt{5}]$ C、 $[- 2 \sqrt{3} ， 2 \sqrt{3}]$ D、 $[- 2 \sqrt{5} ， 2 \sqrt{5}]$

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13、已知二面角 $α - l - β$ 的大小为 $60^{\circ}$ ，棱l上有A，B两点，线段AC与BD分别在这个二面角的两个半平面内，并且线段AC与BD都垂直于 $l .$ 若 $A B = 5$ ， $A C = 3$ ， $B D = 6$ ，则CD的长为（）

A、 $2 \sqrt{13}$ B、 $2 \sqrt{17}$ C、 $2 \sqrt{21}$ D、 $2 \sqrt{22}$

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14、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， P为C上一点，满足 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，则 $| P F_{1} | | P F_{2} | =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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15、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 3$ ， $a_{2} + a_{3} = 12$ ，则 $S_{5} =$ （）

A、9 B、15 C、24 D、35

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16、经过点 $P (1, 2)$ 且倾斜角为 $\frac{π}{2}$ 的直线方程是（）

A、 $x = 1$ B、 $x = 2$ C、 $y = 1$ D、 $y = 2$

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17、北湖生态公园有两条散步路线，分别记为路线 $A$ 和路线 $B$ .公园附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线 $A$ 的居民第二天选择路线 $A$ 和路线 $B$ 的概率均为 $\frac{1}{2}$ ；前一天选择路线 $B$ 的居民第二天选择路线 $A$ 和路线 $B$ 的概率分别为 $\frac{3}{4}$ 和 $\frac{1}{4}$ .已知居民第一天选择路线 $A$ 的概率为 $\frac{1}{3}$ ，选择路线 $B$ 的概率为 $\frac{2}{3}$ .

(1)、若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线 $A$ 散步的人数为 $Y$ ，求 $Y$ 的分布列及期望；

(2)、若某居民每天都去公园散步，记第 $n$ 天选择路线 $A$ 的概率为 $P_{n}$ .
（i）请写出 $P_{n + 1}$ 与 $P_{n} (n \in N^{*})$ 的递推关系；
（ii）设 $M_{n} = \frac{16}{|15 P_{n} - 9|} - 4$ ，求证： $\frac{n}{4} - 1 < \frac{M_{1}}{M_{2}} + \frac{M_{2}}{M_{3}} + \dots + \frac{M_{n}}{M_{n + 1}} < \frac{n}{4} (n \in N^{*})$ .

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18、已知双曲线 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 过点 $P (\sqrt{3}, \sqrt{6})$ ，渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{3} x$ .

(1)、求 $Γ$ 的方程；

(2)、已知点 $A (1, 0)$ ，过点 $Q (1, 2)$ 作动直线 $l$ 与双曲线右支交于不同的两点 $B, C$ ，在线段 $B C$ 上取异于点 $B, C$ 的点 $H$ .
（i）当 $H$ 为 $B C$ 中点时， $△ A Q H$ 的面积为7，求直线 $l$ 的斜率；
（ii）直线 $A B, A H, A C$ 分别与 $y$ 轴交于点 $D, E, F$ ，若 $E$ 为 $D F$ 中点，证明：点 $H$ 恒在一条定直线上.

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19、已知函数 $f (x) = (a - 1) ln x + x + \frac{a}{x}, a \in R$ ，若 $f (x)$ 只有唯一的极值且为极小值3.

(1)、求 $a$ ；

(2)、设 $g (x) = f (x) - x - \frac{2}{x}, x \in (0, e)$ ，若不等式 $\frac{m}{x^{2} (1 - g (x))} - 2 e^{n - 1} \geq 0, m \neq 0, n > 0$ 恒成立，求 $\frac{n}{m}$ 的最大值.

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20、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $2 \sqrt{3} cos \frac{A}{2} cos \frac{B + C}{2} = 1 + 2 {cos}^{2} \frac{A}{2}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $sin C (1 + cos B) = sin B (2 - cos C)$ ，求 $\frac{c}{b}$ 的值.

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