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相关试卷

1、数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ，对任意 $m, n \in N^{+}, a_{m + n} = a_{m} a_{n}$ ，若 $a_{k + 1} + a_{k + 2} + \dots + a_{k + 10} = 2^{15} - 2^{5}$ ，则 $k =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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2、如图所示，图中曲线方程为 $y = x^{2} - 1$ ，用定积分表达围成封闭图形（阴影部分）的面积是（）

A、 $|\int_{0}^{2} (x^{2} - 1) d x|$ B、 $\int_{0}^{2} (x^{2} - 1) d x$ C、 $\int_{0}^{2} |x^{2} - 1| d x$ D、 $\int_{0}^{1} (x^{2} - 1) d x + \int_{1}^{2} (x^{2} - 1) d x$

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3、3名同学报名参加社团活动，有4个社团可以报名，这些社团招收入数不限，但每位同学只能报名其中1个社团，则这3位同学可能的报名结果共有（）种.

A、6 B、24 C、64 D、81

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4、已知函数 $f (x) = - x^{2} + 8 x + a \ln x$ 在区间 $(4, + \infty)$ 上是减函数，则a的取值范围是（）

A、 $[0, + \infty)$ B、 $[- 1, + \infty)$ C、 $(- \infty, 0]$ D、 $(- \infty, 1]$

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $S_{n} = n^{2} + 3 n + 2$ ，则下列判断正确的是（）

A、数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列 B、 $a_{5} = 11$ C、数列 $\{S_{n}\}$ 存在最大值 D、数列 $\{\frac{1}{S_{n}}\}$ 存在最大值

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6、已知函数 $f (x) = {cos}^{2} x + \sqrt{3} sin x cos x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调增区间；

(3)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{2}{3} π]$ 上的值域．

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7、 $\vec{A B} + \vec{B D} + \vec{C B} - \vec{C D} =$ ．

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8、已知函数 $f (x) = x \ln x - a (x - 1)$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 在点 $(e, f (e))$ 上的切线方程.（其中e为自然对数的底数）

(2)、已知关于x的方程 $\frac{f (x)}{x} + a = a x + \frac{a}{x}$ 有两个不相等的正实根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ .
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）设k为大于1的常数，当a变化时，若 $x_{1}^{k} x_{2}$ 有最小值 $e^{e}$ ，求k的值.

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9、给出定义：设 $f^{'} (x)$ 是函数 $y = f (x)$ 的导函数， $f^{″} (x)$ 是函数 $y = f^{'} (x)$ 的导函数，若方程 $f^{″} (x) = 0$ 有实数解 $x_{0}$ ，则称 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 为函数 $y = f (x)$ 的.“固点”.经研究发现所有的三次函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ $(a \neq 0)$ 都有“固点”，且该“固点”也是函数 $y = f (x)$ 的图象的对称中心.根据以上信息和相关知识回答下列问题：已知函数 $f (x) = x^{3} + (3 a - 3) x^{2} + (6 a - 9 a^{2}) x - 5 a (a \in R)$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，试求 $y = f (x)$ 的对称中心.

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(3)、当 $a = 2$ 时， $f (x) = m$ 有三个不相等的实数根 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，当 $|x_{1} - x_{3}|$ 取得最大值时，求 $m$ 的值.

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10、计算机是20世纪最伟大的发明之一，计算机在进行计算和信息处理时，使用的是二进制．若将一个十进制数 $n (n \in N^{*})$ 表示为 $n = a_{0} \times 2^{k} + a_{1} \times 2^{k - 1} + a_{2} \times 2^{k - 2} + \dots + a_{k} \times 2^{0}$ ，其中 $a_{0} = 1$ ， $a_{i} \in \{0, 1\} (i = 1, 2, 3, \dots, k)$ 则其二进制为 ${(a_{0} a_{1} a_{2} \dots a_{k})}_{2} (k \in N)$ ，例如：自然数1在二进制中就表示为 ${(1)}_{2}$ ， 2表示为 ${(10)}_{2}$ ， 3表示为 ${(11)}_{2}$ ， 4表示为 ${(100)}_{2}$ ， 7表示为 ${(111)}_{2}$ ．记 $f (n)$ 为 $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}$ 中0的个数，如 $f (2) = 1, f (4) = 2, f (7) = 0$ ，则 $f (127) =$ ；从1到127这些自然数的二进制表示中 $f (n) = 2$ 的自然数有个．

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11、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，对任意 $x \in R$ ，有 $f^{'} (x) - f (x) > 0$ ，则不等式 $e^{x} f (x + 1) > e^{2} f (2 x - 1)$ 的解集是．

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12、下列不等式中，所有正确的是（）

A、 $4 tan \frac{1}{4} < 1$ B、 $tan (π - 2) > sin 2$ C、 $10 sin \frac{1}{10} > \frac{6}{π} sin \frac{π}{6}$ D、 $cos \frac{4}{5} < \frac{4}{5}$

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13、已知函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的定义域为R ， $g (x)$ 为偶函数， $g (x) = g (4 - x), f (x) = 1 - g^{'} (x)$ ，下列说法正确的是（）

A、函数 $g^{'} (x)$ 关于 $(2, 0)$ 对称 B、 $g^{'} (2022) = 0$ C、 $f (x)$ 关于点 $(2, 0)$ 对称 D、 $\sum_{k = 1}^{2024} f (k) = 2024$

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14、定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作 $a \equiv b (\mod m)$ ，比如： $35 \equiv 25 (\mod 10)$ ．已知： $n = C_{10}^{0} - C_{10}^{1} 10 + C_{10}^{2} 10^{2} - C_{10}^{3} 10^{3} + \dots + C_{10}^{10} 10^{10}$ ，满足 $n \equiv p (\mod 7)$ ，则p可以是（）

A、26 B、31 C、32 D、37

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15、已知函数 $f (x) = \frac{1}{4} x^{2} + \cos x$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，则 $f^{'} (x)$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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16、甲､乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为 $\frac{1}{3}$ ，乙命中目标的概率为 $\frac{1}{2}$ ，已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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17、已知函数 $f (x) = a {(\frac{1}{2})}^{|x|} + b$ 的图象过原点，且无限接近直线 $y = 2$ 但又不与该直线相交.则（）

A、 $f (x)$ 的解析式为 $f (x) = 2 {(\frac{1}{2})}^{| x |} - 2$ B、若 $f ({log}_{m} \frac{1}{2}) < f (- 1)$ （ $m > 0$ 且 $m \neq 1$ ），则实数 $m$ 的取值范围为 $(0, \frac{1}{2}) \cup (2, + \infty)$ C、函数 $g (x) = f (x) - 1$ 的零点为1， $- 1$ D、方程 $f^{2} (x) - 2 m f (x) + 1 = 0$ 有四个不同的实数根，求 $m$ 的取值范围为 $(1, \frac{5}{4})$

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18、已知x，y为正实数，且 $2 x + y = 1$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y}$ 的最小值为（）

A、2 $\sqrt{2}$ B、 $6 + 4 \sqrt{2}$ C、 $8 \sqrt{2}$ D、9

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19、如图所示，在直角梯形ABCD中， $B C // A D$ ， $A D ⊥ C D$ ， $B C = 2$ ， $A D = 3$ ， $C D = \sqrt{3}$ ，边AD上一点 $E$ 满足 $D E = 1$ ．现将 $△ A B E$ 沿BE折起到 $△ A_{1} B E$ 的位置，使平面 $A_{1} B E ⊥$ 平面BCDE，如图所示．

(1)、求证： $A_{1} C ⊥ B E$ ；

(2)、求四棱锥 $A_{1} - B C D E$ 的体积；

(3)、求平面 $A_{1} B E$ 与平面 $A_{1} C D$ 所成锐二面角的余弦值．

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20、半径为1的圆 $O$ 内接 $△ A B C$ ，且 $3 \vec{O A} + 4 \vec{O B} + 5 \vec{O C} = \vec{0}$ ．

(1)、求数量积 $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ ， $\vec{O B} \cdot \vec{O C}$ ， $\vec{O C} \cdot \vec{O A}$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积．

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