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相关试卷

1、下列运算中正确的是（　　）

A、 $a^{2 \sqrt{2}} a^{3 \sqrt{2}}$ ＝ $a^{6 \sqrt{2}}$ B、（－a²）⁵＝（－a⁵）² C、（ $\sqrt{a}$ －2）⁰＝1 D、（－ $a^{2 \sqrt{2}}$ ）⁵＝－ $a^{10 \sqrt{2}}$

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2、

(1)、若 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ ＝2，2^a＝5^b＝m ，求 ${(2^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \sqrt{m^{\sqrt{2}}})}^{2 \sqrt{2}}$ ；

(2)、若x＝1＋ $2^{\sqrt{3}}$ ， y＝1＋ $4^{- \sqrt{3}}$ ，请用x将y表示出来．

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3、借助计算工具计算 ${(1 + \frac{1}{n})}^{n}$ (n∈N^*)的值，我们发现当n＝1，2，3，10，100，1 000，10 000，100 000，…时， ${(1 + \frac{1}{n})}^{n}$ 的底数越来越小，而指数越来越大，随着n越来越大， ${(1 + \frac{1}{n})}^{n}$ 会无限趋近于无理数e(e＝2.718 28…)．根据以上知识判断，当n越来越大时， ${(1 + \frac{2}{n})}^{2 n + 1}$ 会趋近于．

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4、

(1)、化简： $\frac{{(a^{\frac{π}{3}})}^{\frac{3}{π}} a^{- π}}{a^{\frac{2 π}{3}}}$ (其中a＞0)；

(2)、化简(a^-π $b^{\sqrt{3}}$ )(－4a·b^-1)÷[12( $a^{- \sqrt{3}} · b)^{\sqrt{3}}$ ](其中a ， b>0)．

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5、镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为 $\sqrt[5]{5}$ ， $\sqrt[3]{3}$ ， $\sqrt{2}$ ．则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为(　　)

A、甲和乙　 B、丙和乙 C、乙和甲　 D、丙和甲

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6、已知a²^x＝3，求 $\frac{a^{3 x} + a^{- 3 x}}{a^{x} + a^{- x}}$ 的值．

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7、已知x>0，y∈R ，定义x*y＝x^y ，则 $(\frac{1}{2} * \frac{\sqrt{3}}{2})$ *(－ $\sqrt{3}$ )＝．

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8、化简： $(a^{2 - \sqrt{3}} b) 2 + \sqrt{3}$ ·b $- 2 - \sqrt{3}$ ＝．

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9、阅读下段文字：“已知 $\sqrt{2}$ 为无理数，若( $\sqrt{2})^{\sqrt{2}}$ 为有理数，则存在无理数a＝b＝ $\sqrt{2}$ ，使得a^b为有理数；若( $\sqrt{2})^{\sqrt{2}}$ 为无理数，则取无理数a＝( $\sqrt{2})^{\sqrt{2}}$ ， b＝ $\sqrt{2}$ ，此时a^b＝ $[(\sqrt{2})^{\sqrt{2}}]^{\sqrt{2}}$ ＝ $(\sqrt{2})^{\sqrt{2} · \sqrt{2}}$ ＝( $\sqrt{2}$ )²＝2为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是(　　)

A、( $\sqrt{2})^{\sqrt{2}}$ 是有理数 B、( $\sqrt{2})^{\sqrt{2}}$ 是无理数 C、存在无理数a ， b ，使得a^b为有理数 D、对任意无理数a ， b ，都有a^b为无理数

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10、已知a＋a^-1＝3，则下列选项中正确的有(　　)

A、a²＋a^-2＝7 B、 $a^{\frac{1}{2}} - a^{- \frac{1}{2}}$ ＝±1 C、 $a^{\frac{1}{2}} + a^{- \frac{1}{2}}$ ＝± $\sqrt{5}$ D、 $a^{\frac{3}{2}} + a^{- \frac{3}{2}}$ ＝2 $\sqrt{5}$

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11、 ${(\frac{3^{\sqrt{7}}}{27})}^{\sqrt{7} + 3}$ ＝(　　)

A、9 　 B、 $\frac{1}{9}$ C、3 　 D、 $\frac{\sqrt{3}}{9}$

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12、计算3^π× ${(\frac{1}{3})}^{π}$ ＋ ${(2^{2 \sqrt{2}})}^{\sqrt{2}}$ ＋ $1^{\sqrt{5}}$ 的值为(　　)

A、17 　 B、18 C、6 　 D、5

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13、 ${\sqrt{5}}^{\sqrt{2}} · {\sqrt{5}}^{\sqrt{2}}$ ＝(　　)

A、 $\sqrt{5}$ 　 B、5 C、 $5^{\sqrt{2}}$ 　 D、25

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14、已知函数 $f (x) = e^{x} - a \ln x - 1$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取极值，求实数a的值；

(2)、若 $a = 1$ ，求曲线 $y = f (x)$ 过原点的切线方程；

(3)、记 $\max \{f (x), g (x)\} = \{\begin{array}{l} f (x), f (x) \geq g (x) \\ g (x), f (x) < g (x) \end{array}$ ，已知 $\max \{f (x), x + e - 2\}$ 存在最小值 $h (a)$ ，求 $h (a)$ 的最大值．

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15、甲、乙两名运动员将参加体育考核．考核规则为：从6个不同体育项目中随机抽取3个，甲、乙将在这3个项目中分别进行测试．已知6个项目中，有4个是甲擅长的，必定通过测试，另有2个是甲不擅长的，必定无法通过测试；6个项目中，乙每个项目通过测试的概率均为p，且各次测试相互独立．在本次测试的3个项目中，记甲、乙通过测试的项目个数分别为X、Y．

(1)、若 $p = \frac{2}{3}$ ，分别写出随机变量X和Y的概率分布，并求它们的数学期望；

(2)、规定：若3个项目中至少有2个项目通过测试，则考核“达标”，若3个项目全部通过测试，则考核“优秀”．
（i）当运动员甲考核“达标”时，求运动员甲考核“优秀”的概率；
（ii）已知 $p = p_{1}$ 时，两位运动员考核“达标”的概率相等， $p = p_{2}$ 时，两位运动员考核“优秀”的概率相等．求证： $p_{2} < \frac{2}{3} < p_{1}$ ．

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16、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $∠ A D C = 90 °$ ， $A D ∥ B C$ ， $P A = B C = 2$ ， $A D = C D = 1$ ， $E$ 为棱 $P D$ 上一点，且 $P E = 2 E D$ ．

(1)、求证： $P B / /$ 平面 $A C E$ ；

(2)、求二面角 $P - A C - E$ 的正弦值．

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17、为了解某小区居民的周末休闲方式是否与性别有关，随机抽取了该小区居民100 人进行了调查，其中女性60人，男性40人，女性中有40人休闲方式是看电视，另外20人休闲方式是运动；男性中有10人休闲方式是看电视，另外30人休闲方式是运动．

(1)、根据以上数据将如下2×2列联表补充完整；
合计
40
合计

(2)、请根据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，判断休闲方式与性别是否有关．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，
$P (χ^{2} \geq x_{α})$
$0.050$
$0.010$
$0.001$
$x_{α}$
$3.841$
$6.635$
$10.828$

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18、已知集合 $A = \{x |\frac{x - 4}{x + 2} < 0\}$ ， $B = \{x |a - 2 \leq x \leq a + 2\}$ ．

(1)、若 $a = 0$ ，求 $A \cup B$ ；

(2)、若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

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19、类比排列数公式 $A_{n}^{r} = n (n - 1) (n - 2) \dots (n - r + 1)$ ，定义 $B_{x}^{n} = x (x - 1) (x - 2) \dots (x - n + 1)$ （其中 $n \in N^{*}$ ， $x \in R$ ），将右边展开并用符号 $f (n, k)$ 表示 $x^{k}$ （ $1 \leq k \leq n$ ， $k \in N^{*}$ ）的系数，得 $B_{x}^{n} = f (n, n) x^{n} + f (n, n - 1) x^{n - 1} + \dots + f (n, 1) x$ ，则：
（1） $f (5, 1) =$ ；（结果用数字表示）
（2）若 $f (n, r) = a$ ， $f (n, r - 1) = b$ （ $2 \leq r \leq n$ ， $r \in N^{*}$ ），则 $f (n + 1, r) =$ ．

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20、已知函数 $f (x) = m \sin x - \sin 2 x - 3 x$ 在区间 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 上单调递减，则实数 $m$ 的取值范围是．

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$P (χ^{2} \geq x_{α})$	$0.050$	$0.010$	$0.001$
$x_{α}$	$3.841$	$6.635$	$10.828$

			合计
			40

合计