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相关试卷

1、若曲线 $f (x) = \frac{1}{2} cos 2 x$ 在 $x = x_{1}$ 与 $x = x_{2}$ 处的切线互相垂直，且交点 $P$ 在直线 $y = a$ 上，则 $a$ 的值可能是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{7 π}{4}$ D、 $2 π$

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2、设全集 $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}$ ，集合 $A = {1, 3, 5, 7}$ ， $B = {6, 7, 8}$ ，则图中的阴影部分表示的集合为（）

A、 ${6, 8}$ B、 ${6, 7, 8}$ C、 ${1, 3, 5}$ D、 ${1, 2, 3, 4, 5}$

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3、如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $M ， N$ 分别为 $A B$ 和 $B_{1} C_{1}$ 的中点．

(1)、证明： $M N //$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ；

(2)、若 $A C = 2 \sqrt{2}, A B = 2 \sqrt{3}, ∠ A C B = 90 °, M N ⊥ A_{1} C$ ，求 $A_{1} C$ 与平面 $C M N$ 所成角的正弦值．

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4、已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数：
907   966   191   925   271   932   812   458   569   683
431   257   393   027   556   488   730   113   537   989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（       ）

A、0.35 B、0.25 C、0.20 D、0.15

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5、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{m^{2}} = 1 (m > 0)$ 的一条渐近线方程是 $5 x - 2 y = 0$ ，则 $m =$ ．

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6、已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 \leq 0}$ ， $B = {x | 2 - m \leq x \leq 1 + 2 m}$ ， $U = R$ .

(1)、若 $m = 2$ ，求 $A \cup B$ 和 $A \cap (∁_{U} B)$ ；

(2)、若 $A \cap B = B$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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7、如图，已知棱长为1的正四面体 $O A B C$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $O C$ 的中点．

(1)、用 $\vec{O A} ， \vec{O B} ， \vec{O C}$ 表示向量 $\vec{E F}$ ，并求 $\vec{E F}$ 的模长；

(2)、求 $O E$ 与 $B F$ 所成角的余弦值．

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8、已知直线 $l_{1} : 2 x - y + 1 = 0$ 与 $l_{2} : x + k y - 3 = 0$ 垂直，则实数 $k$ 的值为（）

A、2 B、-2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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9、已知向量 $\vec{a} = (1, x, 2)$ ， $\vec{b} = (- 4, 4, y)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线，则 $x + y =$ （）

A、12 B、9 C、 $- 9$ D、 $- 12$

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10、如图，圆台 $O_{1} O_{2}$ 的一个轴截面为等腰梯形 $A_{1} A C C_{1}, A C = 2 A A_{1} = 2 A_{1} C_{1} = 4$ ， $B$ 为底面圆周上异于 $A$ 、 $C$ 的点．

(1)、求该圆台的侧面积 $S$ ；

(2)、若 $P$ 是线段 $B C$ 的中点，求证：直线 $C_{1} P / /$ 平面 $A_{1} A B$ ；

(3)、若 $A B = B C$ ，设直线 $l$ 为平面 $A_{1} A B$ 与平面 $C_{1} C B$ 的交线，设 $l \cap$ 平面 $A A_{1} C_{1} C = D$ ，点 $Q$ 在线段 $B D$ 上（不含端点），直线 $B C_{1}$ 与平面 $Q A C$ 所成的角大小为 $α$ ，求 $\sin α$ 的最大值．

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11、已知 $△ A B C$ 的三个顶点是 $A (2,3), B (1,2), C (4, - 4)$ ．

(1)、若直线 $l_{1}$ 过点 $C$ ，且点 $A$ ， $B$ 到直线 $l_{1}$ 的距离相等，求直线 $l_{1}$ 的方程；

(2)、若直线 $l_{2}$ 过点 $A$ ，且与 $x$ 轴、 $y$ 轴的正半轴分别交于 $P$ 、 $Q$ 两点， $O$ 为坐标原点，求三角形 $O P Q$ 面积取最小值时直线 $l_{2}$ 的方程．

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12、已知直线 $l$ 过点 $(1, 2)$ ，且直线 $l$ 的倾斜角比直线 $\sqrt{3} x - 3 y + 1 = 0$ 的倾斜角大 $\frac{π}{12}$ ．

(1)、求直线 $l$ 的方程；

(2)、若点 $M (x_{1}, y_{1})$ 在直线 $l$ 上，且 $x_{1} \in [- 2, 1)$ ，求 $\frac{y_{1} + 2}{x_{1} - 1}$ 的取值范围．

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13、定义点 $P (x_{0}, y_{0})$ 到直线 $l : a x + b y + c = 0 (a^{2} + b^{2} \neq 0)$ 的有向距离为 $d = \frac{a x_{0} + b y_{0} + c}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ .已知点 $P_{1}, P_{2}$ 到直线 $l$ 的有向距离分别是 $d_{1}, d_{2}$ 以下命题不正确的是（）

A、若 $d_{1} = d_{2} = 1$ ，则直线 $P_{1} P_{2}$ 与直线 $l$ 平行 B、若 $d_{1} = 1, d_{2} = - 1$ ，则直线 $P_{1} P_{2}$ 与直线 $l$ 垂直 C、若 $d_{1} + d_{2} = 0$ ，则直线 $P_{1} P_{2}$ 与直线 $l$ 垂直 D、若 $d_{1} d_{2} \leq 0$ ，则直线 $P_{1} P_{2}$ 与直线 $l$ 相交

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14、直线 $x - \sqrt{3} y - 2 = 0$ 的倾斜角为．

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15、已知函数 $f (x) = e^{x} - e^{- x}$ ，若 $f (m) = 4$ ，则 $f (- m) =$

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16、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和.若 $S_{3} = 6, S_{5} = - 5,$ 则 $S_{6} =$ （）

A、 $- 20$ B、 $- 15$ C、 $- 10$ D、 $- 5$

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17、在梯形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ， $A B = 4$ ， $A D = 2$ ， $C D = 1$ ， $∠ D A B = 60 °$ ，则 $\vec{A C} \cdot \vec{A B} =$ （）

A、4 B、6 C、8 D、12

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18、已知函数 $f (x) = tan x$ ，则“ $x_{0} = k π, k \in Z$ ”是“ $f (x)$ 的图象关于点 $(x_{0}, 0)$ 对称”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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19、下列结论正确的是（）

A、椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的焦点坐标是 $(0, \pm 1)$ B、双曲线 $\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{5} = 1$ 的顶点坐标是 $(0, \pm 2)$ C、抛物线 $y^{2} = - 12 x$ 的准线方程是 $x = 3$ D、双曲线 $\frac{y^{2}}{5} - \frac{x^{2}}{4} = 1$ 的离心率 $e = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

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20、已知函数 $y = a x^{2} + b x + c$ .

(1)、关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c < 0$ 的解集为 ${x ∣ - 1 < x < 3}$ ，求关于 $x$ 的不等式 $b x^{2} - a (c - 2) x - 3 a^{2} \geq 0$ 的解集；

(2)、已知 $a > 0, b > 0$ ，当 $x = 2$ 时， $y = 2 a b + c$ ，
①若存在正实数a，b，使不等式 $t^{2} + 3 t - a - \frac{b}{2} > 0$ 有解，求 $t$ 的取值范围；
②求 $\frac{4 b}{b - 2} + \frac{16 a}{a - 1}$ 的最小值.

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