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相关试卷

1、已知函数 $f (x), g (x)$ 分别是定义在 $R$ 上的偶函数和奇函数，且 $f (x) + g (x) = 2 \cdot 3^{x}$ .

(1)、证明： $f (x) - g (x) = 2 \cdot 3^{- x}$ ，并求函数 $f (x), g (x)$ 的解析式；

(2)、判断函数 $g (x)$ 的单调性（不需要用定义法证明），并解关于 $x$ 不等式： $g (x^{2} + 2 x) + g (x - 4) > 0$ ；

(3)、设 $p (x) = \frac{3^{x} - 2}{3^{x} + 2}, h (x) = f (2 x) - 2 g (x) + m - 2$ ，对于 $\forall x_{1} \in R, \exists x_{2} \in [0, + \infty)$ ，使得 $p (x_{1}) \geq h (x_{2})$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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2、发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为 $x \in [6, 10]$ （单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：
方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为 $P (x)$ ；
方案二：其给出的整体报价为 $f (x) = 1200 m (\frac{3}{x} + 1)$ 元， $(m > 0)$

(1)、当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求 $m$ 的值；

(2)、求 $P (x)$ 的函数解析式，并求报价的最小值；

(3)、若对任意的 $x \in [6, 10]$ 时，方案二都比方案一省钱，求 $m$ 的取值范围.

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3、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin (2 x - \frac{π}{6}) + 2 \sin^{2} (x - \frac{π}{12}) - 2$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期，对称中心及单调递增区间；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象先向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，得到函数 $h (x)$ ，再将所有点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ （纵坐标不变）得到函数 $g (x)$ 的图象，写出函数 $h (x)$ 和 $g (x)$ 的解析式；且当 $x \in [0, \frac{π}{4}]$ ，求 $g (x)$ 的最值.

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4、已知 $α$ 为锐角， $β$ 为钝角，且 $\cos α = \frac{3 \sqrt{10}}{10}, \sin β = \frac{\sqrt{2}}{10}$ .

(1)、求 $\cos (α + β)$ 的值；

(2)、求 $β - 2 α$ 的值.

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5、已知 $\frac{\sin α + 2 \cos α}{5 \cos α - \sin α} = \frac{4}{3}$ ，计算

(1)、 $\tan α$ ；

(2)、 $2 \sin α \cos α + \cos^{2} α$ ；

(3)、 $\frac{\sin 2 α + 1}{\cos 2 α}$

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6、已知函数 $y = \sqrt{3} \sin 2 x + \cos 2 x - m$ 在 $x \in (\frac{π}{2}, π)$ 上恰有两个零点 $x_{1}, x_{2}$ ，则 $m \in$ ， $x_{1} + x_{2} =$ .

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7、函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则 $f (x) =$ .

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8、函数 $f (x) = a^{x - 1} + 1$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）恒过定点．

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9、在下列四个命题中，正确的是（）

A、若 $a c^{2} < b c^{2}$ ，则 $a > b$ B、若 $a > b > 0, c < d < 0$ ， $b > |c|$ ，则 $\frac{b + c}{{(a - c)}^{2}} \geq \frac{a + d}{{(b - d)}^{2}}$ C、已知 $- 1 \leq a + b \leq 4$ ， $2 \leq a - b \leq 3$ ，则 $\frac{9}{2} \leq 3 a - 2 b \leq \frac{19}{2}$ D、已知 $a, b, c, d \in R$ ，若 $b c - a d > 0$ ， $b d > 0$ ，则 $\frac{a + b}{b} < \frac{c + d}{d}$

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10、下列结论恒为零向量的是（）

A、 $\vec{A B} - (\vec{B C} + \vec{C A})$ B、 $\vec{A B} - \vec{A C} + \vec{B D} - \vec{C D}$ C、 $\vec{O D} - \vec{O A} + \vec{A D}$ D、 $\vec{N O} + \vec{O P} + \vec{M N} - \vec{M P}$

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11、以下说法正确的有（）

A、 $\frac{10 π}{3}$ 化成角度为 $600 °$ B、 $- 885 °$ 化成 $2 k π + α (0 \leq α < 2 k, k \in Z)$ 的形式是 $- 6 π + \frac{11 π}{12}$ C、将表的分针拨慢20分钟，则分针转过的角的弧度是 $- \frac{2 π}{3}$ D、在半径为2的圆中，弧长为 $π$ 的弧所对的圆心角为 $90 °$

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12、记实数 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 中的最大数为 $\max \{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}\}$ ，最小数为 $\min \{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}\}$ ，则关于函数 $f (x) = \min {x + 1, x^{2} - x + 1, - x + 6}$ 的说法中正确的是（）

A、方程 $f (x) - 1 = 0$ 有三个根 B、 $f (x)$ 的单调减区间为 $(- \infty, \frac{1}{2})$ 和 $(\frac{5}{2}, + \infty)$ C、 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{9}{2}$ D、 $f (x)$ 的最小值为 $\frac{3}{4}$

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13、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} - x^{2} + 2 a x + a, x < 0 \\ e^{x} + \ln (x + 1), x \geq 0 \end{cases}$ 在 $R$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 0]$ B、 $[0, 1]$ C、 $[- 1, 1]$ D、 $[0, + \infty)$

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14、式子 $3^{1 + {log}_{3} 2} + lg 2 + {log}_{7} 2 \times {log}_{2} 7 \times lg 5 =$ （）

A、5 B、6 C、7 D、8

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15、化简 $f (α) = \frac{\tan (π + α) \cos (2 π - α) \sin (\frac{π}{2} + α)}{\cos (π - α)} =$ （）

A、 $\sin α$ B、 $- \sin α$ C、 $\cos α$ D、 $- \cos α$

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16、下列幂函数中，其图象关于原点对称且过点 $(0, 0) (- 1, - 1)$ 的是（）

A、 $y = x^{\frac{1}{2}}$ B、 $y = x^{4}$ C、 $y = x^{- 3}$ D、 $y = x^{\frac{1}{3}}$

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17、函数 $f (x) = x \cdot \cos x$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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18、命题“ $\forall x \in [- 2, 5]$ ， $x^{2} - 4 x - 5 \geq 0$ ”的否定为（）

A、 $\forall x \in [- 2, 5]$ ， $x^{2} - 4 x - 5 < 0$ B、 $\exists x \in [- 2, 5]$ ， $x^{2} - 4 x - 5 > 0$ C、 $\exists x \in [- 2, 5]$ ， $x^{2} - 4 x - 5 < 0$ D、 $\exists x \notin [- 2, 5]$ ， $x^{2} - 4 x - 5 \geq 0$

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19、若直线 $l$ 与函数 $f (x) = e^{x - 2} (x > 1)$ 和 $g (x) = ln x$ 的图象分别相切于点 $A, B$ ，则 $|A B| =$ （）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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20、已知集合 $A = \{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}\}$ 中的元素都是正整数，且 $a_{1} < a_{2} < \dots < a_{n}$ ．若对任意 $x, y \in A$ ，且 $x \neq y$ ，都有 $| x - y | \geq \frac{x y}{25}$ 成立，则称集合A具有性质M．

(1)、判断集合 ${1, 2, 3, 4}$ 是否具有性质M；

(2)、已知集合A具有性质M，求证： $\frac{1}{a_{i}} - \frac{1}{a_{n}} \geq \frac{n - i}{25} (i = 1, 2, \dots, n)$ ；

(3)、已知集合A具有性质M，求A中元素个数的最大值，并说明理由．

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