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相关试卷

1、已知 $f (x) = \frac{x e^{2 x}}{e^{a x} - 1}$ 是偶函数，则 $a =$ .

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2、若 $sin θ = - \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ ， $cos θ < 0$ ，则 $tan θ =$ .

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3、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $b = c - 2 b cos A$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $A = 2 B$ B、若 $b = 2$ ， $c = 1$ ，则 $B C$ 边上的中线长为 $\sqrt{2}$ C、若 $a = \sqrt{3} b$ ，则 $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ D、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $\frac{c}{b}$ 的取值范围是 $(1, 2)$

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4、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的右焦点为 $F$ ，左､右顶点分别为 $A$ ､ $B$ 两点，直线 $y = m (0 < m < \sqrt{5})$ 与椭圆 $C$ 相交于 $P$ ､ $Q$ 两点，则（）

A、椭圆 $C$ 的焦距为4 B、 $|P F| + |Q F|$ 为定值 C、直线 $A P$ 和 $A Q$ 的斜率的乘积为 $\frac{5}{9}$ D、当以 $P$ ， $Q$ ， $F$ ， $B$ 四个点为顶点的四边形为平行四边形时，该四边形的面积为 $\frac{5 \sqrt{7}}{3}$

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5、已知 $x$ ， $y$ 为正实数， $x + y = 2$ ，则（）

A、 $x y$ 的最大值为1 B、 $\sqrt{x} + \sqrt{y}$ 的最大值为 $2 \sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{x} + \frac{1}{4 y}$ 的最小值为 $\frac{9}{8}$ D、 $(x^{2} + 1) (y^{2} + 1)$ 的最小值为5

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6、设 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，若函数 $f (x) = a^{x} (4 - a^{x}) + (m + 4) |a^{x} - 2| - m^{2}$ 存在三个零点，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- 2, 0)$ B、 $(2, 4)$ C、 $(2, 4]$ D、 $(0, 2)$

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7、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ， $A$ 是 $C$ 的渐近线上的一点，点 $B$ 在 $y$ 轴上且为线段 $A F_{1}$ 的中点.若 $|A F_{2}| = \sqrt{2} |B F_{2}|$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{2} + 1$

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8、袋中装有除颜色外均相同的4个红球､3个蓝球和2个绿球.现从袋中无放回地随机取球，每次取1个球，直到取到红球为止.则第3次恰好取到红球的概率为（）

A、 $\frac{5}{18}$ B、 $\frac{10}{63}$ C、 $\frac{5}{42}$ D、 $\frac{5}{14}$

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9、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = n^{2} - a n + 1$ ，设命题 $p : a \leq 2$ ，命题 $q$ ：数列 $\{a_{n}\}$ 为递增数列，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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10、若 ${(\frac{1}{x} - 3 x)}^{n}$ 的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中各项系数和为（）

A、16 B、 $- 16$ C、32 D、 $- 32$

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11、2025年“九三”阅兵活动中，官兵步调一致，假设官兵的步伐可由简谐振动表示为 $f (x) = sin (2 x + \frac{π}{6})$ ，将函数 $f (x)$ 图像上所有的点向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，可得函数 $g (x)$ 的图像，则 $g (x)$ 的解析式为（）

A、 $g (x) = cos 2 x$ B、 $g (x) = cos (2 x + \frac{π}{3})$ C、 $g (x) = - sin 2 x$ D、 $g (x) = cos (2 x - \frac{π}{3})$

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12、已知向量 $\vec{a} = (2, 2)$ ， $\vec{b} = (λ, 4)$ ， $λ \in R$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，则 $λ =$ （）

A、0 B、7 C、 $- 8$ D、1

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13、若复数 $z_{1}$ ､ $z_{2}$ 在复平面内的对应点关于虚轴对称，且 $z_{1} = 2 + i$ ，则 $i \cdot z_{2} =$ （）

A、 $1 - 2 i$ B、 $1 + 2 i$ C、 $- 1 - 2 i$ D、 $- 1 + 2 i$

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14、等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 是等比数列，满足 $a_{1} = 3$ ， $b_{1} = 1$ ， $b_{2} + S_{2} = 10$ ， $a_{5} - 2 b_{2} = a_{3}$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{2 n - 1} = a_{n}$ ， $c_{2 n} = {(- 1)}^{n} a_{n} b_{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前2n项和 $T_{2 n}$ ，

(3)、求 $\sum_{i = 1}^{n} {(- 1)}^{i} \frac{4 (i + 1)}{a_{i} a_{i + 1}} (n \in N^{*})$ 的最大值和最小值．

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15、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} sin 2 x + 2 {cos}^{2} x - 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间及在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的值域；

(2)、若 $θ$ 为锐角且 $f (θ) = - \frac{2}{5}$ ，求 $cos 2 θ$ 的值.

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16、已知圆 $C_{1}$ 经过 $A (0, 0), B (1, 3), C (- 1, - 1)$ 三点.

(1)、求圆 $C_{1}$ 的标准方程；

(2)、若圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} + 2 x - 6 = 0$ 相交于 $M, N$ 两点，求直线 $M N$ 的方程以及公共弦 $M N$ 的长.

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17、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0) ， O$ 为坐标原点，直线 $y = k x$ 与椭圆 $C$ 交于 $P ， Q$ 两点，点 $P$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $P_{1}$ ，且 $\vec{P A} = \frac{2}{3} \vec{P P_{1}}$ ，若直线 $Q A$ 与椭圆 $C$ 交于点 $B$ ，且 $\vec{P B} \cdot \vec{P Q} = 0$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为．

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18、数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若数列 $\{a_{n}\}$ 的各项按如下规律排列： $1, \frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{3}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{4}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \frac{5}{5}, \dots, \frac{1}{n}, \frac{2}{n}, \dots, \frac{n}{n}, \dots, n \in N_{+}$ ，若存在正整数 $k$ ，使 $S_{k} \leq 11, S_{k + 1} > 11$ ，则 $a_{k} =$ .

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19、已知双曲线 $E : x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过点 $C (1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 的直线 $l$ 与双曲线 $E$ 的左、右两支分别交于 $P, Q$ 两点， $O$ 为坐标原点，则（）

A、当 $C$ 为线段 $P Q$ 的中点时，直线 $l$ 的斜率为 $2 \sqrt{3}$ B、若 $A (- 1, 0)$ ，则 $∠ Q F_{2} A = 2 ∠ Q A F_{2}$ C、 $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}| < {|P O|}^{2}$ D、若直线 $l$ 的斜率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，且 $B (0, \sqrt{3})$ ，则 $|P F_{1}| + |Q F_{1}| = |P B| + |Q B|$

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20、过点 $(2 \sqrt{2}, 0)$ 作直线 $l$ 与曲线 $y = \sqrt{4 - x^{2}}$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点， $O$ 为坐标原点，当 $∠ A O B = \frac{π}{2}$ 时，直线 $l$ 的斜率为（）

A、 $\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\pm \sqrt{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

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