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相关试卷

1、若 $θ \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\tan (\frac{π}{2} - θ) = \frac{1}{2}$ ，则 $\sin θ - \cos θ =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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2、射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，光从 $O$ 点出发，平面内四个点 $E, F, G, H$ 经过中心投影之后的投影点分别为 $A, B, C, D$ ．对于四个有序点 $A, B, C, D$ ，若 $\vec{C A} = λ \vec{C B}$ ， $\vec{D A} = μ \vec{D B}$ ，定义比值 $x = \frac{λ}{μ}$ 叫做这四个有序点的交比，记作 $(A B C D)$ ．

(1)、若点 $B, C$ 分别是线段 $A D, B D$ 的中点，求 $(A B C D)$ ；

(2)、当 $x = - 1$ 时称 $A, B, C, D$ 为调和点列，若 $\frac{1}{|A C|} + \frac{1}{|A D|} = \frac{m}{|A B|}$ ，求 $m$ 值；

(3)、已知 $(E F G H) = (A B C D)$ ，且 $(E F G H) = \frac{3}{2}$ ，点 $B$ 为线段 $A D$ 的中点， $|A C| = \sqrt{3} |O B| = 3$ ， $\frac{\sin ∠ A C O}{\sin ∠ A O B} = \frac{3}{2}$ ，求 $\cos A$

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3、已知 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，且 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = - 6$ .

(1)、求 $|\vec{a} + \vec{b}|$ ；

(2)、求 $\vec{b}$ 与 $\vec{b} - 2 \vec{a}$ 的夹角.

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4、赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”．（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成，如图①），类比“赵爽弦图”，可构造如图②所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，其中 $\vec{D F} = 2 \vec{F A}$ ，则 $\frac{S_{Δ D E F}}{S_{Δ A B C}}$ 的值为；设 $\vec{A D} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，则 $λ + μ =$ ．

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5、记 $△ A B C$ 的三个内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $a = 3$ ， $c = 7$ ， $C = \frac{2 π}{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{15 \sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{15 \sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{15}{2}$ D、 $\frac{15}{4}$

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6、已知函数 $f (x) = \ln x + a x^{2} + (2 a + 1) x (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = - 1$ 时，求 $f (x)$ 的极值．

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(3)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，求证： ${[f^{'} (x) - 2]}^{n} - f^{'} (x^{n}) \geq 2^{n} - 4 (n \in N^{*})$ ．

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7、某学校举行了一次数学有奖竞赛，对考试成绩优秀（成绩不小于 $130$ 分）的学生进行了奖励．学校为了掌握考试情况，随机抽取了部分考试成绩，并以此为样本制作了如图所示的样本频率分布直方图．已知第一小组 $[90, 100)$ 的频数为 $10$ ．

(1)、求 $a$ 的值和样本容量；

(2)、用每个区间的组中值作为相应学生的成绩，估计所有参赛学生的平均成绩；

(3)、假设在抽取的样本中，男生比女生多 $20$ 人，且女生的获奖率为 $12.5 %$ ，问：能否有 $95 %$ 的把握认为获奖与性别有关？
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ．
$P (χ^{2} \geq k)$
$0.050$
$0.010$
$0.001$
$k$
$3.841$
$6.635$
$10.828$

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8、某学校食堂给学生配餐，准备了5种不同的荤菜和 $n$ 种不同的素菜．

(1)、当 $n = 4$ 时，若每份学生餐有1荤3素，共有多少种不同的配餐供学生选择？

(2)、若每位学生可以任选2荤2素，要保证至少有100种不同的选择，求 $n$ 的最小值．

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9、已知函数 $f (x) = \frac{x - 1}{e^{x}}$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、求 $f (x)$ 的最值．

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10、如图，已知海岛 $A$ 到海岸公路 $B C$ 的距离 $A B$ 为 $50 km$ ， $B$ 、 $C$ 间的距离为 $100 km$ ．从 $A$ 到 $C$ ，先乘船到海岸公路 $D$ 处，再乘汽车从 $D$ 处到 $C$ 处，已知船速为 $25 km / h$ ，车速为 $50 km / h$ ，则从 $A$ 到 $C$ 所需的最少时间为h.

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11、已知二次函数 $f (x)$ 从1到 $1 + Δ x$ 的平均变化率为 $3 + Δ x$ ，请写出满足条件的一个 $f (x) =$ ．

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12、现有 $6$ 本不同的书，下列说法正确的有（）

A、如果平均分成 $3$ 堆，则共有 $15$ 种分法 B、如果分给甲、乙、丙三人，且甲得 $1$ 本、乙得 $2$ 本、丙得 $3$ 本，则共有 $60$ 种不同分法 C、如果任意分给甲、乙、丙三人，则共有 $6^{3}$ 种不同分法 D、如果任意分给甲、乙、丙三人，且甲分得的书比乙多，则共有 $294$ 种分法

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13、已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ ，其导函数为 $g (x)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 有两个极值点 B、 $f (x)$ 有三个互不相同的零点 C、方程 $f (x) = a$ 有三个不同解，则实数 $a$ 的取值范围为 $(- 4, 0)$ D、 $g (2 - x) = g (x)$

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14、在 ${(2 + a + b)}^{5}$ 的展开式中， $a^{2} b$ 的系数为（）

A、 $30$ B、 $60$ C、 $90$ D、 $120$

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15、在4名男学生和2名女学生中选3名学生参加社会实践活动，其中至少要有一位女学生，则不同的选法种数为（）

A、16 B、20 C、24 D、28

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16、样本中共有5个个体，其值分别为a，0，1，2，3.若该样本的平均数为1，则样本的标准差为（　　）

A、 $\frac{6 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{6}{5}$ C、2 D、 $\sqrt{2}$

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17、对于考试成绩的统计，若小明的成绩处在第95百分位数上，则以下说法正确的是（）

A、小明得了95分 B、小明答对了95%的试题 C、95%的参加考试者得到了和小明一样的考分或还要低的分数 D、小明排名在第95名

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18、已知椭圆 $C_{1} : \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦点坐标为 $(0, \pm \sqrt{2})$ ，双曲线 $C_{2} : \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ 的渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{2} x$ .

(1)、求椭圆 $C_{1}$ 和双曲线 $C_{2}$ 的方程；

(2)、直线 $l : y = k x + m$ 与椭圆 $C_{1}$ 有唯一公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于不同的两点 $A (x, 0)$ ， $B (0, y)$ ，当点M运动时，求点 $N (x, y)$ 的轨迹C的方程.

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19、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的渐近线方程为 $y = \pm x$ ，且经过点 $P (\sqrt{2}, 1)$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l_{1} : y = k x - 1$ 与 $C$ 有且只有一个公共点，求 $k$ 的值；

(3)、直线 $l_{2} : y = \frac{\sqrt{6}}{2} x + m$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点， $O$ 是坐标原点．若 $△ A O B$ 的面积为 $\sqrt{2}$ ，求 $m$ 的值．

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20、如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，M为PC的中点．
（1）求异面直线AP，BM所成角的余弦值；
（2）点N在线段AD上，且AN＝λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为 $\frac{4}{5}$ ，求λ的值．

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$P (χ^{2} \geq k)$	$0.050$	$0.010$	$0.001$
$k$	$3.841$	$6.635$	$10.828$