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相关试卷

1、体育课上，同学们进行投篮测试，规定：每位同学投篮3次，至少投中2次则通过测试，若没有通过测试，则该同学必须进行50次投篮训练．已知甲同学每次投中的概率为 $\frac{1}{3}$ ，每次是否投中相互独立．

(1)、求甲同学通过测试的概率；

(2)、若乙同学每次投中的概率为 $\frac{1}{2}$ ，每次是否投中相互独立．经过测试后，甲、乙两位同学需要进行投篮训练的投篮次数之和记为X．求X的分布列与数学期望 $E (X)$ ．

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = n^{2} (n \in N^{*})$ ．数列 $\{b_{n}\}$ 是公比为3的等比数列，且 $b_{1} = a_{1}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 和数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $c_{n} = a_{n} \cdot b_{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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3、已知函数 $f (x) = x^{m} + \log_{n} x$ （ $m > 0$ ， $n > 0$ 且 $n \neq 1$ ），若 $f (x) \geq 1$ 恒成立，则 $\frac{m}{n}$ 的最小值为．

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4、已知一试验田种植的某种作物一株生长果实的个数x服从正态分布 $N (90, σ^{2})$ ，且 $P (X < 70) = 0.2$ ，从试验田中随机抽取10株，果实个数在 $[90 ， 110]$ 的株数记作随机变量X，且X服从二项分布，则X的方差为．

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5、在锐角 $Δ A B C$ 中， $B C = 1, B = 2 A,$ 则 $\frac{A C}{\cos A}$ 的值等于．

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6、设随机变量X的所有可能取为1，2，3，…，n，且 $P (X = i) = p_{i} > 0 (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n)$ ， $\sum_{i = 1}^{n} p_{i} = 1$ ，现定义 $H (X) = - \sum_{i = 1}^{n} p_{i} \log_{2} p_{i}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $n = 1$ ，则 $H (X) = 0$ B、若 $p_{i} = \frac{1}{n} (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n)$ ，则 $H (X)$ 随着n的增大而增大 C、若 $n = 2$ ，则 $H (X)$ 的最小值为1 D、若 $n = 2 m$ ，随机变量Y的所有可能取值为1，2，…，m，且 $P (Y = j) = p_{j} + p_{j + m} (j = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, m)$ ，则 $H (X) > H (Y)$

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7、用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点．若抛物线C： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线 $l_{1}$ 从点M射入，经过C上的点 $A (x_{1}, y_{1})$ 反射，再经过C上另—点 $B (x_{2}, y_{2})$ 反射后，沿直线 $l_{2}$ 射出，则（）

A、C的准线方程为 $x = - 1$ B、 $y_{1} y_{2} = - 4$ C、若点 $M (2, 1)$ ，则 $|A B| = \frac{11}{2}$ D、设直线 $O A$ 与C的准线的交点为 $N$ ，则点 $N$ 在直线 $l_{2}$ 上

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8、已知函数 $f (x) = ln |x|$ ，则（）

A、 $f (x)$ 为偶函数 B、 $f (- 4) < f (3)$ C、 $f (x)$ 无零点 D、 $f (x)$ 在 $(- \infty, 0)$ 上单调递减

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9、已知 $α$ ， $β$ 均为锐角，且 $α + β - \frac{π}{2} > \sin β - \cos α$ ，则（）

A、 $\sin α > \sin β$ B、 $\cos α > \cos β$ C、 $\cos α > \sin β$ D、 $\sin α > \cos β$

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10、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F, M$ 分别为所在棱的中点， $P$ 为下底面的中心，则下列结论中错误的是（）

A、平面 $E F C_{1} ⊥$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ B、 $M P / / A C_{1}$ C、 $M P ⊥ C_{1} D$ D、 $E F / /$ 平面 $A D_{1} B_{1}$

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11、2024年惠州马拉松赛事期间，组委会需从甲、乙、丙、丁4位志愿者中选3位安排到物资分发、路线指引、医疗协助三个不同服务点，每个服务点1人．已知甲不能安排在物资分发服务点，则不同的安排方法共有（）

A、9种 B、12种 C、15种 D、18种

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12、已知 $cos (α + β) = \frac{1}{9}, cos (α - β) = - \frac{1}{3}$ ，则 $sin α sin β =$ （）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $- \frac{1}{9}$ D、 $- \frac{2}{9}$

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13、已知单位向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{2}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{8}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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14、已知复数 $z$ 满足 $z (1 - i) = 2$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $- 1 - i$ D、 $- 1 + i$

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15、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点D是BC的中点， $A B = A A_{1} = 4$ ．

(1)、求证： $A_{1} B //$ 平面 $A D C_{1}$ ；

(2)、求证：平面 $A D C_{1} ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ；

(3)、求直线 $A_{1} B$ 到平面 $A D C_{1}$ 的距离．

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16、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $\vec{m} = (cos B, cos C)$ ， $\vec{n} = (- 2 a + c, b)$ ， $\vec{m} \cdot \vec{n} = 0$ ，

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $a + c = 4$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3}{4} \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

(3)、若三角形为锐角三角形，且 $b = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围.

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17、设 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 是非零复数， $\bar{z_{1}}$ ， $\bar{z_{2}}$ 分别是 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 的共轭复数，则下列结论中正确的是（）

A、 $z^{2} = | z |^{2}$ B、 $| z_{1} \cdot z_{2} | = | z_{1} | \cdot | z_{2} |$ C、 $\frac{z}{\bar{z}} = \frac{z^{2}}{| z |^{2}}$ D、若 $| z | = 1$ ，则 $| z - 1 - i |$ 的最大值为 $\sqrt{2} + 1$

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18、在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $a cos B - b cos A = b$ ，则 $\frac{b}{a + c}$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ B、 $(2 - \sqrt{3}, 1)$ C、 $(2 - \sqrt{3}, \sqrt{2} - 1)$ D、 $(\sqrt{2} + 1, \sqrt{3} + 2)$

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19、在平行四边形 $A B C D$ 中，已知 $A D = B D$ ， $∠ A D B = 90 °$ （如图1），将 $△ A D B$ 沿BD折起到 $△ S D B$ 的位置（如图2），使得平面 $S D B ⊥$ 平面 $B C D$ ，则直线SB与直线CD所成角为（）

A、30° B、60° C、90° D、120°

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20、已知向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 4$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，向量 $\vec{a} - \vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $\frac{3}{4} \vec{a}$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| =$ （）

A、3 B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、12

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