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相关试卷

1、下列关于空间直角坐标系 $O x y z$ 中的一点 $P (1, 2, 3)$ 的说法正确的有（）

A、线段 $O P$ 的中点的坐标为 $(\frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2})$ B、点 $P$ 关于 $x$ 轴对称的点的坐标为 $(- 1, - 2, - 3)$ C、点 $P$ 关于坐标原点对称的点的坐标为 $(1, 2, - 3)$ D、点 $P$ 关于 $O x y$ 平面对称的点的坐标为 $(1, 2, - 3)$

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2、已知点 $A (- 2, - 1), B (2, 3)$ 到直线 $l : a x + y + 1 = 0$ 的距离相等，则 $a =$ （）

A、－1或0 B、 $- \frac{1}{2}$ C、－1 D、2

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3、已知函数 $f (x) = 2 x^{2} - a x + 5$ ， $x \in [- 1, 2]$ ．

(1)、当 $a = 4$ 时，求 $f (x)$ 的最值；

(2)、若 $f (x)$ 的最小值为 $- 5$ ，求实数 $a$ 的值．

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4、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x + 1, x \leq - 2 \\ 3 x + 5, - 2 < x < 2 \\ 2 x - 1, x \geq 2 \end{matrix}$

(1)、求 $f (- 5)$ ， $f (1)$ ， $f (f (- \frac{5}{2}))$ ；

(2)、若 $f (a^{2} + 2) \geq a + 4$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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5、已知定义域为 $R$ 的偶函数 $f (x)$ 满足：对任意 $x_{1}, x_{2} \in [0, + \infty) (x_{1} \neq x_{2})$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 成立，则满足 $f (2 x - 1) \leq f (1)$ 的 $x$ 取值范围是．

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6、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (3 a - 1) x + 4 a, x < 1 \\ - a x, x \geq 1 \end{array}$ ，是定义在 $R$ 上的减函数，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{1}{8}, \frac{1}{3})$ B、 $(0, \frac{1}{3})$ C、 $[\frac{1}{8}, + \infty)$ D、 $(- \infty, \frac{1}{8}] \cup [\frac{1}{3}, + \infty)$

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7、下列函数中为奇函数且在 $(0, + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $f (x) = - x^{3}$ B、 $f (x) = - \frac{1}{|x|}$ C、 $f (x) = x |x|$ D、 $f (x) = x + \frac{1}{x}$

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8、在平面内，若直线 $l$ 将多边形分为两部分，且多边形在 $l$ 两侧的顶点到 $l$ 的距离之和相等，则称 $l$ 为多边形的一条“等线”.已知双曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 与双曲线 $C_{2} : 3 x^{2} - y^{2} = 1$ 有相同的离心率， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为双曲线 $C_{1}$ 的左、右焦点， $P$ 为双曲线 $C_{1}$ 右支上一动点，双曲线 $C_{1}$ 在点 $P$ 处的切线 $l_{1}$ 与双曲线 $C_{1}$ 的渐近线交于 $A$ 、 $B$ 两点（ $A$ 在 $B$ 上方），当 $P F_{2} ⊥ x$ 轴时，直线 $y = \sqrt{3}$ 为 $△ P F_{1} F_{2}$ 的等线.

(1)、求双曲线 $C_{1}$ 的方程；

(2)、若 $y = \sqrt{2} x$ 是四边形 $A F_{1} B F_{2}$ 的等线，求四边形 $A F_{1} B F_{2}$ 的面积；

(3)、已知 $O$ 为坐标原点，直线 $O P$ 与双曲线 $C_{2}$ 的右支交于点 $Q$ ，试判断双曲线 $C_{2}$ 在点 $Q$ 处的切线 $l_{2}$ 是否为 $△ A F_{1} F_{2}$ 的等线，请说明理由.
【注】双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 在其上一点 $P (x_{0}, y_{0})$ 处的切线方程为 $\frac{x_{0} x}{a^{2}} - \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1$ .

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9、已知动点 $M$ 到点 $(0, \frac{3}{2})$ 的距离比它到直线 $y + 3 = 0$ 的距离小 $\frac{3}{2}$ ，记动点 $M$ 的轨迹为 $C$ .

(1)、求轨迹 $C$ 的方程.

(2)、已知直线 $l : y = k x + 3$ 与轨迹 $C$ 交于A，B两点，以A，B为切点作两条切线，分别为 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，且 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 相交于点 $P$ .若 $| A B | = | A P |$ ，求 $k$ .

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10、已知 $△ A B C$ 的顶点 $A (- 2, 0)$ ， $B (3, 0)$ ，顶点 $C$ 满足 $3 | C A | = 2 | C B |$ ，记顶点 $C$ 的轨迹为 $W$ .

(1)、求曲线 $W$ 的方程.

(2)、过点 $A$ 的直线 $l$ （斜率不为0）与曲线 $W$ 交于不同的两点P，Q，O为坐标原点，试判断直线OP，OQ的斜率之积是否为定值.若为定值，求出该定值；若不是，说明理由.

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11、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上的点到其焦点的距离的最大值为16，最小值为4.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于A，B两点，若线段AB的中点坐标为 $(- 3, - 4)$ ，求直线 $l$ 的方程.

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12、双曲线 $C$ 以椭圆 $\frac{x^{2}}{20} + \frac{y^{2}}{36} = 1$ 的焦点为顶点，长轴的顶点为焦点，则双曲线 $C$ 的标准方程为，渐近线方程为.

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13、已知向量 $\vec{a} = (5, 9, 1), \vec{b} = (2, 1, 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量的模为.

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14、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 是 $C$ 上任意一点，则下列结论正确的是（）

A、若存在点 $P$ ，使得 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{2}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率的取值范围为 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2}]$ B、若存在点 $P$ ，使得 $| O P | = \frac{a}{2}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率的取值范围为 $[\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$ C、若存在点 $P$ ，使得 $|P F_{1}| = 2 |P F_{2}|$ ，且 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、若存在点 $P$ ，使得 $| O P | = \frac{2 a}{3}$ ，且 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{2 π}{3}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{66}}{9}$

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15、已知直线 $l_{1} : a x + (a + 1) y - 5 = 0$ ，直线 $l_{2} : 3 x - 4 y + 5 = 0$ ，圆 $C : {(x + 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 9$ ，则下列选项正确的是（）

A、若 $l_{1} // l_{2}$ ，则 $a = - \frac{3}{7}$ B、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $a = - 4$ C、若 $l_{1}$ 与圆 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $| A B |_{min} = 2$ D、过 $l_{2}$ 上一点 $P$ 向圆 $C$ 作切线，切点为 $Q$ ，则 $| P Q |_{min} = \sqrt{7}$

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16、过抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点作圆 $P : {(x - 3)}^{2} + y^{2} = 1$ 的切线，该切线交抛物线C于A，B两点，则 $| A B | =$ （）

A、 $12 \sqrt{3}$ B、14 C、15 D、16

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17、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\vec{A E} = \frac{1}{3} \vec{A B}$ ， $\vec{B F} = \frac{3}{4} \vec{B D_{1}}$ ，则 $\vec{E F} =$ （）

A、 $- \frac{1}{12} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A D} + \frac{3}{4} \vec{A A_{1}}$ B、 $\frac{1}{12} \vec{A B} - \frac{3}{4} \vec{A D} + \frac{3}{4} \vec{A A_{1}}$ C、 $- \frac{1}{12} \vec{A B} - \frac{1}{4} \vec{A D} + \frac{2}{3} \vec{A A_{1}}$ D、 $- \frac{1}{12} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A D} + \frac{3}{4} \vec{A A_{1}}$

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18、已知椭圆 $C : \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，其中离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且过点 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $(0, 1)$ 的直线 $l$ 被椭圆 $C$ 截得的弦长为 $\frac{3}{2} \sqrt{2}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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19、如图所示，已知直四棱柱 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形，且 $∠ B A D = 60 °$ ， $A A^{'} = 1$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ 分别是 $C^{'} D^{'}$ ， $C C^{'}$ ， $B C$ 的中点，则异面直线 $G E$ ， $A^{'} F$ 所成角的余弦值为（）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{7}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{14}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{7}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{14}$

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20、如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $C B ⊥ B D$ ， $∠ C_{1} C D = 45 °$ ， $∠ C_{1} C B = 60 °$ ， $C C_{1} = C B = B D = 1$ .

(1)、以向量 $\{\vec{C B}, \vec{C D}, \vec{C C_{1}}\}$ 为基底表示向量 $\vec{C A_{1}}$ ，求对角线 $C A_{1}$ 的长度；

(2)、求异面直线 $C A_{1}$ 与 $D A$ 所成角的余弦值.

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