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相关试卷

1、已知各项均为正数的数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{2} = 2$ ， $S_{n} = \frac{1}{2} a_{n + 2} - 1 (n \in N^{*})$ ．

(1)、若 $\{a_{n}\}$ 为等比数列，求 $a_{1}$ 和数列 $\{n a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ；

(2)、若 $a_{1} = a_{2}$ ，求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式．

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2、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为矩形， $P A ⊥$ 平面ABCD， $A B = A P = 1$ ， $A D = \sqrt{3}$ ， E为PD的中点．

(1)、证明： $P B //$ 平面 $A E C$ ；

(2)、求二面角 $D - A E - C$ 的余弦值．

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3、一个袋子中有大小相同的6个小球，分别标记着1，2，2，3，4，5，现从中随机摸出3个小球．记摸到的小球上的数字的最小值为 $X$ ．

(1)、求 $P (X = 2)$ ；

(2)、求 $X$ 的分布列和数学期望．

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4、在棱长为1个单位的正四面体ABCD上，一个质点在随机外力的作用下从顶点 $A$ 出发，每隔1秒等可能地沿着棱移动1个单位，移动的方向是随机的．设经过 $n$ 秒（ $n \in N^{*}$ ）后，质点位于平面BCD的概率为 $p_{n}$ ，则 $p_{3} =$ ， $p_{n} =$ ．

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5、已知函数 $f (x) = 5 \ln x - 2 f^{'} (1) x^{2} - 1$ ，则 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为．

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6、 $(1 + \frac{1}{x^{2}}) {(1 - x)}^{6}$ 展开式中 $x^{3}$ 的系数为．

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7、已知 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $a_{n} = \frac{n - 3}{2 n - 15} (n \in N^{*})$ ，则（）

A、 $a_{n} + a_{15 - n} (n \leq 14)$ 为定值 B、数列 $\{a_{n}\}$ 是递增数列 C、 $S_{n} \geq S_{7}$ D、数列 $\{S_{n + 6}\}$ 是递增数列

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8、已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} - 2 x + 1$ ，则（）

A、 $f (x)$ 可能没有零点 B、 $f (x)$ 有两个极值点 C、 $\forall a \in R$ ， $f (x)$ 在 $(- \infty, 0)$ 有最大值 D、 $\exists a \in R$ ， $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 单调递增

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9、设随机变量 $X ~ N (0, 2^{2})$ ，随机变量 $Y ~ N (0, 3^{2})$ ，则（）

A、 $E (X) = E (Y)$ B、 $3 D (X) = 2 D (Y)$ C、 $P (X \leq - 2) + P (X \leq 2) = 1$ D、 $P (|X| \leq 1) > P (|Y| \leq 1)$

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10、今年某企业投产高新设备，合格品全部销售完毕，预设第 $n$ 个月将实现销量倍增的目标．已知每月产量在前一个月的基础上提高 $10 %$ ，第 $1$ 个月产品合格率为 $90 %$ ，前 $9$ 个月合格率每月增加 $1 %$ ，之后合格率保持不变．则 $n$ 的值为（）（ $n \in N^{*}$ 且 $n \leq 12$ ，参考数据： $1.7 < {1.1}^{6} < 1.8$ ， $1.9 < {1.1}^{7} < 2$ ）

A、 $7$ B、 $8$ C、 $9$ D、 $10$

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11、某运动质点位移 $y$ 与时间 $t$ 之间的关系为 $y = \sin t + \frac{1}{2} \sin 2 t$ ，则该质点的最大瞬时速度是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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12、为了检测某种药物 $A$ 对预防疾病 $B$ 的效果，进行了小动物试验，得到如下列联表：
药物 $A$
疾病 $B$
合计
未患病
患病
服用
18
7
25
未服用
12
8
20
合计
30
15
45
已知 $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $P (χ^{2} \geq 3.841) = 0.05$ ．根据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，则下列结论正确的是（）

A、药物 $A$ 对预防疾病 $B$ 有效果 B、药物 $A$ 对预防疾病 $B$ 有效果，这个结论犯错误的概率不超过0.05 C、药物 $A$ 对预防疾病 $B$ 无效果 D、药物 $A$ 对预防疾病 $B$ 无效果，这个结论犯错误的概率不超过0.05

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13、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{3} = 2 S_{6} = 6$ ，则 $S_{9} =$ （）

A、 $- 9$ B、 $- 6$ C、 $- 3$ D、 $9$

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14、某种产品的加工需要经过 $5$ 道工序，如果其中的 $a$ 、 $b$ 两道工序必须相邻，则加工顺序共有（）

A、 $12$ 种 B、 $24$ 种 C、 $36$ 种 D、 $48$ 种

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15、如图， $△ A B C$ 中， $\vec{A D} = 2 \vec{D B}$ ， $\vec{B E} = \vec{E C}$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，则 $\vec{D E} =$ （）

A、 $- \frac{1}{6} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ B、 $- \frac{1}{6} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ C、 $- \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$

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16、已知复数 $(1 - 2 i) z = 5$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 - 2 i$ B、 $1 + 2 i$ C、 $5 - i$ D、 $5 + i$

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17、已知集合A={x|2≤x＜4}，B={x|3x-7≥8-2x}，则 $A \cap B =$ （）

A、{x|2＜x＜3} B、{x|2≤x≤3} C、{x|3＜x＜4} D、{x|3≤x＜4}

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18、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ ， $A (0, b)$ ， $B (0, - b)$ ．椭圆C内部的一点 $T (t, \frac{1}{2}) (t > 0)$ ，过点T作直线AT交椭圆于M，作直线BT交椭圆于N．M、N是不同的两点．

(1)、若椭圆C的离心率是 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求b的值；

(2)、设 $△ B T M$ 的面积是 $S_{1}$ ， $△ A T N$ 的面积是 $S_{2}$ ，若 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = 5$ ， $b = 1$ 时，求t的值；

(3)、若点 $U (x_{u}, y_{u})$ ， $V (x_{v}, y_{v})$ 满足 $x_{u} < x_{v}$ 且 $y_{u} > y_{v}$ ，则称点U在点V的左上方．求证：当 $b > \frac{1}{2}$ 时，点N在点M的左上方．

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19、如图1， $△ A B C$ 是等边三角形， $△ D A C$ 为等腰直角三角形， $D A = D C = \sqrt{2}$ ，将 $△ D A C$ 沿AC翻折到 $△ P A C$ 的位置，且点P不在平面ABC内）（如图2），点F在线段PB上（不含端点）．

(1)、证明： $A C ⊥ P B$ ；

(2)、若 $P B = 2$ ．
（ⅰ）当点F为线段PB的中点时，求直线PB与平面ACF所成角的大小；
（ⅱ）设平面ACF与平面PBC的夹角为 $α$ ，求 $\cos α$ 的取值范围．

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20、已知函数 $f (x) = a x^{3} - 3 x^{2} + 1 - \frac{3}{a}$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若曲线 $y = f (x)$ 上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段 $A B$ 与x轴有公共点，求实数a的取值范围．

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药物 $A$	疾病 $B$		合计
药物 $A$	未患病	患病	合计
服用	18	7	25
未服用	12	8	20
合计	30	15	45