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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = e^{x} - e^{- x} + 2 sin x$ ，若 $m > 0$ ， $n > 0$ ，且 $f (2 m) + f (n - 2) = f (0)$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{2}{n}$ 的最小值是．

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2、 ${(x - \frac{1}{3 \sqrt{x}})}^{6}$ 展开式中的常数项为．

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3、我们常用的数是十进制数，如 $1025 = 1 \times 10^{3} + 0 \times 10^{2} + 2 \times 10^{1} + 5 \times 10^{0}$ ，表示十进制的数要用10个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；而电子计算机用的数是二进制数，只需两个数码0和1，如四位二进制的数 $1101_{(2)} = 1 \times 2^{3} + 1 \times 2^{2} + 0 \times 2^{1} + 1 \times 2^{0}$ ，等于十进制的数13．已知 $m, n \in N^{*}$ ，且 $m \geq 2$ ， $n \geq 2$ ，若把 $m$ 位 $n$ 进制中的最大数记为 $M (m, n)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $M (5, 4) = 1023$ B、 $M (2, 4) < M (4, 2)$ C、 $M (3^{n}, 2) > M (3 n, 2)$ D、 $M (n + 3, n + 2) > M (n + 2, n + 3)$

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4、如图，在直棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $∠ B A D = 60^{\circ}$ ， $A A_{1} = 2$ ，点 $P$ 为 $C C_{1}$ 的中点，动点 $Q$ 在侧面 $D C C_{1} D_{1}$ 内（包含边界），则下列结论正确的是（）

A、 $B D ⊥ A_{1} P$ B、平面 $A_{1} B P$ 与平面 $A B C D$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{30}}{10}$ C、若 $A_{1} Q = \sqrt{11}$ ，则点 $Q$ 轨迹的长度为 $\frac{\sqrt{2} π}{2}$ D、若点 $G$ 在直线 $A_{1} B$ 上，则 $A G + G P$ 的最小值为 $\sqrt{9 - 2 \sqrt{10}}$

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5、某同学掷骰子五次，分别记录每次骰子出现的点数．根据该同学记录的结果，判断可能出现点数6的是（）

A、平均数为3，中位数为2 B、中位数为3，众数为2 C、平均数为2，方差为2.4 D、中位数为3，方差为2.8

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6、已知抛物线 $C$ 的方程为 $y^{2} = 4 x$ ，直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $A$ ， $B$ 两点分别位于 $x$ 轴的上下两侧，且 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 5$ ，其中 $O$ 为坐标原点．过抛物线 $C$ 的焦点 $F$ 向 $l$ 作垂线交 $l$ 于点 $H$ ，动点 $H$ 的轨迹为 $L$ ，则 $L$ 的方程和直线 $O H$ 斜率的最大值分别为（）

A、 ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 4$ （除去点 $(1, 0)$ ）， $\frac{2}{3}$ B、 ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 4$ （除去点 $(1, 0)$ ）， $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 1$ ， $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 1$ ， $\frac{1}{3}$

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7、设曲线 $y = e^{(n + 1) x} (n \in N^{*})$ 在 $(1, e^{n + 1})$ 处的切线与 $x$ 轴交点的横坐标为 $x_{n}$ ，则 ${log}_{2025} x_{1} + {log}_{2025} x_{2} + {log}_{2025} x_{3} + \dots + {log}_{2025} x_{2024}$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $- {log}_{2025} 2024$ C、 ${log}_{2025} 2024 - 1$ D、1

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8、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} sinπ ω x - cosπ ω x (ω > 0)$ 在 $[0, 1]$ 内恰有3个最值点和3个零点，则实数 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{10}{3}, \frac{23}{6}]$ B、 $[\frac{10}{3}, \frac{23}{6})$ C、 $[\frac{7}{3}, \frac{19}{6})$ D、 $[\frac{8}{3}, \frac{19}{6})$

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9、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公差 $d \neq 0$ ，若 $S_{5} = 35$ ，且 $a_{2}$ ， $a_{4}$ ， $a_{9}$ 成等比数列，则 $a_{7}$ 的值为（）

A、11 B、13 C、19 D、17

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10、已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (10, σ^{2})$ ，下列结论中正确的是（）

A、 $P (X < 9.9) + P (X \leq 10.1) > 1$ B、当 $σ = 0.1$ 时， $D (2 X + 1) = 0.4$ C、 $E (X) = \sqrt{10}$ D、随机变量 $X$ 落在 $(9.9, 10.2)$ 与落在 $(9.8, 10.1)$ 的概率相等

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11、已知 $\vec{a} = (2, 2 m - 1)$ ， $\vec{b} = (4, m)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、4 B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $- 6$

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12、设 $i$ 为虚数单位，复数 $z$ 满足 $z (2 + i) = 6 + 2 i$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{5}$

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13、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} - 6 x + 8 < 0\}$ ，集合 $B = \{x ∣ {log}_{2} (x + 1) > 1\}$ ，则 $∁_{B} A =$ （）

A、 $[1, 2] \cup [3, + \infty)$ B、 $(- 2, - 1) \cup [4, + \infty)$ C、 $(1, 2]\cup[4, + \infty)$ D、 $(1, 2) \cup (4, + \infty)$

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14、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $c = 4, C = \frac{π}{3}$ ， $sin B cos A = sin 2 A$ ，且 $b^{2} + c^{2} \neq a^{2}$ ，则（）

A、 $△ A B C$ 的外接圆直径为 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ B、 $b = 2 a$ C、 $△ A B C$ 的面积为 $3$ D、 $△ A B C$ 的周长为 $4 + 4 \sqrt{3}$

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15、如图1，已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，准线交 $x$ 轴于点 $D$ ，过点 $F$ 作倾斜角为 $θ$ 的直线交抛物线于 $A, B$ 两点（点 $A$ 在第一象限）．当 $θ = \frac{π}{2}$ 时， $|O A| = \sqrt{5}$ ．

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、如图2，把 $△ A D F$ 沿 $D F$ 翻折为 $△ P D F$ ，使得二面角 $P - D F - B$ 的大小为 $\frac{2 π}{3}$ ．
①若 $θ = \frac{π}{3}$ ，求直线 $B D$ 与平面 $P B F$ 所成角的正弦值；
②证明：三棱锥 $D - P B F$ 的体积为定值．

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16、近年来，中国新能源汽车产业，不仅技术水平持续提升，市场规模也持续扩大，取得了令人瞩目的成就，国产新能源汽车正逐步引领全球新能源汽车的发展潮流．某新能源汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行了调研，数据如下：
时间
$2023$ 年 $12$ 月
$2024$ 年 $1$ 月
$2024$ 年 $2$ 月
$2024$ 年 $3$ 月
$2024$ 年 $4$ 月
月份代码 $x$
$1$
$2$
$3$
$4$
$5$
销量 $y /$ 千辆
$14$
$15$
$16$
$18$
$19$

(1)、若 $y$ 与 $x$ 线性相关，求 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程，并估计该地区新能源汽车在 $2025$ 年1月份的销量；

(2)、该企业为加强新能源汽车宣传推广，计划引进入工智能工具，并对宣传部门员工进行人工智能工具使用培训．为节约培训成本，需要将宣传部门部分员工调整至其他部门，剩余宣传部门员工全部参加培训．培训分为四期，每期培训的结果是否“优秀”相互独立，且每期培训中员工达到“优秀”标准的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，员工至少两期培训达到“优秀”标准，才能使用人工智能工具．该企业宣传部门现有员工 $100$ 人，开展培训前，员工每人每年平均为企业创造净利润 $12$ 万元，开展培训后，能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造净利润 $18$ 万元，本次培训费每人1万元（计入年度部门成本）．若要确保调整后第一年，宣传部门员工创造的年净利润不低于调整前，请应用概率知识进行决策，预计最多可调整多少人去其他部门？
参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

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17、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $\frac{a}{cos A} + \frac{b}{cos B} = \frac{c}{sin C}$ ．

(1)、证明： $cos A cos B = sin C$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{c^{2}}{10 sin C}$ ，求 $cos C$ ．

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18、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} + 2 x, x \geq 0 \\ x^{2} + a x, x < 0 \end{array}$ 是奇函数，则 $f (f (3)) =$ ．

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19、设 $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数，记 $\{x\} = x - [x]$ ，则对任意实数 $x, y$ ，有（）

A、 $\{- x\} = \{x\}$ B、 $\{2 x\} = 2 \{x\}$ C、 $\{x\} + \{y\} \leq \{x + y\}$ D、 $\{x\} - \{y\} \leq \{x - y\}$

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20、已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C$ 的两个焦点， $P$ 为 $C$ 上一点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 120^{\circ}, |P F_{1}| = 3 |P F_{2}|$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{13}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{13}}{8}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{8}$

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时间	$2023$ 年 $12$ 月	$2024$ 年 $1$ 月	$2024$ 年 $2$ 月	$2024$ 年 $3$ 月	$2024$ 年 $4$ 月
月份代码 $x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
销量 $y /$ 千辆	$14$	$15$	$16$	$18$	$19$