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相关试卷

1、若圆锥的底面直径为6，母线长为5，则其内切球的表面积为．

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2、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列说法正确的是（）

A、若 $a \cos A = b \cos B$ ，则 $△ A B C$ 是等腰三角形 B、若 $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $∠ B = 45 °$ ， $A C = 3$ ，则满足条件的三角形有且只有一个 C、若 $△ A B C$ 不是直角三角形，则 $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$ D、若 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} < 0$ ，则 $△ A B C$ 为钝角三角形

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3、已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则 $\vec{A E} \cdot \vec{A F}$ 的值为（）

A、 $a^{2}$ B、 $\frac{1}{2} a^{2}$ C、 $\frac{1}{4} a^{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2} a^{2}$

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4、在第33届夏季奥运会期间，中国中央电视台体育频道在某比赛日安排甲、乙、丙、丁4个人参加当天A，B，C三个比赛场地的现场报道，且每个场地至少安排一人，甲不在A场地的不同安排方法数为（）

A、32 B、24 C、18 D、12

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + \frac{2}{n^{2} + n}$ ，则 $a_{10} =$ （）

A、 $\frac{25}{9}$ B、 $\frac{14}{5}$ C、 $\frac{31}{11}$ D、 $\frac{17}{6}$

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6、已知 $2 \cos (2 x + \frac{π}{12}) \cos (x - \frac{π}{12}) - \cos 3 x = \frac{1}{4}$ ，则 $\sin (\frac{π}{6} - 2 x) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{7}{8}$ D、 $- \frac{7}{8}$

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7、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} + 3 x + 2 > 0\}$ ，集合 $B = \{x ∣ 0 \leq x \leq 4\}$ ，则（）

A、 $A \cap B = \emptyset$ B、 $A \cup B = R$ C、 $A \subseteq B$ D、 $B \subseteq A$

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8、定义：P，Q为一个几何系统中的任意两点，则 $d (P, Q)$ 为这两个点的最大距离，例如，某个几何系统由一个圆构成，则 $d (P, Q)$ 为此圆的直径.

(1)、已知 $△ A B C$ 为边长为2的正三角形，求由 $△ A B C$ 的外接圆构成的几何系统的 $d (P, Q)$ ；

(2)、已知 $△ A B C$ 为直角边为2的等腰直角三角形，其中 $A B ⊥ A C$ ，求分别以 $△ A B C$ 三边为直径的三个圆构成的几何系统的 $d (P, Q)$ ；

(3)、已知正四面体 $A - B C D$ 的棱长为2，求由正四面体的棱切球（与各棱相切的球）和 $△ B C D$ 的外接圆所构成的几何系统的 $d (P, Q)$ .（此小题只要求给出答案，不需过程.）

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9、如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 为矩形， $△ S A D$ 为等边三角形，且S在平面 $A B C D$ 上的射影为 $A D$ 中点P， $A B = 1$ ， $V_{S - A B C D} = \frac{2}{3} \sqrt{3}$ .

(1)、若E为棱 $S B$ 的中点，求证： $P E / /$ 平面 $S C D$ ；

(2)、在棱 $S C$ 上是否存在点M，使得直线 $S C$ 与平面 $P M B$ 所成角的余弦值为 $\frac{1}{5}$ ，若存在，求出点M的位置并给以证明，若不存在，请说明理由.

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10、已知双曲线C的两个焦点坐标分别为 $F_{1} (- 2 \sqrt{2}, 0)$ ， $F_{2} (2 \sqrt{2}, 0)$ ，双曲线C上一点P到两焦点的距离之差的绝对值等于4.

(1)、求双曲线C的标准方程；

(2)、经过点 $M (3, 1)$ 作直线 $l$ 交双曲线的右支于A，B两点，且M为 $A B$ 的中点，求直线 $l$ 的方程；

(3)、已知定点 $G (\sqrt{2}, 3)$ ，点D是双曲线右支上的动点，求 $|D F_{1}| + |D G|$ 的最小值.

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11、某台风中心位于某地A处，距离台风中心A正西方向150km的B处有一人，正以北偏东 $θ$ 角（ $θ$ 为锐角）方向骑摩托车行进，速度为50km/h，已知距离台风中心 $75 \sqrt{3}$ km以内会受其影响.

(1)、若此人刚好不被台风影响，求 $\tan θ$ 的最大值；

(2)、若此人骑行方向为北偏东45°，（速度保持不变）求此人受台风影响持续多少时间？

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12、已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中的一个椭圆，中心为原点，左焦点 $F (- 1, 0)$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求该椭圆的标准方程；

(2)、已知点 $A (1, 1)$ ，若P是椭圆上的动点，求线段 $P A$ 中点M的轨迹方程.

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13、已知三棱锥 $P - A B C$ 的体积为3，M是空间中一点， $\vec{P M} = - \frac{2}{9} \vec{P A} + \frac{1}{9} \vec{P B} + \frac{4}{9} \vec{P C}$ ，则三棱锥 $B - M A C$ 的体积是.

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14、直线 $y = x + 1$ 被椭圆 $x^{2} + 2 y^{2} = 2$ 截得的弦长为.

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15、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\frac{5}{3}$ ，则双曲线 $C$ 的渐近线方程为.

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16、已知圆C： ${(x + 3)}^{2} + y^{2} = 9$ ，直线 $l$ ： $(m + 2) x + 4 y - 2 + m = 0 (m \in R)$ ，则（）

A、直线 $l$ 恒过定点 $(- 1, 1)$ B、直线 $l$ 与圆C有两个交点 C、当 $m = 1$ 时，圆C上恰有三个点到直线 $l$ 的距离等于1 D、圆C与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 8 y + 8 = 0$ 恰有三条公切线

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17、已知椭圆 $C_{1}$ 与双曲线 $C_{2}$ 有相同的焦点 $F_{1} (- 2 \sqrt{3}, 0)$ ， $F_{2} (2 \sqrt{3}, 0)$ ，离心率分别为 $e_{1}$ ， $e_{2}$ ，点P为椭圆 $C_{1}$ 与双曲线 $C_{2}$ 在第一象限的公共点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ ，若 $e_{1} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则双曲线 $C_{2}$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{6} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{12} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{8} = 1$

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18、直线 $l$ ： $m x - y - 2 m + 1 = 0$ ，与圆C： ${(x - 2)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 25$ 相交弦中最短的弦长为（）

A、5 B、6 C、8 D、10

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19、已知圆的方程为： $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 1 = 0$ ，则圆心坐标为（）

A、 $(- 2, 4)$ B、 $(- 1, 2)$ C、 $(2, - 4)$ D、 $(1, - 2)$

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20、在斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $\vec{A C} + \vec{C B} + \vec{B B_{1}} =$ （）

A、 $\vec{A_{1} C}$ B、 $\vec{A_{1} B}$ C、 $\vec{A B_{1}}$ D、 $\vec{A C_{1}}$

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