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相关试卷

1、数学兴趣小组在研究学校附近池塘里某种水生植物的面积变化情况，每隔一个月（每月月底）测量一次该水生植物的面积，通过近一年的观察发现：该水生植物在池塘里面积增加的速度是越来越快的．已知二月底测得该水生植物的面积为 $24 m^{2}$ ，三月底测得该水生植物的面积为 $40 m^{2}$ ，该水生植物的面积y（单位： $m^{2}$ ）与时间x（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择：一个是同学甲提出的 $y = k a^{x}$ （ $k > 0$ ， $a > 1$ ），另一个是同学乙提出的 $y = p x^{\frac{1}{3}} + k$ （ $p > 0$ ， $k > 0$ ），记一月底测量时间x的值为1．

(1)、请你判断哪个同学提出的函数模型更适合？并求出该函数模型的解析式；

(2)、自几月底起池塘里该水生植物面积是一月底该水生植物面积的10倍以上？（参考数据： $\lg 2 \approx 0.30$ ， $\lg 3 \approx 0.48$ ）

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2、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \in [0, + \infty)$ 时， $f (x) = x + \log_{2} (x + 1)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, 0)$ 上的解析式；

(2)、求不等式 $f (\log_{\frac{1}{2}} x) + f (\log_{2} (2 x - 1)) < 0$ 的解集．

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3、（1）化简并求值： $e^{\ln 3} + \lg 2 + \lg 5 - 8^{\frac{2}{3}} + {(- 2025)}^{0}$ ；
（2）已知 $\tan α = 2$ ，求 $\sin^{2} α + \sin α \cos α + 2 \cos^{2} α$ 的值．

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4、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (3 - a) x + a - 1, x < 1 \\ \log_{a} (x^{2} - a x + \frac{11}{4}), x \geq 1 \end{array}$ ，若 $f (x)$ 在 $R$ 上是增函数，则实数 $a$ 的取值范围是．

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5、已知x，y，z均为正实数，若 $3^{x} = 4^{y} = 6^{z}$ ，则 $\frac{z (x + 2 y)}{x y}$ 的值为．

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6、已知幂函数 $f (x) = k x^{a} (k, a \in R)$ 的图像过点 $(64, 4)$ ，则 $\frac{k}{a} =$ ；

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7、已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ ，对任意实数 $x, y$ 都有 $f (x + y) + f (x - y) = f (x) f (y)$ ，且 $f (2) = - 2$ ，则以下结论一定正确的有（）

A、 $f (0) = 2$ B、 $f (x)$ 是奇函数 C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(1, 0)$ 中心对称 D、 $f (1) + f (2) + \dots + f (2025) = 0$

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8、设函数 $f (x) = \frac{3^{x} - 3^{- x}}{2}$ ， $g (x) = \frac{3^{x} + 3^{- x}}{2}$ ，则（）

A、 $f (2 x) = 2 f (x) \cdot g (x)$ B、函数 $y = f (x) \cdot g (x)$ 为奇函数 C、函数 $y = \frac{g (x)}{f (x)}$ 在其定义域上为增函数 D、函数 $y = \frac{f (x)}{g (x)}$ 的值域为 $(- 1, 1)$

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9、下列命题中，正确的有（）

A、函数 $y = \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1}$ 与函数 $y = \sqrt{x^{2} - 1}$ 表示同一函数 B、终边在y轴上的角的集合为 $\{θ | θ = k π + \frac{π}{2}, k \in Z\}$ C、函数 $f (x) = \log_{a} (x + 1) - 2$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象恒过定点 $(0, - 2)$ D、若 $α$ 是第三象限角，则 $\tan \frac{α}{3} > 0$

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10、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} |e^{x + 2} - 1|, x \leq 0 \\ 1 + \ln x, x > 0 \end{matrix}$ ，若方程 $1 + 2 m f (x) = {[f (x)]}^{2} + m^{2}$ 有且仅有5个不同实根，则实数m的取值范围是（）

A、 $(- 1, 0)$ B、 $(1, e^{1} - 2]$ C、 $(1, 2)$ D、 $[1, 2)$

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11、已知 $a = \log_{3} 4$ ， $b = \frac{3}{2}$ ， $c = \log_{2} 3$ ，则有（）

A、 $c > b > a$ B、 $c > a > b$ C、 $b > c > a$ D、 $a > b > c$

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12、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 2^{x}, x > 0 \\ f (x + 2), x \leq 0 \end{matrix}$ ，则 $f (- 3) =$ （）

A、1 B、2 C、4 D、8

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13、已知函数 $f (x) = ln (a e^{2 x} - 3 e^{x} + 4)$ 的定义域为 $R$ .

(1)、求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $\exists m, n \in R$ ，使得 $f (x)$ 在区间 $[m, n]$ 上单调递增，且值域为 $[m, n]$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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14、已知函数 $f (x) = k x + {log}_{9} (9^{x} + 1), (k \in R)$ 是偶函数.

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、若 $f (x) - (\frac{1}{2} x + b) > 0$ 对于任意 $x \in R$ 恒成立，求 $b$ 的取值范围.

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15、已知 $\tan α = \log_{2} 3 \cdot \log_{3} 4 - \sqrt[3]{64} + {0.125}^{- \frac{2}{3}}$ ．

(1)、若 $α$ 是第一象限角，求 $\sin α$ 的值；

(2)、求 $\frac{2 \sin (π + α) \cos (- 2 π - α)}{\sin^{2} (- α) - \sin^{2} (\frac{3 π}{2} - α)}$ 的值．

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16、函数 $f (x) = \log_{2} (- x^{2} + a x + 3)$ 在 $(2, 4)$ 是单调递减的，则 $a$ 的取值范围是.

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17、下列论述中，正确的有（）

A、集合 $\{a, b, c\}$ 的非空子集的个数有7个 B、第一象限角一定是锐角 C、若 $f (x)$ 为定义在区间 $(a, b)$ 上的连续函数，且有零点，则 $f (a) \cdot f (b) < 0$ D、 $x > 2$ 是 $x > 1$ 的充分不必要条件

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18、已知函数 $f (x) = \ln (\sqrt{x^{2} + 1} - x) + 1$ ，正实数a，b满足 $f (2 a) + f (b - 4) = 2$ ，则 $\frac{4 b}{a} + \frac{a}{2 a b + b^{2}}$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、4 D、 $\frac{65}{8}$

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19、设 $a = {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}$ ， $b = \ln 1.5$ ， $c = {(\frac{2}{3})}^{\frac{3}{4}}$ ，则a，b，c的大小顺序是（）

A、 $c < a < b$ B、 $c < b < a$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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20、已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 3 m + 3) x^{m + 1}$ 为偶函数，若函数 $y = f (x) - 2 (a - 1) x$ 在区间 $(- 1, 1)$ 上为单调函数，则实数a的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 0]$ B、 $[2, + \infty)$ C、 $[0, 2]$ D、 $(- \infty, 0] \cup [2, + \infty)$

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