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相关试卷

1、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，且经过点 $(- 2 ， 0)$ 和 $(1 ， \frac{3}{2})$ ，点 $P$ 是椭圆 $C$ 上不在 $x$ 轴上的任意一点，射线 $P F_{1}$ ， $P F_{2}$ 分别与椭圆 $C$ 交于点 $A$ ， $B$ ．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、求 $△ P B F_{1}$ 内切圆面积的最大值；

(3)、设 $△ P F_{1} F_{2}$ ， $△ P F_{1} B$ ， $△ P A B$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ．求证： $\frac{S_{2}}{S_{3} - S_{2}} + \frac{S_{1}}{S_{2} - S_{1}}$ 为定值．

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2、如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ ， $△ P A D$ 是以 $A D$ 为斜边的等腰直角三角形， $B C / / A D$ ， $C D ⊥ A D$ ， $P C = A D = 2 D C = 2 C B$ ， $E$ 为 $P A$ 中点.

(1)、证明： $B E / /$ 平面 $P C D$ ；

(2)、证明： $P B ⊥ A D$ ；

(3)、若 $G$ 是 $P D$ 线段上一动点，直线 $C G$ 与平面 $P C B$ 所成角正弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{8}$ ，求 $\frac{D G}{D P}$ 的值.

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3、已知圆 $C$ 圆心在直线 $y = x$ 上，且经过点 $(1.2)$ 和 $(2, 3)$ .

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、自点 $A (- 3, 3)$ 发出的光线 $m$ 射到 $x$ 轴上，被 $x$ 轴反射，其反射光线所在的直线与圆 $C$ 相切，求光线 $m$ 所在直线的方程．

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4、如图，在空间四边形 $O A B C$ 中，点 $D$ 为 $B C$ 的中点， $2 \vec{A E} = \vec{E D}$ ，设 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ．

(1)、试用向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示向量 $\vec{O E}$ ；

(2)、若 $O A = O B = O C = 2$ ， $∠ A O C = ∠ B O C = ∠ A O B = 60 °$ ，求 $\vec{O E} \cdot \vec{A B}$ 的值．

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5、直线 $l$ 经过两直线 $l_{1} : 4 x + 3 y - 2 = 0$ 和 $l_{2} : x + 2 y + 2 = 0$ 的交点．

(1)、若直线 $l$ 与直线 $3 x + y - 2 = 0$ 平行，求直线 $l$ 的方程；

(2)、若点 $A (4, 1)$ 到直线 $l$ 的距离为2，求直线 $l$ 的方程．

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6、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1, F_{1}, F_{2}$ 分别为左右焦点， $P$ 为椭圆上一点，满足 $cos ∠ F_{1} P F_{2} = \frac{1}{4}$ ，则 $|O P|$ 的长为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\sqrt{7}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3} + 1$

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7、已知双曲线 $\frac{y^{2}}{m^{2}} - \frac{x^{2}}{12} = 1$ 的焦距为 $8$ ，则该双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{1}{3} x$ B、 $y = \pm 3 x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ D、 $y = \pm \sqrt{3} x$

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8、圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 $C_{2} : {(x + 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9$ 的位置关系是（）

A、内含 B、内切 C、外离 D、相交

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9、直线 $\sqrt{3} x + y - 3 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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10、在区间 $I$ 上，若函数 $y = f (x)$ 满足：对给定的非零实数 $t$ ，存在 $x_{0}$ ，使 $f (x_{0} + t) + f (x_{0}) = 1$ 成立，则称函数 $y = f (x)$ 在区间 $I$ 上有“ $t$ 性质”.

(1)、若区间 $I$ 为 $R$ ，给定 $t = 2$ ，判断函数 $f (x) = |x|$ 是否在区间 $I$ 上具有“ $t$ 性质”，并说明理由；

(2)、若函数 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 在区间 $(0,1)$ 上具有“ $t$ 性质”，求 $t$ 的取值范围；

(3)、给定 $t = \frac{π}{6}$ ，若函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{3} \sin 2 x$ 在区间 $(0, m)$ （其中 $m > 0$ ）上具有“ $t$ 性质”，求 $m$ 的取值范围.

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11、已知圆 $C$ 经过 $A (0, 2)$ ， $B (2, 0)$ 两点，圆心在直线 $x + y - 4 = 0$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、 $P$ 是圆 $C$ 上一动点，求 ${|P A|}^{2} + {|P B|}^{2}$ 的范围；

(3)、已知 $M$ 为 $A P$ 的中点，若 $△ M A B$ 的面积为2，求直线 $A P$ 的方程.

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12、如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ ， $B C ∥ A D$ ， $C D ⊥ A D$ ， $A D = 2 D C = 2$ ，点 $M$ ， $N$ 分别是 $A B$ ， $P D$ 的中点， $A P ⊥$ 面 $P C D$ .

(1)、证明：直线 $M N / /$ 面 $P B C$ ；

(2)、若二面角 $P - A C - B$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ ，求 $A P$ .

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13、已知两点 $F (0, 2)$ ， $T (0, 3)$ ，过点 $F$ 的直线与直线 $y = x$ ， $y = - x$ 的交点分别为 $A$ 、 $B$ 两点，直线 $A T$ 与直线 $y = - x$ 交于 $C$ 点，直线 $B T$ 与直线 $y = x$ 交于 $D$ 点，

(1)、当 $2 |B F| = |F A|$ 时，求直线 $A B$ 的方程；

(2)、判断直线 $C D$ 是否过定点，若是，求出该点坐标，若不是，请说明理由.

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14、记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $b = 2 c$ ，

(1)、若 $B + C = 120 °$ ， $S_{△ A B C} = 2 \sqrt{3}$ ，求 $a$ .

(2)、若 $B - C = 120 °$ ， $S_{△ A B C} = \frac{3 \sqrt{3}}{14}$ ，求 $b + c$ .

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15、2022年卡塔尔世界杯会徽近似伯努利双纽线，不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一的美，同时也具有特殊的有价值的艺术美.曲线 $C : {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 4 (x^{2} - y^{2})$ 是“双纽线”，若直线 $y = k x$ 与曲线 $C$ 只有一个交点，则实数 $k$ 的取值范围是.

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16、点 $M (0, 2)$ 为圆 $C : {(x - 4)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 25$ 上一点，过 $M$ 作圆的切线 $l$ ，且直线 $l$ 与直线 $l^{'} : 4 x - a y + 2 = 0$ 平行，则 $l$ 与 $l^{'}$ 之间的距离是.

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17、如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为棱 $B B_{1}$ 的中点， $Q$ 为正方形 $B B_{1} C_{1} C$ 内一动点（含边界），有下列正确的命题（）

A、三棱锥 $A_{1} - D_{1} P D$ 的体积为 $\frac{1}{6}$ ； B、若 $C Q / /$ 平面 $A_{1} P D$ ，则直线 $C Q$ 不可能垂直于直线 $C_{1} Q$ ； C、平面 $A_{1} P D$ 截正方体的截面为等腰梯形； D、三棱锥 $A - A_{1} P D$ 的外接球的表面积为 $\frac{41}{16} π$ .

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18、过定点 $A$ 的动直线 $l_{1} : x + m y - 4 m - 1 = 0$ 和过定点 $B$ 的动直线 $l_{2} : m x - y - m + 3 = 0$ ， $P$ 点为两直线的交点，圆 $C : {(x - 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 4$ ，则下列说法正确的有（）

A、对任意 $m$ ，圆 $C$ 上恒有4个点到直线 $l_{1}$ 的距离为 $\frac{1}{2}$ B、直线 $l_{2}$ 以与圆 $C$ 相交且最短弦长为 $2 \sqrt{2}$ C、动点 $P$ 的轨迹与圆 $C$ 相交 D、 $P A^{2} + P B^{2}$ 为定值

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19、给出下列说法，其中正确的是（）

A、数据 $0$ ， $1$ ， $1$ ， $2$ ， $2$ ， $2$ ， $3$ ， $4$ 的极差与众数之和为 $6$ B、已知一组数据 $1$ ， $2$ ， $m$ ， $8$ ， $m + 1$ ， $9$ 的平均数为 $6$ ，则这组数据的中位数是 $8$ C、已知某班共有 $45$ 人，小明在一次数学测验中成绩排名为班级第 $9$ 名，则小明成绩是全班数学成绩的第 $20$ 百分位数 D、一组不完全相同数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $\dots$ ， $x_{n}$ 的方差为 $3$ ，则数据 $2 x_{1} + 1$ ， $2 x_{2} + 1$ ， $\dots$ ， $2 x_{n} + 1$ 的方差为 $12$

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20、法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的蒙日圆为 $C : x^{2} + y^{2} = \frac{5}{3} a^{2}$ ，过 $C$ 上的动点 $M$ 作 $Γ$ 的两条切线，分别与 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，直线 $P Q$ 交 $Γ$ 于 $A$ ， $B$ 两点，则下列结论错误的是（）

A、椭圆 $Γ$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $△ M P Q$ 面积的最大值为 $\frac{5}{3} a^{2}$ C、 $M$ 到 $Γ$ 的左焦点的距离的最小值为 $(\frac{\sqrt{15}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}) a$ D、若动点 $D$ 在 $Γ$ 上，将直线 $D A$ ， $D B$ 的斜率分别记为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，则 $k_{1} k_{2} = - \frac{1}{3}$

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