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相关试卷

1、在 ${(\sqrt{x} - \frac{1}{2 \sqrt[4]{x}})}^{n} (n \geq 3, n \in N^{*})$ 的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．求：

(1)、展开式中二项式系数最大的项；

(2)、展开式中所有的有理项．

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2、随着电商事业的快速发展，网络购物交易额也快速提升，某网上交易平台工作人员对2020年至2024年每年的交易额（取近似值）进行统计分析，结果如下表：
年份
2020
2021
2022
2023
2024
年份代码 $(t)$
1
2
3
4
5
交易额 $y$ （单位：百亿）
1.5
2
3.5
8
15

(1)、据上表数据，计算 $y$ 与 $t$ 的相关系数 $r$ （精确到0.01），并说明 $y$ 与 $t$ 的线性相关性的强弱；（若 $0.75 < |r| < 1$ ，则认为 $y$ 与 $t$ 线性相关性很强；若 $0.3 < |r| \leq 0.75$ ，则认为 $y$ 与 $t$ 线性相关性一般；若 $|r| \leq 0.3$ ，则认为 $y$ 与 $t$ 线性相关性较弱．）

(2)、利用最小二乘法建立 $y$ 关于 $t$ 的线性回归方程，并预测2025年该平台的交易额．
参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y}) = 33$ ， $\sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 127.5$ ， $\sqrt{51} \approx 7.14$
参考公式：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ；
线性回归方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} t$ 中，斜率和纵截距的最小二乘估计分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{t}$ ．

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3、某蓝莓基地种植蓝莓，按1个蓝莓果重量 $Z$ （克）分为4级： $Z > 20$ 的为 $A$ 级， $18 < Z \leq 20$ 的为 $B$ 级， $16 < Z \leq 18$ 的为 $C$ 级， $14 < Z \leq 16$ 的为 $D$ 级， $Z \leq 14$ 的为废果．将 $A$ 级与 $B$ 级果称为优等果．已知蓝莓果重量 $Z$ 可近似服从正态分布 $N (15, 9)$ ．对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出1个蓝莓果，记每次抽到优等果的概率为 $p$ （精确到0.1）.若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽出优等果，但抽查次数最多不超过 $n$ 次，若抽查次数 $X$ 的期望值不超过3，则 $n$ 的最大值为．
参考数据：若 $X ～ N (μ, σ^{2})$ ，则： $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ； $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ； $P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973$ ．

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4、设随机事件 $A, B$ ，已知 $P (A) = 0.4$ ， $P (B) = 0.3$ ， $P (A \cap B) = 0.1$ ，则 $P (B |A) =$ ．

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5、在 ${(3 x + 2)}^{5}$ 的展开式中 $x$ 的系数为．

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6、甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，下列说法正确的是（）

A、2次传球后球在甲手上的概率是 $\frac{1}{2}$ B、3次传球后球在乙手上的概率是 $\frac{1}{3}$ C、4次传球后球在甲手上的概率是 $\frac{3}{8}$ D、2025次传球后球在甲手上的概率小于 $\frac{1}{3}$

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7、杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行的中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的两个数之和.那么下列说法中正确的是（）

A、从第2行起，第 $n$ 行的第 $r (r \leq n)$ 个位置的数是 $C_{n}^{r - 1}$ B、记第 $n + 1$ 行的第 $i$ 个数为 $a_{i}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n + 1} 3^{i - 1} a_{i} = 4^{n}$ C、从第3行起，每行第3个位置的数依次组成一个新的数列 $\{a_{n}\}$ ，则 $a_{10} = 55$ D、从第3行起，每行第3个位置的数依次组成一个新的数列 $\{a_{n}\}$ ，则 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{n}} = \frac{2 n}{n + 1}$

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8、下列说法中错误的有（）

A、相关系数 $r$ 越小，表明两个变量相关性越弱 B、决定系数 $R^{2}$ 越接近1，表明模型的拟合效果越好 C、若随机变量 $X$ 服从两点分布，其中 $P (X = 0) = \frac{2}{3}$ ，则 $E (3 X + 2) = 3$ ， $D (3 X + 2) = 4$ D、随机变量 $X ～ N (3, σ^{2})$ ，若 $P (X \leq 5) = 0.7$ ，则 $P (X \leq 1) = 0.3$

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9、某单位有1000名职工，想通过验血的方式筛查乙肝病毒携带者．假设携带病毒的人占 $p % (0 < p < 100)$ ．给出下面两种化验方法．
方法1：对1000人逐一进行化验．
方法2：将1000人分为100组，每组10人．对于每个组，先将10人的血各取出部分，并混合在一起进行一次化验.如果混合血样呈阴性，那么可断定这10人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次．运用概率统计的知识判断下面哪个 $p$ 值能使得混合化验方法优于逐份化验方法（）
（参考数据： $lg 0.794 \approx - 0.1$ ）

A、18 B、22 C、26 D、30

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10、已知离散型随机变量 $X$ 的分布列如下表：
$X$
0
1
$- 1$
$P$
$a$
$b$
$c$
其中满足 $a = b + c$ ，则 $D (X)$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{1}{3}$

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11、若 ${(1 - x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} x^{n}$ 的展开式中第3项和第9项的二项式系数相等，则以下判断正确的是（）

A、奇数项的二项式系数和为 $2^{9}$ B、所有奇数项的系数和为 $- 2^{9}$ C、第6项的系数最大 D、 $|a_{1}| + |a_{2}| + |a_{3}| \cdot \cdot \cdot + |a_{n}| = 2^{10}$

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12、中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和猴，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲、乙、丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有（）

A、60种 B、80种 C、90种 D、100种

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13、设 $X ～ N (μ_{1}, σ_{1}^{2})$ ， $Y ～ N (μ_{2}, σ_{2}^{2})$ ，这两个变量的正态曲线如图所示，则（）

A、 $μ_{1} > μ_{2}$ ， $σ_{1} < σ_{2}$ B、 $μ_{1} > μ_{2}$ ， $σ_{1} > σ_{2}$ C、 $μ_{1} < μ_{2}$ ， $σ_{1} < σ_{2}$ D、 $μ_{1} < μ_{2}$ ， $σ_{1} > σ_{2}$

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14、根据一组样本数据 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ， $\cdot \cdot \cdot$ ， $(x_{10}, y_{10})$ ，求得经验回归方程为 $\hat{y} = 1.1 x + \hat{a}$ ，已知 $\bar{x} = 3$ ， $\bar{y} = 4$ ，则 $\hat{a} =$ （）

A、0.5 B、0.6 C、0.7 D、0.8

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15、在几何学中常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线 $C : y = f (x)$ 上的曲线段 $\overset{⌢}{A B}$ ，其弧长为 $Δ s$ ，当动点从 $A$ 沿曲线段 $\overset{⌢}{A B}$ 运动到 $B$ 时， $A$ 点的切线 $l_{A}$ 也随着转动到 $B$ 点的切线 $l_{B}$ ，记这两条切线之间的夹角为 $Δ θ$ （它等于 $l_{B}$ 的倾斜角与 $l_{A}$ 的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则曲线的弯曲程度越大，因此可以定义 $\bar{K} = |\frac{Δ θ}{Δ s}|$ 为曲线段 $\overset{⌢}{A B}$ 的平均曲率；显然当 $B$ 越接近 $A$ ，即 $Δ s$ 越小， $K$ 就越能精确刻画曲线 $C$ 在点 $A$ 处的弯曲程度，因此定义 $K = lim_{Δ s \to 0} |\frac{Δ θ}{Δ s}| = \frac{|y^{″}|}{{(1 + {y^{'}}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ （若极限存在）为曲线 $C$ 在点 $A$ 处的曲率．（其中 $y^{'}$ ， $y^{″}$ 分别表示 $y = f (x)$ 在点 $A$ 处的一阶，二阶导数）

(1)、求单位圆上圆心角为 $45^{\circ}$ 的圆弧的平均曲率；

(2)、求抛物线 $y^{2} = 8 x$ 在 $(2, 4)$ 处的曲率；

(3)、定义 $φ (y) = \frac{2 \sqrt{2} |y^{″}|}{{(1 + y^{'})}^{3}}$ 为曲线 $y = f (x)$ 的“柯西曲率”．已知在曲线 $f (x) = x ln x - 2 x$ 上存在两点 $P (x_{1}, f (x_{1}))$ 和 $Q (x_{2}, f (x_{2}))$ ，若 $x_{2} \geq 8 x_{1}$ 且 $P$ ， $Q$ 处的“柯西曲率”相同，求 $\sqrt[3]{x_{1}} + \sqrt[3]{x_{2}}$ 的最小值．

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16、如图，在正四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A = A B = 2$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $P B$ ， $P D$ 的中点．设平面 $A E F \cap$ 平面 $A B C D = m$ ．

(1)、求证： $m // B D$ ；

(2)、求直线 $P A$ 与平面 $A E F$ 所成角的正弦值；

(3)、若平面 $A E F$ 与棱 $P C$ 交于点 $M$ ，求 $\frac{P M}{P C}$ 的值．

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17、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，点 $P (1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 在椭圆 $C$ 上．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、已知过点 $F_{2}$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，当 $△ F_{1} A B$ 的面积最大时，求此时直线 $l$ 的方程．

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为 $a_{1} = 4$ ，且满足 $a_{n + 1} + a_{n} = 6 \times 5^{n} (n \in N^{*})$ ．

(1)、求证： $\{a_{n} - 5^{n}\}$ 是等比数列；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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19、记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $sin C = sin A cos B + \frac{1}{2} sin B$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $b + c = 2 a$ ， $△ A B C$ 外接圆的半径为2，求 $△ A B C$ 的面积．

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20、一个质点从平面直角坐标系的原点出发，每秒末必须等可能向右、或向左、或向上、或向下跳一个单位长度，则此质点在第10秒末到达点 $P (4, 2)$ 的跳法共有种．（用数字作答）

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年份	2020	2021	2022	2023	2024
年份代码 $(t)$	1	2	3	4	5
交易额 $y$ （单位：百亿）	1.5	2	3.5	8	15

$X$	0	1	$- 1$
$P$	$a$	$b$	$c$