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相关试卷

1、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{a_{n + 1}} = \frac{1}{a_{n}} + 3^{n} + 1$ ．

(1)、证明：数列 $\{\frac{1}{a_{n}} - \frac{3^{n}}{2}\}$ 是等差数列；

(2)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、若 $b_{n} = \frac{4}{a_{n}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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2、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上任意一点 $P$ 到 $C$ 的两个焦点 $F_{1} (- 2 \sqrt{2}, 0), F_{2} (2 \sqrt{2}, 0)$ 的距离之和为 $4 \sqrt{3}$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、已知直线 $l : y = \frac{1}{3} x + m$ 与 $C$ 相交于A，B两点，若 $|A B| = 5$ ，求 $m$ 的值.

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3、已知样本相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ，则成对样本数据 $(0, 0)$ ， $(1, - 1)$ ， $(2, 3)$ ， $(3, 5)$ ， $(4, 3)$ 的相关系数为.

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4、若 $a = 2024^{0.2025}$ ， $b = \log_{2024} \frac{1}{2025}$ ， $c = \sin \frac{1}{2025}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $a > c > b$ D、 $c > a > b$

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5、若将一个表面积为 $36 π {cm}^{2}$ 的铁球熔铸成一个高为9cm的实心圆锥（熔铸过程中损耗忽略不计），则该圆锥的底面半径为（）

A、2cm B、 $2 \sqrt{3} cm$ C、3cm D、 $3 \sqrt{2} cm$

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6、已知 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x - 3 ln x$ ， $g (x) = \frac{1}{6} x^{3} + x^{2} - a ln x .$

(1)、求 $f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若不等式 $x f^{'} (x) - g^{'} (x) > \frac{1}{3} f (x) + \frac{1}{3} x^{2} - \frac{10}{3} x + a - 4$ 对任意 $x > 1$ 成立，求a的最大整数解．

(3)、 $F (x) = g (x) - \frac{1}{6} x^{3}$ 的两个零点为 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，且 $x_{0}$ 为 $F (x)$ 的唯一极值点，求证： $x_{1} + 3 x_{2} > 4 x_{0}$ ．

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 S_{n} = 3 a_{n} + 2 n - 6$ ．

(1)、证明： $\{a_{n} - 1\}$ 是等比数列，并求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = \frac{{(- 1)}^{n} (4 a_{n} - 2)}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，记数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ．
①求 $T_{2 n}$ ；②对 $\forall n \in N^{*}$ ，都有 $λ \leq T_{n}$ 成立，求 $λ$ 的取值范围．

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8、已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (2 - x) = f (x)$ ，当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $f (x) = 2^{x} + m$ ，则 $f ({log}_{2} 12) =$ ．

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9、函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的定义域均为 $R$ 且 $f (x)$ 不恒为零，若对任意 $x, y \in R$ ， $f (x - y) = f (x) g (y) - g (x) f (y)$ ，则 $f (x)$ 和 $g (x)$ 互为“关联函数”.已知 $f (x)$ ， $g (x)$ 互为“关联函数”，则以下说法正确的是（）

A、 $f (x)$ ， $g (x)$ 中必有一个为周期函数 B、若 $f (x) = \sin x$ ，则 $g (x)$ 的解析式可以为 $g (x) = \cos x$ C、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 中至少有一个函数为奇函数 D、若 $f (2) = 0$ ， $f (- 1) = - 4$ ，则 $f (0) + g (1) + g (- 1) + f (21) = 4$

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10、已知函数 $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + a x - 3$ ，则（）

A、当 $a = 4$ 时， $f (x)$ 在R上单调递增 B、当 $a < 3$ 时， $f (x)$ 有两个极值 C、过点 $(0, 1)$ 且与曲线 $y = f (x)$ 相切的直线恰有两条 D、 $f (- 1 + x) + f (- 1 - x) + 2 a + 2 = 0$ 恒成立

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11、已知正数 $a, b$ 满足 $a + b = 1$ ，则（）

A、 $a b \leq \frac{1}{4}$ B、 $\frac{4}{a} + \frac{1}{b} \geq 9$ C、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \geq \sqrt{2}$ D、 $a^{2} + b^{2} \geq 1$

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12、已知函数 $f (x) = {log}_{2} (4^{x} + 1) - x$ ，则不等式 $f (x - 1) < f (2 x)$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - 1)$ B、 $(- 1, \frac{1}{3})$ C、 $(\frac{1}{3}, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (\frac{1}{3}, + \infty)$

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13、已知 $\tan α = - \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{{(\sin α - \cos α)}^{2}}{\cos 2 α}$ 的值（）

A、2 B、-2 C、3 D、-3

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14、若 $a, b, c, d \in R$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $a < b$ ，则 $a^{2} < b^{2}$ B、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ C、若 $a > b$ ， $c > d$ ，那么 $a c > b d$ D、若 $a > b > 0$ ，则 $\frac{b + 1}{a + 1} > \frac{b}{a}$

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15、已知集合 $A = \{x | \frac{x + 3}{x - 1} \leq - 1\}$ ， $B = \{- 2, - 1, 0, 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0\}$ B、 $\{- 1, 0, 1\}$ C、 $\{- 2, - 1, 0\}$ D、 $\{- 2, - 1, 0, 1\}$

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16、角 $α$ 的终边过点 $(2, 1)$ ，则 $\sin (α + \frac{π}{2}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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17、已知抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为 $F (0, 1)$ ，过点 $P (- 2, 2)$ 的直线 $l$ 与抛物线交于 $A ， B$ 两点．

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、当点 $P$ 为弦 $A B$ 的中点时，求直线 $A B$ 的方程；

(3)、求 $|A F| \cdot |B F|$ 的最小值．

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18、已知 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $S_{3} = a_{5} = 9$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 是公比大于1的等比数列，且 $b_{3}^{2} = b_{6}$ ， $b_{4} - b_{2} = 12$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = a_{n} + b_{n}$ ，求 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $b^{2} + a c = a^{2} + c^{2}$ ， $\sin A = 2 \sin C$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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20、某学校为全面提高学生的语文素养和阅读水平，构建“书香校园”，特举办“课外阅读知识竞赛”，为了调查学生对这次活动的满意程度，在所有参加“课外阅读知识竞赛”的同学中抽取容量为300的样本进行调查，并得到如下 $2 \times 2$ 列联表：
单位：人
满意程度
性别
合计
男生
女生
满意
120
不满意
150
合计
200
请补全上面的 $2 \times 2$ 列联表，依据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，能否认为满意程度与性别有关系.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.1
0.05
0.01
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
10.828

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满意程度	性别		合计
满意程度	男生	女生	合计
满意	120
不满意			150
合计	200

$α$	0.1	0.05	0.01	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	10.828