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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \ln (\sqrt{x^{2} + 1} - x) + 1$ ，正实数a，b满足 $f (2 a) + f (b - 4) = 2$ ，则 $\frac{4 b}{a} + \frac{a}{2 a b + b^{2}}$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、4 D、 $\frac{65}{8}$

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2、设 $a = {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}$ ， $b = \ln 1.5$ ， $c = {(\frac{2}{3})}^{\frac{3}{4}}$ ，则a，b，c的大小顺序是（）

A、 $c < a < b$ B、 $c < b < a$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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3、已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 3 m + 3) x^{m + 1}$ 为偶函数，若函数 $y = f (x) - 2 (a - 1) x$ 在区间 $(- 1, 1)$ 上为单调函数，则实数a的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 0]$ B、 $[2, + \infty)$ C、 $[0, 2]$ D、 $(- \infty, 0] \cup [2, + \infty)$

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4、已知 $A = \{x| - 1 < x < 3\}$ ， $B = \{x| x^{2} - 3 x + 2 < 0\}$ ，则 $A \cup B =$

A、 $(- \infty, + \infty)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(- 1, 3)$ D、 $(1, 3)$

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5、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥ A B, P A ⊥ B C, A B ⊥ B C, P A = A B = B C = 2$ ， $D$ 为线段 $A C$ 的中点， $E$ 为线段 $P C$ 上一点.
（1）求证：平面 $B D E ⊥$ 平面 $P A C$ ；
（2）当 $P A$ //平面 $B D E$ 时，求 $P B$ 与平面 $B D E$ 所成角的正弦值.

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6、已知四边形 $A B C D$ 为平行四边形， $A B = 4, A D = 3$ ， $∠ B A D = \frac{π}{3}$ ，现将 $△ A B D$ 沿直线BD翻折，得到三棱锥 $A^{'} - B C D$ ，若 $A^{'} C = \sqrt{13}$ ，则三棱锥 $A^{'} - B C D$ 的外接球表面积为．

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7、已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 中， $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $⟨\vec{a}, \vec{c}⟩ = ⟨\vec{b}, \vec{c}⟩ = 60 °$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b} + 2 \vec{c}| =$ ．

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8、一个正方体的体积为8，若一个球内切于该正方体，则此球的体积是．

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9、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 棱长为2，动点 $P$ 在线段 $B_{1} D_{1}$ 上，以下结论正确的为（）

A、三棱锥 $B - A_{1} D P$ 的体积为定值 B、过 $P, B, C_{1}$ 三点若可作正方体的截面，则截面图形为三角形或四边形 C、当点 $P$ 和 $B_{1}$ 重合时，三棱锥 $P - A_{1} B D$ 的外接球体积为 $4 \sqrt{3} π$ D、直线 $P D$ 与平面 $A_{1} B D$ 所成角的正弦值的范围为 $[\frac{\sqrt{6}}{6}, \frac{\sqrt{3}}{3}]$

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10、已知点 $D$ 在 $△ A B C$ 确定的平面内， $O$ 是平面 $A B C$ 外任意一点，满足 $\vec{C D} = 2 \vec{O C} - x \vec{O A} - y \vec{O B}$ ，且 $x > 0, y > 0$ ，则 $\frac{3}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为（）

A、 $1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $2 + \sqrt{3}$ C、 $4 + \sqrt{3}$ D、 $\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{3}$

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11、已知圆锥的侧面积（单位：cm²）为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（单位：cm³）是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3} π$ B、 $\frac{2}{3} π$ C、 $π$ D、 $\frac{4}{3} π$

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12、将一个上底为2，下底为5，高为4的直角梯形绕着直角腰旋转一周得到一个几何体，则该几何体的侧面积为（）

A、14π B、21π C、28π D、35π

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13、已知直线 $l$ 的一个方向向量为 $\vec{a} = (−3,2,5)$ ，平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{b} = (1, x,−1)$ ，若 $l // α$ ，则 $x =$ （）

A、4 B、3 C、2 D、1

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14、一梯形的直观图是如图的等腰梯形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ ，且上底为1，下底为3，高为1，则原梯形的面积为（）

A、2 B、4 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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15、点 $P (3, 4, 5)$ 关于 $x O z$ 平面对称的点的坐标是（）

A、 $(3, - 4, - 5)$ B、 $(3, - 4, 5)$ C、 $(- 3, 4, - 5)$ D、 $(- 3, - 4, 5)$

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16、命题：“ $\exists x \in (0, + \infty)$ ， $x - 2 > 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in (0, + \infty)$ ， $x - 2 \leq 0$ B、 $\exists x \in (0, + \infty)$ ， $x - 2 \leq 0$ C、 $\forall x \in (0, + \infty)$ ， $x - 2 < 0$ D、 $\forall x \in (- \infty, 0)$ ， $x - 2 \leq 0$

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17、设 $x, y \in R$ ，向量 $\vec{a} = (1, x, y)$ ， $\vec{b} = (2, - 4, 2)$ ， $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $2 x - y =$ （）

A、 $- 7$ B、 $- 5$ C、 $- 3$ D、1

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18、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} + 2 λ x - 4 λ y - 4 = 0$ 的圆心 $C$ 在直线 $x + y + 1 = 0$ 上．

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、是否存在斜率为1的直线 $l$ 与圆 $C$ 交于A，B两点，且以AB为直径的圆恰好经过坐标原点 $O$ ？若存在，求 $l$ 的方程；若不存在，请说明理由．

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19、已知点 $A (- 2, 0), B (2, 0)$ ，动点 $M (x, y)$ 满足直线 $A M$ 与 $B M$ 的斜率之积为 $\frac{1}{2}$ ，记点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ ．

(1)、求 $C$ 的方程，并说明 $C$ 是什么曲线？

(2)、若过 $D (3 ， 0)$ 且倾斜角为 $45^{\circ}$ 的直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于 $E ， F$ 两点，求 $|E F|$ ．

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20、设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的离心率分别为 $e_{1}, e_{2}$ ，双曲线的渐近线的斜率小于 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，则 $e_{1} + e_{2}$ 的取值范围为（）

A、 $(\sqrt{2}, 2)$ B、 $(\frac{4 \sqrt{5}}{5}, 2)$ C、 $(\frac{3 \sqrt{5}}{5}, \frac{4 \sqrt{5}}{5})$ D、 $(1 + \frac{\sqrt{5}}{5}, 1 + \frac{3 \sqrt{5}}{5})$

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