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相关试卷

1、设 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 为空间的一个基底，若向量 $\vec{p} = x \vec{a} + y \vec{b} + z \vec{c}$ ，则向量 $\vec{p}$ 在基底 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 下的坐标为 $(x, y, z)$ .若向量 $\vec{q}$ 以 $\{\vec{a} + \vec{b}, \vec{b} - \vec{c}, \vec{c} - \vec{a}\}$ 为基底时的坐标为 $(3, - 1, 2)$ ，则 $\vec{q}$ 可以 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 为基底时的坐标为（）

A、 $(2, - 3, - 1)$ B、 $(3, - 1, 2)$ C、 $(1, 2, 3)$ D、 $(1, 2, 1)$

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2、双曲线 $6 x^{2} - 3 y^{2} = 1$ 的渐近线方程为（）

A、 $x = \pm 2 y$ B、 $y = \pm 2 x$ C、 $x = \pm \sqrt{2} y$ D、 $y = \pm \sqrt{2} x$

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3、设 $\vec{a} = (1, 2, 3)$ 是直线 $l$ 的方向向量， $\vec{n} = (1, - 2, 1)$ 是平面 $α$ 的法向量，则（）

A、 $l / / α$ 或 $l \subset α$ B、 $l ⊥ α$ 或 $l \subset α$ C、 $l ⊥ α$ D、 $l / / α$

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4、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 上有两个不同点 $A$ ， $B$ 关于直线 $l : y = m x + \frac{1}{4}$ 对称.

(1)、记直线 $l$ 与线段 $A B$ 的交点为 $P$ .
（i）求证： $k_{A B} \cdot k_{O P}$ 为定值；
（ii）求 $P$ 的坐标（用 $m$ 来表示）.

(2)、求 $△ O A B$ 面积的最大值（ $O$ 为坐标原点）.

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5、如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为矩形， $A B = 2$ ， $A D = 2 \sqrt{2}$ ，顶点 $P$ 在底面 $A B C D$ 的正投影为 $A D$ 的中点 $O$ .

(1)、求证：直线 $A C ⊥$ 平面 $P O B$ ；

(2)、若平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 的交线为 $l$ ， $P D = 2$ ，
（i）求证：直线 $l ∥ A B$ ；
（ii）求 $l$ 与平面 $P A C$ 所成角的大小.

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6、已知圆 $C$ 过点 $M (0, - 2)$ ， $N (3, 1)$ ，且圆心 $C$ 在直线 $x + 2 y + 1 = 0$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、问是否存在满足以下两个条件的直线 $l$ ：
①斜率为1；②直线被圆 $C$ 截得的弦为 $A B$ ，以 $A B$ 为直径的圆过原点.若存在这样的直线，请求出其方程；若不存在，请说明理由.

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7、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为 $A_{1} C_{1}$ 与 $B_{1} D_{1}$ 的交点，且 $A B$ ， $A D$ ， $A A_{1}$ 两两夹角均为 $60 °$ ，且长度相等，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ .

(1)、试用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示 $\vec{B M}$ ；

(2)、求直线 $B M$ 与直线 $A D$ 所成角的余弦值.

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8、已知直线 $l : k x - y + 2 - k = 0$ .

(1)、证明：直线 $l$ 过定点 $P$ ；

(2)、求过点 $P$ 且横截距与纵截距相等的直线 $m$ 方程.

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9、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，若动点 $P$ 在线段 $B D_{1}$ 上运动，则 $\vec{D C} \cdot \vec{A P}$ 的取值范围是．

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10、直线 $x \cos α + y - 2 = 0$ 的倾斜角取值范围是.

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11、已知焦点在 $x$ 轴上的椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的离心率为 $\frac{1}{3}$ ，则 $m$ 的值为.

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12、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ 和圆 $M : x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 4 = 0$ 相交于A、 $B$ 两点，下列说法正确的是（）

A、公共弦 $A B$ 所在直线方程为 $x - 2 y - 4 = 0$ B、圆 $O$ 上有且仅有3个点到直线 $l : x - y + \sqrt{2} = 0$ 的距离都等于1 C、取圆 $M$ 上点 $C (a, b)$ ，则 $2 a - b$ 的最大值为 $4 + 2 \sqrt{5}$ D、直线 $m x + y + m - 1 = 0$ 被圆 $O$ 所截得弦长最短为 $2 \sqrt{2}$

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13、已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ (如图)，过 $F_{2}$ 的直线交 $E$ 于 $P$ ， $Q$ 两点，且 $P F_{1} ⊥ x$ 轴， $|P F_{2}| = 13 |F_{2} Q|$ ，则 $E$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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14、下列命题正确的是（）

A、在空间四边形 $A B C D$ 中， $\vec{A B} \cdot \vec{C D} + \vec{B C} \cdot \vec{A D} + \vec{C A} \cdot \vec{B D} = 0$ B、 $|\vec{a}| - |\vec{b}| < |\vec{a} - \vec{b}|$ 是 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 不共线的充要条件 C、在棱长为1正四面体 $A B C D$ 中， $\vec{A B} \cdot \vec{B C} = \frac{1}{2}$ D、设 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点不共线， $O$ 为平面 $A B C$ 外一点，若 $\vec{O P} = \frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{2}{3} \vec{O B} + \vec{O C}$ ，则 $P$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ 四点共面

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15、已知点 $M (3, 1)$ 在圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 2 k + 4 = 0$ 外，则 $k$ 的取值范围为（）

A、 $- 6 < k < \frac{1}{2}$ B、 $k < - 6$ 或 $k > \frac{1}{2}$ C、 $k > - 6$ D、 $k < \frac{1}{2}$

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16、已知平面 $α$ 内有一个点 $A (2, - 1, 2)$ ， $α$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (1, 2, 3)$ ，则下列点 $P$ 中，在平面 $α$ 内的是（）

A、 $(1, 2, 1)$ B、 $(3, 0, 1)$ C、 $(1, 1, - 1)$ D、 $(1, - 1, 1)$

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17、直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的斜率是方程 $x^{2} - m x - 1 = 0$ 的两个根，则（）

A、 $l_{1} // l_{2}$ B、 $l_{1} ⊥ l_{2}$ C、 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 相交但不垂直 D、 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的位置关系不确定

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18、过点 $(2, 0)$ 且与直线 $x + y - 1 = 0$ 平行的直线方程是（）

A、 $x - y + 2 = 0$ B、 $x + y - 2 = 0$ C、 $x - y - 2 = 0$ D、 $x + y - 3 = 0$

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19、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $\frac{2 a - b}{c} = 2 \cos B$ .

(1)、求角C；

(2)、设 $D$ 在 $A C$ 上，且 $A D = 2 C D, B D = 2 \sqrt{3}$ ，求 $3 a + b$ 的取值范围．

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20、数列 $\{a_{n}\}$ ：1，1，2，3，5，8，…，称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家菜昂纳多·斐波那契(Leonardo Fibonacci)从观察兔子繁殖而引入，故又称为“兔子数列”.数学上，该数列可表述为 $a_{1} = a_{2} = 1$ ， $a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n} (n \in N *)$ .对此数列有很多研究成果，如：该数列项的个位数是以60为周期变化的，通项公式 $a_{n} = \frac{1}{\sqrt{5}} [{(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{n} - {(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{n}]$ 等.借助数学家对人类的此项贡献，我们不难得到 $a_{n + 1}^{2} = a_{n + 1} (a_{n + 2} - a_{n}) = a_{n + 2} a_{n + 1} - a_{n + 1} a_{n}$ ，从而易得 $a_{1}^{2}$ ＋ $a_{2}^{2}$ ＋ $a_{3}^{2}$ ＋…＋ $a_{126}^{2}$ 值的个位数为.

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