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相关试卷

1、某盲盒商店调查数据显示，顾客一次性购买某种文创盲盒数量 $X$ 的分布列为
$X$
$0$
$1$
$2$
$3$
$P$
$k {(1 - α)}^{2}$
$k α$
$k$
$k (1 - α)$
其中 $k > 0$ ， $0 < α < 1$ ．

(1)、当 $α = \frac{1}{2}$ 时，求顾客一次性购买该种文创盲盒数量的平均值；

(2)、已知该种文创盲盒分为封面款与非封面款两类，且每个盲盒为封面款的概率为 $\frac{1}{3}$ ，每个盲盒是否为封面款相互独立．若顾客一次性购买的盲盒中，封面款的数量大于非封面款的数量，则称此顾客为幸运客户．现从顾客中随机选取一人．
（i）求该顾客为幸运客户的概率 $f (α)$ ；
（ii）若该顾客是幸运客户，他购买的盲盒全部是封面款的概率不超过 $\frac{1}{2}$ ，求 $α$ 的取值范围．

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2、四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面ABCD是菱形，且 $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ， $A D = 2$ ，侧面 $A D D_{1} A_{1}$ 是矩形，且M是 $A_{1} D_{1}$ 的中点.

(1)、求证：平面 $M C_{1} C ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若平面 $A D D_{1} A_{1}$ 与平面ABCD所成二面角的平面角为 $\frac{π}{3}$ ， $A_{1} A = \sqrt{3}$ ，求直线 $B_{1} D$ 与平面MAB所成角的正弦值.

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3、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - a \ln x$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) > 0$ ，求 $a$ 的取值范围．

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4、已知函数 $f (x) = \sin 2 x - \sin (x + φ)$ ．

(1)、若 $f (x)$ 是奇函数，求 $φ$ ；

(2)、当 $φ = \frac{π}{2}$ 时， $f (x)$ 的所有正零点从小到大排列构成数列 $\{x_{n}\}$ ，求 $\{x_{n}\}$ 的前 $20$ 项和 $S_{20}$ ．

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5、双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与 $C$ 在第一象限的交点为 $M$ ，若直线 $M F_{2}$ 与 $C$ 的一条渐近线平行，则 $C$ 的离心率为.

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6、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差不为0， $a_{4} = 5$ ，且 $a_{2}, a_{5}, a_{6}$ 成等比数列，则 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和的最大值为．

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7、已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，则 $〈\vec{a}, \vec{b}〉 =$ .

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8、曲线C： ${|x|}^{α} + {|y|}^{α} = 1$ （ $α > 0$ ）是优美的封闭曲线，其围成的面积记为 $S_{α}$ ， M是C与y轴正半轴的交点，过原点O的直线交C于点A，B，则（）

A、 $S_{\frac{1}{2}} < S_{1}$ B、 $S_{2} > S_{3}$ C、当 $α = 1$ 时， $\vec{M A} \cdot \vec{M B}$ 的最大值是 $\frac{1}{2}$ D、当 $α = \frac{1}{2}$ 时， $\vec{M A} \cdot \vec{M B} \in [0, \frac{7}{8}]$

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9、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点P，Q，M，N分别是 $A B_{1}$ ， $C C_{1}$ ， $A_{1} C_{1}$ ， BC的中点，则下列说法中正确的有（）

A、 $P Q / /$ 平面ABC B、 $M N ⊥ B C$ C、 $P Q ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ D、PQ与MN相交

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10、下列说法正确的是（）

A、随机事件A，B相互独立的充要条件是 $P (\bar{A} B) = [1 - P (A)] \cdot P (B)$ B、设X为随机变量，则 $E (X^{2}) = D (X) + {[E (X)]}^{2}$ C、 $X ~ B (3, \frac{1}{3})$ ，则 $E (X) = 1$ ， $D (X) = 2$ D、若 $X ~ N (1, 2^{2})$ ，记函数 $f (x) = P (X \leq x)$ ， $x \in R$ ，则 $f (x)$ 的图象关于点 $(1, \frac{1}{2})$ 对称

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11、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $D$ ，任意给定 $n \in N^{*}$ ，都存在 $x_{0} \in D$ ，使得 $f (n x_{0}) = n f (x_{0})$ ，则 $f (x)$ 不可能为（）

A、 $f (x) = x$ B、 $f (x) = \sqrt{x}$ C、 $f (x) = ln x$ D、 $f (x) = e^{- x^{2}}$

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12、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x + \frac{4}{x}, x \geq a \\ \frac{1}{4} x + 4, x < a \end{array}$ 为增函数，则 $a$ 的最小值是（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $2$ C、 $4$ D、 $5$

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13、已知复数z是方程 $x^{2} - 2 x + 3 = 0$ 的根，则 $|z| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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14、“ $x^{2} + x - 2 < 0$ ”是“ $\frac{2 x}{x - 2} < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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15、已知集合 $A = \{x |x^{2} - 3 x - 4 \leq 0\}$ ， $B = \{x \in Z ||x - 1| \geq 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 2, 3, 4\}$ B、 $\{- 2, - 1, 3\}$ C、 $\{- 1, 3, 4\}$ D、 $\{- 1, 0, 3, 4\}$

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16、已知 $f (x) = (x - a) e^{x} + (a - 1) x$ ，其中 $a \in R$ ， $e$ 是自然对数的底.

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $y = f (x)$ 的最小值；

(2)、若函数 $y = f (x)$ 在定义域内为增函数，求 $a$ 的取值集合；

(3)、求证：
（i）对于 $\forall x > 1, ln x > \frac{2 (x - 1)}{x + 1}$ ；
（ii）对于 $\forall n \in N_{+}$ ，都有 $\sqrt{1 \times 3} + \sqrt{2 \times 4} + \dots + \sqrt{n (n + 2)} > \frac{n^{2} + 3 n}{2} + \frac{1}{4} ln \frac{2}{n^{2} + 3 n + 2}$ .

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17、已知抛物线 $C : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 过点 $T (2, 1)$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、过 $T$ 作抛物线 $C$ 的切线 $l$ ，连接 $O T$ ，作 $O T$ 的平行线交 $C$ 于 $A, B$ 两点，交 $l$ 于点 $P$ ，若 $| P T |^{2} = λ |P A| \cdot |P B|$ ，判断 $λ$ 是否为定值，若是，求出此定值；若不是，说明理由.

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18、如图，在多面体 $A B C D - E F C$ 中， $A B C D$ 为矩形， $A E, C F, D G$ 分别与平面 $A B C D$ 垂直， $A E = A D = 2, A B = C F = 3, M, N$ 分别是 $B D, E F$ 的中点.

(1)、求证： $M N / /$ 平面 $D C F G$ ；

(2)、若 $G, E, B, F$ 共面，求平面 $E G C$ 和平面 $D C F G$ 所成角的余弦值.

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19、2026年7月1日起，由工业和信息化部制定的《电动汽车用动力蓄电池安全要求》将开始实施，这标志着国家对新能源汽车的安全性提出了更高的要求.某新能源车企为提升产品安全性的同时提高生产效率，对旗下一款车型的核心零部件开展质量检测与生产数据分析，该企业统计了近5个月核心零部件的月生产量 $x$ （单位：千件）与月检测成本 $y$ （单位：万元），得到如下数据：
$x$
2
3
4
5
6
$y$
3.2
4.2
5.1
5.8
6.7

(1)、求 $y$ 关于 $x$ 的回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，并估计月产量达1万件时的月检测成本；

(2)、该企业对核心零部件的检测采用以下方案：从一批次的该零部件中随机抽取3件进行初检，若初检中不合格零部件数量不超过1件，则判定此批次零部件合格，否则对剩余的产品进行全面复检.若该零部件的不合格率为 $a (0 < a < 1)$ ，且每件零部件的检测结果相互独立，该零部件需要进行复检的概率为 $P (a)$ ，若 $P (a)$ 是关于 $a$ 的函数，求证：函数 $P (a)$ 的图象关于点 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 对称.
参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$

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20、 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $a cos A sin B = (2 c - a) sin A cos B$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $c = 2$ ， $D$ 为 $A C$ 中点， $B D = \frac{\sqrt{7}}{2}$ ，求 $sin ∠ A D B$ .

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$X$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P$	$k {(1 - α)}^{2}$	$k α$	$k$	$k (1 - α)$

$x$	2	3	4	5	6
$y$	3.2	4.2	5.1	5.8	6.7