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相关试卷

1、关于函数 $f (x) = \sin x \cdot \sin 3 x$ ，以下结论正确的有（）

A、 $f (x)$ 的图象是轴对称图形 B、 $f (x)$ 的最大值为1 C、 $f (x)$ 是以 $π$ 为一个周期的周期函数 D、 $f (x)$ 在 $[0, π]$ 上有4个零点

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2、近年中国新能源汽车进入高速发展时期，为了了解消费者的购车类型与地域是否具有相关性，某品牌车商随机调查了甲、乙两地各200名消费者，得出统计图如下，根据此统计图，下列结论正确的是（）
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.05
0.01
0.001
$χ_{α}$
3.841
6.635
10.828

A、在所调查的甲地购车者中，购买燃油车的人数比新能源车的多20人 B、在所调查的乙地购车者中，若用分层随机抽样抽取20人，则其中新能源车主有12人 C、根据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，消费者的购车类型与地域有关 D、从所调查消费者中随机选一人，在已知其为新能源车主的条件下，其来自甲地的概率为0.4

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3、已知实数 $a$ 和 $b$ （其中 $b > 1$ ）满足方程： $\frac{1}{e^{a}} + 2 \ln b = a + \frac{1}{b}$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $e^{a} > b^{2}$ B、 $a^{2} > e^{b}$ C、 $a > 2 b$ D、 $a > \ln b$

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4、某个弹簧振子在振动过程中的位移 $y$ （单位：cm）与时间 $t$ （单位：s）之间的关系为 $y = 10 \sin \frac{π}{2} t$ ，则当位移 $y = 6 cm$ 时，弹簧振子的瞬时速度大小为（） $cm / s$ .

A、 $4 π$ B、 $5 π$ C、 $6 π$ D、 $8 π$

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5、甲乙两人下棋比赛，规则是谁先赢2局，谁便赢得奖金5400元.根据以往的交手记录，每局甲赢的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙赢的概率为 $\frac{1}{3}$ ，且每局比赛相互独立.然而因突发事件，比赛未能举行，为公平服众，奖金按照比赛正常进行时各自赢得比赛的概率之比进行分配，则甲分得奖金（）元.

A、3600 B、3800 C、4000 D、4200

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6、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 与双曲线 $Γ : x^{2} - \frac{y^{2}}{m} = 1, m > 0$ 有公共的焦点 $F_{1}, F_{2}$ ，椭圆 $C$ 与双曲线 $Γ$ 的一个交点为 $Q$ ，则 $△ F_{1} Q F_{2}$ 的面积为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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7、已知全集 $U = A \cup B = {1, 2, 3, 4, 5}$ ， $A \cap (∁_{U} B) = {2, 4}$ ，则下列结论不一定成立的是（）

A、 ${2, 4} \subseteq A$ B、 $(∁_{U} A) \subseteq B$ C、 ${1, 3, 5} \subseteq B$ D、 ${1, 3} \subseteq ∁_{U} A$

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8、为督导学生体育锻炼，某中学举行一分钟跳绳测试，其成绩 $X$ （单位：次）近似服从正态分布 $N (160, σ^{2})$ ，且 $P (120 < X < 160) = 0.45$ ，则该校2000名学生中约有（）人一分钟跳绳超过200次.

A、100 B、150 C、200 D、250

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9、已知 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $a_{3} = 2$ ， $a_{4} = 6$ ，则 $a_{5} + a_{6} =$ （）

A、36 B、24 C、18 D、12

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10、在复平面内，复数 $(1 + i) (m - 2 i)$ 对应的点在第三象限，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 2)$ B、 $(- 2, 0)$ C、 $(0, 2)$ D、 $(2, + \infty)$

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11、已知函数 $f (x) = \frac{ln (x + 1)}{x} (x > 0)$ ， $g (x) = f (x) + f (\frac{1}{x})$ ．

(1)、令 $h (x) = x f (x)$ ，求 $h (x)$ 在点 $(e - 1, h (e - 1))$ 处的切线方程：

(2)、讨论 $g (x)$ 在 $(0, 1)$ 上的单调性；

(3)、证明：（i）当 $x > 0$ 时， $ln (x + 1) > \frac{x}{x + 1}$
（ii） $1 < g (x) \leq 2 \ln 2$ ．

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12、有N个人需要通过血液检测某种酶是否存在．假设每个人血液中含有该酶的事件是相互独立的，且含有该酶的概率均为 $p (0 < p < 1)$ ，若血液检测始终能准确判断样本中该酶是否存在．现采用以下分组检测方法：将待检测人群分成r个小组，每组 $k (k \in N^{*}, 2 \leq k \leq N)$ 人．在每一组中，取每人的血液混合成一个样本进行检测．
若某组的混合样本检测结果呈阴性（不含酶），则该组内所有人员无需再进行后续检测．
若某组的混合样本检测结果呈阳性（含有酶），则需要对该组内的每一位成员再分别单独检测一次（不用采集血样，利用现有采集过的血样）．

(1)、若 $k = 4$ ， $p = \frac{1}{4}$ ，已知某小组的混合样本检测结果呈阳性，求该组内“恰有2人”血液中含有该酶的概率；

(2)、用N，k，p表示该方法所需检测次数的期望值；

(3)、设检测成本由两部分组成：采集处理血样成本为a元/人份，化验检测成本为b元/次．若 $p = 0.01$ ，每组人数 $k = 10$ ，且该方法的总成本期望值比“逐一检测”的总成本节省了50%以上，求 $\frac{b}{a}$ 的取值范围．（参考数据： ${0.99}^{10} \approx 0.90$ ）

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13、已知点 $F (0, \frac{1}{4})$ ， $M$ 为平面内一动点，以 $M F$ 为直径的圆与 $x$ 轴相切，点 $M$ 的轨迹记为 $Γ$ ．

(1)、求曲线 $Γ$ 的方程；

(2)、不过原点的直线 $l$ 与曲线 $Γ$ 交于不同的两点 $A, B$ ，若以 $A B$ 为直径的圆过坐标原点．
（i）证明：直线 $l$ 过定点；
（ii）点 $C$ 是曲线 $Γ$ 上位于直线 $l$ 下方的一动点，若对于给定的直线 $l$ ，记 $△ A B C$ 的面积最大值为 $S$ ，对所有符合题设条件的动直线 $l$ ，求 $S$ 的最小值．

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14、如图，已知四面体 $A B C D$ 的所有棱长都等于2，E，F，G分别是棱 $A B$ ， $A D$ ， $D C$ 的中点．平面 $A B C \cap$ 平面 $E F G = l$ ．

(1)、证明： $F G / / l$ ；

(2)、求平面 $A B C$ 与平面 $E F G$ 的夹角的正弦值．

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15、在 $△ A B C$ 中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且 $(2 c - b) \cos A = a \cos B$ ．

(1)、求A的大小；

(2)、若 $\sin B + \sin C = \sqrt{3}$ ， $b = 2$ ，试判断 $△ A B C$ 的形状，并求 $△ A B C$ 的面积．

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16、已知点M为正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的外接球上动点，且 $M B = 2 M A$ ，若 $A A_{1} = 2$ ， $A B = 3$ ，则点M的轨迹长度为．

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17、已知直线 $l : k x - y - 2 = 0$ 与圆 $C : {(x - 4)}^{2} + y^{2} = 1$ ，若存在以直线l上一点为圆心，1为半径的圆与圆C有交点，则k的取值范围是．

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18、已知数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 的平均值为3，则 $2 x_{1} + 1, 2 x_{2} + 1, 2 x_{3} + 1, 2 x_{4} + 1, 2 x_{5} + 1$ 的平均值为．

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19、古希腊数学家采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线．随着圆锥的轴与平面所成角 $α$ 的变化，截得的曲线的形状也不同．若圆锥轴截面的顶角为 $2 β$ ，则曲线的离心率为 $e = \frac{cos α}{cos β}$ ．如图，圆锥 $S O$ 的底面半径为4，母线长为12， $△ S A B$ 是圆锥的一个轴截面， $D$ 为 $S A$ 中点．过 $B, D$ 两点且与轴截面垂直的平面与圆锥的截口曲线是一个椭圆 $Γ$ ．则（）

A、椭圆 $Γ$ 的长轴为 $2 \sqrt{17}$ B、椭圆 $Γ$ 的离心率为 $\frac{3 \sqrt{17}}{17}$ C、 $S O$ 与 $B D$ 的交点是椭圆 $Γ$ 的一个焦点 D、内接于椭圆的菱形周长最大值为20

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20、我国传统文化中有许多具有对称美的形状，如图1为《周易》中的“八卦”，图2为园林建筑中的八角窗．它们均可抽象为正八边形 $A B C D E F G H$ ，如图3，O为其中心．记 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ，且 $|\vec{O A}| = 2$ ，则（）

A、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \sqrt{2}$ B、 $\vec{F A} = \vec{a} - \vec{b}$ C、 $\vec{O C} = \sqrt{2} \vec{b} - \vec{a}$ D、 $\vec{F A}$ 在 $\vec{O C}$ 上的投影向量为 $\frac{\sqrt{2}}{2} \vec{O C}$

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$α$	0.05	0.01	0.001
$χ_{α}$	3.841	6.635	10.828