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相关试卷

1、在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 6 ， E$ 为线段 $C C_{1}$ 上的动点， $D$ 为 $B C$ 边上靠近B的三等分点，则三棱锥 $A - B D E$ 的外接球体积的最小值为（）

A、 $32 \sqrt{3} π$ B、 $\frac{4000 \sqrt{3} π}{27}$ C、 $\frac{500 \sqrt{3}}{27}$ D、 $108 \sqrt{3} π$

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2、甲､乙､丙､丁四人同时对一目标进行射击，四人击中目标的概率都为 $\frac{1}{2}$ ，目标被一人击中不会摧毁，目标被两人击中而摧毁的概率为 $\frac{1}{6}$ ，目标被三人击中而摧毁的概率为 $\frac{1}{2}$ ，若四人都击中目标肯定被摧毁，则目标被摧毁的概率为（）

A、 $\frac{1}{16}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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3、下列函数满足在定义域上有两个以上不同的单调区间，且存在 $m \in R$ ，使得函数图象无限趋近于直线 $y = m$ 但不与其相交的是（）

A、 $f (x) = ln |x - 1|$ B、 $f (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ C、 $f (x) = \frac{1}{x e^{- x}}$ D、 $f (x) = x sin x$

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4、若 $α \in (0, \frac{π}{2}), sin (\frac{π}{6} - α) = - \frac{1}{5}$ ，则 $cos (\frac{π}{6} + α)$ 的值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3} - \sqrt{6}}{10}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{6}}{10}$ C、 $\frac{2 \sqrt{6} - \sqrt{3}}{10}$ D、 $\frac{2 \sqrt{6} + \sqrt{3}}{10}$

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5、已知 $\vec{a} = (2, 1), \vec{b} = (3, 5)$ ，则 $\vec{b} - \vec{a}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为（）

A、 $(\frac{1}{5}, \frac{2}{5})$ B、 $(\frac{4}{5}, \frac{2}{5})$ C、 $(\frac{8}{5}, \frac{4}{5})$ . D、 $(\frac{12}{5}, \frac{6}{5})$

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6、已知复数 $z$ 满足 $(1 + 2 i) z = i^{2025}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $- \frac{1}{5}$ C、 $\frac{1}{5} i$ D、 $- \frac{1}{5} i$

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7、已知集合 $A = {x \in N | x^{2} - 2 x - 3 \leq 0}, B = {x | {log}_{2} x < 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 1, 2\}$ B、 $\{0, 1, 2, 3\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{1, 2, 3\}$

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8、学校食堂为了减少排队时间，从开学第 $1$ 天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前 $1$ 天选择了米饭套餐，则第 $2$ 天选择米饭套餐的概率为 $\frac{1}{3}$ ；若他前 $1$ 天选择了面食套餐，则第 $2$ 天选择米饭套餐的概率为 $\frac{2}{3}$ .已知他开学第 $1$ 天中午选择米饭套餐的概率为 $\frac{2}{3}$ .

(1)、求该同学开学第 $2$ 天中午选择米饭套餐的概率；

(2)、记该同学开学第 $n (n \in N^{*})$ 天中午选择米饭套餐的概率为 $P_{n} ．$ 证明：当 $n \geq 2$ 时， $P_{n} \leq \frac{14}{27}$ .

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9、已知圆 $F_{1} : {(x + 1)}^{2} + y^{2} = r^{2}$ ，圆 $F_{2} : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = {(4 - r)}^{2}$ ， $0 < r < 4$ ．当r变化时，圆 $F_{1}$ 与圆 $F_{2}$ 的交点P的轨迹为曲线C，
（1）求曲线C的方程；
（2）已知点 $P (1, \frac{3}{2})$ ，过曲线C右焦点 $F_{2}$ 的直线交曲线C于A、B两点，与直线 $x = m$ 交于点D，是否存在实数m， $λ$ ，使得 $k_{P A} + k_{P B} = λ k_{P D}$ 成立，若存在，求出m， $λ$ ；若不存在，请说明理由．

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10、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝a，E是PC的中点，过E作EF⊥PB，交PB于点F．

(1)、证明：PB⊥平面EFD；

(2)、若平面PBC与平面PBD的夹角的大小为 $\frac{π}{3}$ ，求AD的长度.

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11、已知函数 $f (x) = e^{x} (\ln x - a)$ ．
（1）若 $a = 1$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；
（2）若 $a > 1$ ，求证：函数 $f (x)$ 存在极小值；
（3）若对任意的实数 $x \in [1, + \infty)$ ， $f (x) \geq - 1$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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12、离散型随机变量X的概率分布中部分数据丢失，丢失数据以x，y代替，其概率分布如下：
X
1
2
3
4
5
6
P
0.20
0.10
x
0.10
y
0.20
则 $P (\frac{5}{2} < x < \frac{16}{3})$ 等于.

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13、甲罐中有 $5$ 个红球， $5$ 个白球，乙罐中有 $3$ 个红球， $7$ 个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球． $A_{1}$ 表示事件“从甲罐取出的球是红球”， $A_{2}$ 表示事件“从甲罐取出的球是白球”， $B$ 表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（）

A、 $A_{1}, B$ 为互斥事件 B、 $P (B |A_{1}) = \frac{4}{11}$ C、 $P (A_{2} |B) = \frac{4}{7}$ D、 $P (B) = \frac{7}{22}$

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14、若 $x^{5} = a_{0} + a_{1} (1 + x) + a_{2} {(1 + x)}^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{5} {(1 + x)}^{5}$ ，其中 $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{5}$ 为实数，则（）

A、 $a_{0} = 0$ B、 $a_{3} = 10$ C、 $a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{5} = 1$ D、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} = - 16$

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15、将曲线 $C_{1} : y = \sin x$ 上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到曲线 $C_{2} : y = f (x)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{6})$ B、 $f (\frac{13 π}{6} - x) = f (x)$ C、 $f (x)$ 在 $[0, 2 π]$ 上有4个零点 D、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{3}, \frac{π}{6})$ 上单调递增

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16、已知函数 $f (x) = x + [x]$ （其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数），则关于 $x$ 的方程 $f (x) = \frac{5 x}{2} - 1$ 的所有实数根之和为（）

A、 $4$ B、 $5$ C、 $6$ D、 $7$

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17、已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球与圆锥的表面积之比为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{2 \sqrt{6}}{9}$ D、 $\frac{8}{27}$

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18、已知集合 $A = \{- 1, 1\}$ ， $B = \{x | |x + \frac{1}{2}| < \frac{3}{2}, x \in Z\}$ ，则 $A \cup B =$

A、 $\{- 1\}$ B、 $\{- 1, 1\}$ C、 $\{- 1, 0, 1\}$ D、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$

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19、已知函数 $f (x) = (2 x^{2} - 3 x) e^{x}, g (x) = a ln x (a \in R)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、记 $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，设函数 $h (x) = \frac{f^{'} (x)}{2 x + 3} - g (x)$ 有且只有一个零点，求 $a$ 的取值范围.

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20、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 2$ ， $A B = A C = 1$ ， $A B ⊥ A C$ ， $M$ ， $N$ 分别是 $C C_{1}$ ， $B C$ 的中点，动点 $P$ 在直线 $A_{1} B_{1}$ 上，且 $\vec{A_{1} P} = λ \vec{A_{1} B_{1}}$ .

(1)、是否存在点 $P$ ，使得 $A M ⊥ P N$ ？若存在，试确定点 $P$ 的位置；若不存在，请说明理由；

(2)、当 $λ$ 取何值时，直线 $P N$ 与平面 $A M N$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ；

(3)、求动点 $P$ 到直线 $M N$ 的距离的取值范围.

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X	1	2	3	4	5	6
P	0.20	0.10	x	0.10	y	0.20