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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \frac{x}{x - 1} - e^{x} (x > 1)$ ， $g (x) = \frac{x}{x - 1} - \ln x (x > 1)$ 的零点分别为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $x_{1} = \ln x_{2}$ B、 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = 1$ C、 $x_{1} + x_{2} > 4$ D、 $x_{1} x_{2} < e$

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2、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $P D ⊥$ 面 $A B C D$ ， $P D = 2 \sqrt{3}$ ，点E是棱 $P B$ 上一点（不包括端点），F是平面 $P C D$ 内一点，则（）

A、一定不存在点E，使 $A E / /$ 平面 $P C D$ B、一定不存在点E，使 $P B ⊥$ 平面 $A C E$ C、以D为球心，半径为2的球与四棱锥的侧面 $P A D$ 的交线长为 $\frac{π}{3}$ D、 $|A E| + |E F|$ 的最小值 $\frac{16}{5}$

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3、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $a = 5$ ， $b = 6$ ， $c = 7$ ，下面说法正确的是（）

A、 $\sin A : \sin B : \sin C = 5 : 6 : 7$ B、 $\cos A : \cos B : \cos C = 5 : 6 : 7$ C、 $△ A B C$ 是锐角三角形 D、 $△ A B C$ 的最大内角是最小内角的 $2$ 倍

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4、已知一组数据：3，3，4，4，4，x，5，5，6，6的平均数为 $4.7$ ，则（）

A、 $x = 7$ B、这组数据的中位数为4 C、若将这组数据每一个都加上0.3，则所有新数据的平均数变为5 D、这组数据的第70百分位数为5.5

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5、已知圆 $C : x^{2} - 2 x + y^{2} = 0$ 与直线 $l : y = m x + 2 m (m > 0)$ ，过 $l$ 上任意一点 $P$ 向圆 $C$ 引切线，切点为 $A$ 和 $B$ ，若线段 $A B$ 长度的最小值为 $\sqrt{2}$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ C、 $\frac{\sqrt{14}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{14}}{7}$

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6、已知 $α, β \in (0, \frac{π}{2})$ ，则“ $\cos (α - β) < \frac{1}{4}$ ”是“ $\cos α + \sin β < \frac{1}{4}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7、数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当 $x$ 较大时， $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{x} = \ln x + γ$ （ $x \in N^{*}$ ，常数 $γ = 0.557 \dots$ ）．利用以上公式，可以估算 $\frac{1}{101} + \frac{1}{102} + \dots + \frac{1}{300}$ 的值为（）

A、 $ln30$ B、 $ln3$ C、 $- ln3$ D、 $- \ln 30$

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8、已知 $2 \cos^{2} θ - \cos θ = 1$ ， $θ \in (0, π)$ ，则 $\sin θ =$ （）

A、 $0$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 或 $0$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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9、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 左，右焦点分别为 $F_{1} (- c, 0), F_{2} (c, 0)$ ，若双曲线左支上存在点 $P$ 使得 $|P F_{2}| = \frac{3}{2} c - 2 a$ ，则离心率的取值范围为（）

A、 $[6, + \infty)$ B、 $(1, 6]$ C、 $[2, + \infty)$ D、 $[4, + \infty)$

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10、已知平面向量 $\vec{a} = (2, 0)$ ， $\vec{b} = (- 1, 1)$ ，且 $(m \vec{a} - \vec{b}) // (\vec{a} + \vec{b})$ ，则 $m =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、 $\frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$

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11、已知 $(2 + i) z = i$ ， $i$ 为虚数单位，则 $|z| =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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12、已知集合 $A = \{0, 1, 2, 3, 4\}$ ， $B = \{x |x^{2} - 5 x + 4 \geq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1, 2, 3, 4\}$ B、 $\{2, 3\}$ C、 $\{1, 4\}$ D、 $\{0, 1, 4\}$

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13、已知函数 $f (x) = x^{2} - 4 x - a cos \frac{π}{2} x$ ．

(1)、若 $a = - 1$ ，求函数 $f (x)$ 在 $[0, 2]$ 上的值域；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = a - 4$ 恰有三个不等实根 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，求 $f (2 x_{1}) - 7 f (x_{3}) - 8 x_{1}$ 的最大值，并求出此时实数 $a$ 的值．

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14、设函数 $f (x) = 2 {cos}^{2} ω x - 2 sin ω x cos ω x - 1 (0 < ω < 4)$ ，若将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后得到曲线 $C$ ，则曲线 $C$ 关于 $y$ 轴对称．

(1)、求 $ω$ 的值；

(2)、若直线 $y = m$ 与曲线 $y = f (x)$ 在区间 $[0, π]$ 上从左往右仅相交于 $A, B, C$ 三点，且 $|A B| = 2 |B C|$ ，求实数 $m$ 的值．

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15、噪声污染问题越来越受到人们的重视．我们常用声压与声压级来度量声音的强弱，其中声压 $p$ （单位： $Pa$ ）是指声波通过介质传播时，由振动带来的压强变化；而声压级 $L_{p}$ （单位： $dB$ ）是一个相对的物理量，并定义 $L_{p} = 20 \times lg \frac{p}{p_{0}}$ ，其中常数 $p_{0}$ 为听觉下限阈值，且 $p_{0} = 2 \times 10^{- 5} Pa$ ．

(1)、已知某人正常说话时声压 $p$ 的范围是 $0.002 Pa \sim 0.02 Pa$ ，求声压级 $L_{p}$ 的取值范围；

(2)、当几个声源同时存在并叠加时，所产生的总声压 $p$ 为各声源声压 $p_{i} (i = 1, 2, 3, \dots, n)$ 的平方和的算术平方根，即 $p = \sqrt{p_{1}^{2} + p_{2}^{2} + p_{3}^{2} + \dots + p_{n}^{2}}$ ．现有10辆声压级均为 $80 dB$ 的卡车同时同地启动并原地急速，试问这10辆车产生的噪声声压级 $L_{p}$ 是多少？

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16、已知函数 $f (x) = {log}_{2} (x + 1) - {log}_{2} (1 - x)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域，并根据定义证明函数 $f (x)$ 是增函数；

(2)、若对任意 $x \in [0, \frac{1}{2}]$ ，关于 $x$ 的不等式 $f (1 - t \cdot 2^{x}) < f (\frac{2^{x} - 1}{2^{x} + 1})$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围．

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17、如图，以 $O x$ 为始边作角 $α$ 与 $β (0 < β < α < π)$ ，它们的终边与单位圆 $O$ 分别交于 $P$ 、 $Q$ 两点，且 $O P ⊥ O Q$ ，已知点 $P$ 的坐标为 $(- \frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ ．

(1)、求 $sin α - sin β$ 的值；

(2)、求 $tan 2 β$ 的值．

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18、已知集合 $A = \{x |x^{2} - 2 x - 3 \geq 0\}, B = \{x ||x| \leq 2\}$ ．

(1)、求集合 $A$ ；

(2)、求 $(∁_{R} A) \cup B$ ．

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19、若函数 $f (x) = x^{2} - 2 x - a (\frac{1}{1 + |x - 1|} - a) (a > 0)$ 有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围是．

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20、海洋潮汐是在太阳和月球的引力作用下，形成的具有周期性海面上升和下降的现象．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，停靠码头；在落潮时离开港口，返回海洋．已知某港口某天的水深 $H (t)$ （单位： $m$ ）与时间 $t$ （单位： $h$ ）之间满足关系式： $H (t) = 3 sin ω t + 5 (ω > 0)$ ，且当地潮汐变化的周期为 $T = 12.4 h$ ．现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为 $5 m$ ，安全条例规定至少要有 $1.5 m$ 的安全间隙（船底与洋底的距离）．若该船计划在当天下午到达港口，并在港口停靠一段时间后于当天离开，则它最多可停留h．

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