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相关试卷

1、已知直线 $l_{1}$ ： $x + m y - 1 = 0$ 与 $l_{2}$ ： $m x + 3 y - 1 = 0$ ，若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则 $m$ 为（）

A、 $- \sqrt{3}$ B、0 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\pm \sqrt{3}$

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2、已知直线过 $A (0, - 1)$ 、 $B (1, 0)$ 两点，则该直线的斜率为（）

A、 $- 1$ B、 $0$ C、 $1$ D、 $2$

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3、对于数集M，定义M的特征函数： $f_{M} (x) = \{\begin{array}{l} 1, x \notin M \\ - 1, x \in M \end{array}$ ，对于两个数集 $M 、 N$ ，定义 $M \otimes N = \{x ∣ f_{M} (x) \cdot f_{N} (x) = - 1\}$ .

(1)、已知集合 $A = {1, 3, 7, 9}, B = {2, 3, 7, 8}$ ，
（i）求 $f_{A} (1)$ 的值，并用列举法表示 $A \otimes B$ ；
（ii）若用 $card (M)$ 表示有限集合M所包含的元素个数，已知集合X是正整数集的子集，求 $card (X \otimes A) + card (X \otimes B)$ 的最小值（无需证明）；

(2)、证明： $f_{A \otimes B} (x) = f_{A} (x) \cdot f_{B} (x)$ .

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4、已知 $f (x) = \frac{b x + c}{4 + x^{2}}$ 是定义在 $[- 2, 2]$ 上的函数，若满足 $f (x) + f (- x) = 0$ 且 $f (1) = 1$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断 $f (x)$ 的单调性，并利用定义证明你的结论；

(3)、设函数 $g (x) = x^{2} - 2 m x + 4 (m \in R)$ ，若对 $\forall x_{1} \in [1, 2], \exists x_{2} \in [1, 2]$ 都有 $g (x_{2}) < f (x_{1})$ 成立，求 $m$ 的取值范围.

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5、习近平总书记一直重视生态环境保护，十八大以来多次对生态文明建设作出重要指示，在不同场合反复强调“绿水青山就是金山银山”，随着中国经济的快速发展，环保问题已经成为一个不容忽视的问题.某污水处理厂在国家环保部门的支持下，引进新设备，新上了一个从生活垃圾中提炼化工原料的项目.经测算，该项目月处理成本 $y$ （元）与月处理量 $x$ （吨）之间的函数关系可以近似地表示为 $y = \{\begin{array}{l} \frac{1}{3} x^{3} - 80 x^{2} + 5040 x, x \in [120, 144), \\ \frac{1}{2} x^{2} - 200 x + 80000, x \in [144, 500), \end{array}$ ，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的化工原料的价值为400元.

(1)、当 $x \in [200, 300]$ 时，判断该项目能否获利，如果获利，求出最大利润.

(2)、该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

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6、已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，函数 $f (x)$ 在 $(- 1, 2)$ 上单调，求b的取值范围；

(2)、若 $f (x) > 0$ 的解集为 $(- 1, 2)$ ，求关于x的不等式 $c x^{2} + b x + a > 0$ 的解集．

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7、已知集合 $U$ 为全体实数集，集合 $A = {x ∣ x < - 2$ 或 $x > 5}$ ， $B = \{x| a + 1 \leq x \leq 2 a + 1\}$ ．

(1)、若 $a = 2$ ，求 $A \cup B$ 和 $∁_{U} A$ ；

(2)、若 $B \subseteq ∁_{U} A$ ，求 $a$ 的取值范围．

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8、已知 $a > 0$ ，集合 $A = \{x | x < - \frac{1}{2} 或 x > 1\}$ ，集合 $B = \{x | x^{2} - 2 a x - 3 \leq 0\}$ ，若 $A \cap B$ 中恰有两个整数，则实数 $a$ 的取值范围是.

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9、已知 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，在 $(- \infty, 0]$ 上为单调增函数，且 $f (2) = 0$ ，则不等式 $(x - 1) f (x) > 0$ 的解集为．

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10、计算： ${(2 \frac{1}{4})}^{\frac{1}{2}} - {(- 0.96)}^{0} - {(\frac{8}{27})}^{\frac{2}{3}} + {(\frac{3}{2})}^{- 2} =$ .

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11、设函数 $f (x) = \frac{x}{1 + | x |} (x \in R)$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $f (x)$ 的值域是 $(- 1, 1)$ ； B、任意 $x_{1}, x_{2} \in R$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ； C、任意 $x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} > f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ ； D、规定 $f_{1} (x) = f (x), f_{n + 1} (x) = f (f_{n} (x))$ ，其中 $n \in N^{*}$ ，则 $f_{n} (\frac{1}{2}) = \frac{1}{n + 2}$ .

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12、下列函数中，是偶函数且值域为 $[0, + \infty)$ 的有（）

A、 $y = \frac{1}{x^{2}}$ B、 $y = |x^{2} - 2|$ C、 $y = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - 2$ D、 $y = x^{2} - 2 | x |$

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13、已知函数 $f (x) = x - 1, g (x) = \frac{2}{x}$ ，记 $F (x) = \max \{a, b\} = \{\begin{cases} a, a \geq b \\ b, a < b \end{cases}$ ，则下列关于函数的说法不正确的是（）

A、当 $x \in (0, 2)$ 时， $F (x) = \frac{2}{x}$ B、函数 $F (x)$ 的最小值为 $- 2$ C、函数 $F (x)$ 在 $(- 1, 0)$ 上单调递减 D、若关于x的方程 $F (x) = m$ 恰有两个不相等的实数根，则 $- 2 < m < - 1$ 或 $m > 1$

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14、下列说法正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a > b > 0, m > 0$ ，则 $\frac{m}{a} < \frac{m}{b}$ C、若 $a > b, c > d$ ，则 $a c > b d$ D、若 $- 2 < a < 3, 1 < b < 2$ ，则 $- 3 < a - b < 1$

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15、命题“ $\forall x \geq 1$ ， $x^{2} \geq 2$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \geq 1$ ， $x^{2} < 2$ B、 $\exists x < 1$ ， $x^{2} < 2$ C、 $\forall x < 1$ ， $x^{2} \geq 2$ D、 $\exists x \geq 1$ ， $x^{2} < 2$

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16、已知集合 $A = {- 2, 1, 2}, B = {x ∣ (x + 2) (x - 1) \leq 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 2, 1)$ B、 $[- 2, 1]$ C、 ${- 2, 1}$ D、 ${- 2, 1, 2}$

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17、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，且经过点 $(- 2 ， 0)$ 和 $(1 ， \frac{3}{2})$ ，点 $P$ 是椭圆 $C$ 上不在 $x$ 轴上的任意一点，射线 $P F_{1}$ ， $P F_{2}$ 分别与椭圆 $C$ 交于点 $A$ ， $B$ ．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、求 $△ P B F_{1}$ 内切圆面积的最大值；

(3)、设 $△ P F_{1} F_{2}$ ， $△ P F_{1} B$ ， $△ P A B$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ．求证： $\frac{S_{2}}{S_{3} - S_{2}} + \frac{S_{1}}{S_{2} - S_{1}}$ 为定值．

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18、如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ ， $△ P A D$ 是以 $A D$ 为斜边的等腰直角三角形， $B C / / A D$ ， $C D ⊥ A D$ ， $P C = A D = 2 D C = 2 C B$ ， $E$ 为 $P A$ 中点.

(1)、证明： $B E / /$ 平面 $P C D$ ；

(2)、证明： $P B ⊥ A D$ ；

(3)、若 $G$ 是 $P D$ 线段上一动点，直线 $C G$ 与平面 $P C B$ 所成角正弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{8}$ ，求 $\frac{D G}{D P}$ 的值.

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19、已知圆 $C$ 圆心在直线 $y = x$ 上，且经过点 $(1.2)$ 和 $(2, 3)$ .

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、自点 $A (- 3, 3)$ 发出的光线 $m$ 射到 $x$ 轴上，被 $x$ 轴反射，其反射光线所在的直线与圆 $C$ 相切，求光线 $m$ 所在直线的方程．

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20、如图，在空间四边形 $O A B C$ 中，点 $D$ 为 $B C$ 的中点， $2 \vec{A E} = \vec{E D}$ ，设 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ．

(1)、试用向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示向量 $\vec{O E}$ ；

(2)、若 $O A = O B = O C = 2$ ， $∠ A O C = ∠ B O C = ∠ A O B = 60 °$ ，求 $\vec{O E} \cdot \vec{A B}$ 的值．

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